1611689570-2f7bf9f665e22b4e5993a1e15fa840d7 (826871), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Потенциал точечного заряда внутри полой сферыПрименим результат предыдущего пункта для нахождения потенциала, создаваемым зарядом, помещенным внутри проводящей не заземленнойсферы.Пусть внутри сферы радиуса R помещен положительный заряд q на расстоянии a < R отцентра сферы. Потенциал, создаваемый этой системой, есть сумма потенциалов, создаваемыхнепосредственно зарядом q и индуцированнымизарядами на сфере:Φ(r) =q+ Φ1 (r).|r − a|Причем из физических соображений имеем: потенциал Φ1 является гармонической функциейвнутри шара, а Φ на самой сфере нулевой.
Такимобразом, имеем 4Φ1 (r) = 0, |r| < R и при |r| = RΦ1 (r) = −q.|r − a|Для такой задачи Дирихле у нас уже есть решение (6.3.16), нужно лишьнайти коэффициенты λn . При |r| = R имеем−q−q1q=|r − a|R 1 − 2 a cos θ +R=a2R2∞−q X a nPn (cos θ),R n=0 Rоткуда заключаем, чтоλn =−qan.Rn+1(6.3.17)6.3. МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА135Тогда для потенциала Φ1 (r) имеемΦ1 (r)(6.3.16)=∞Xλnn=0∞n nrn(6.3.17) X −qa rP(cosθ)=Pn (cos θ) =nnn+1RRRnn=0∞−q X ar n−qq=Pn (cos θ) =R n=0 R2R=−qqRaQ=−q Ra=aar1 − 2R2 cos θ +2R2R2 21b=( Ra) a=2− 2 Ra r cos θ + r2ar 2R2=−qR√=2a b − 2br cos θ + r2Q.|b − r|Таким образом, мы показали, что потенциал, создаваемый индуцированными зарядами на сфере, такой же, как у точечного отрицательного заряда Q, расположенного симметрично относительно сферы заряду q (этозначит ab = R2 .)136ГЛАВА 6.
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫГлава 7Линейные ограниченные операторы вгильбертовом пространствеСледует заметить, что если в конечномерном случае при выборе нормыможно руководствоваться одними только соображениями удобства вычислений, поскольку все линейные операторы непрерывны, то в бесконечномерном случае и само определение оператора, и уж, конечно, его непрерывность всецело зависят от выбора пространстваВ. Хатсон, Дж.
Пим7.1Определение линейного оператораОпределение 76. Пусть X, Y — линейные пространства над полем F.Отображение A : X → Y называется линейным оператором, если для любых x1 , x2 ∈ X и α, β ∈ FA(αx1 + βx2 ) = αAx1 + βAx2 .(7.1.1)Во многих случаях линейный оператор может быть определен не на всемпространстве X, а только лишь на каком-то его подпространстве. В этомслучае равенство (7.1.1) верно только для элементов из этого подпространства.Напомним следующие определения. МножестваDom A = {x ∈ X : Ax определено},Im A = {y ∈ Y : y = Ax для некоторого x ∈ X}.называются областью определения и, соответственно, областью значенийоператора A.Для того, чтобы определить оператор, нужно задать не только правило,по которому он сопоставляет x ∈ X в соответствующий y ∈ Y , но и выяснить, для каких x ∈ X это правило работает.137138ГЛАВА 7.
ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫПример 33.1. Тождественный оператор. Пусть X — линейное пространство иI : X → X по правилу Ix = x для любого x ∈ X.2. Нулевой оператор. Для любого x ∈ X полагаем Ox = 0Y , т.е. всевектора пространства X переводятся в ноль пространства Y.3. Матрицы. Пусть X = Cn , а Y = Cm , n, m ∈ N. Пусть x1 , x2 , . . . , xn —ортонормированный базис в X, а y1 , y2 , . . . , ym — ортонормированный базисв Y. Тогда для любого x ∈ X имеемx=nXλ k xk ,k=1иAx = AnXλ k xk =k=1nXλk Axk =k=1nXλkmXajk yj =j=1k=1mnXXj=1!λk ajkyj .k=1C другой стороныAx =mXνj yj .j=1Сравнивая, заключаем, что для каждого j = 1, 2, .
. . , mνj =nXλk ajk ,k=1или в матричном видеν1 ν2 .. .νm = a11a21............a1na2n...am1...amnλ1λ2...λmТаким образом, каждому линейному оператору A : X → Y при фиксированных базисах соответствует некоторая матрица.4. Оператор проектирования. Пусть X = Y = H — гильбертово пространство и E ⊂ H его замкнутое подпространство. Тогда, как известно изтеоремы 41 имеет место разложение в прямую сумму:H = E ⊕ E⊥,т.е. для любого x ∈ H найдутся вектора x1 ∈ E и x2 ∈ E ⊥ , чтоx = x1 + x2 .Оператор PrE : H → E проектирования на подпространство E определяется равенством: для любого x ∈ HPrE x = x1 .7.2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ОГРАНИЧЕННОСТЬ7.2139Непрерывность и ограниченностьОпределение 77. Пусть X, Y — линейные нормированные пространстванад одним и тем же полем.
Отображение A : X → Y называется непрерывным в точке x0 ∈ X, если из того, что xn ∈ X сходится к x0 , следует, чтоAxn сходится к Ax0 . Другими словами, для любого ε > 0 найдется δ > 0такое, что kAx − Ax0 kY < ε как только kx − x0 kX < δ.Отображение A : X → Y называется непрерывным, если оно непрерывнов каждой точке x0 ∈ X.Пример 34. Простейшим примером непрерывного отображения являетсянорма, поскольку из неравенства треугольника следует, что|kxk − kx0 k| ≤ kx − x0 kОпределение 78. Пусть X, Y — линейные нормированные пространства.Отображение A : X → Y называется ограниченным, если оно всякое ограниченное в X множество M переводит в ограниченное в Y множество AM.Другими словами, если существует r > 0 такое, что kxkX ≤ r для всех x ∈ M ,то найдется R > 0 такое, что kAxkY ≤ R для всех x ∈ M .Упражнение 25.
Проверить, что норма — это ограниченное отображение.Оказывается, что для линейных операторов понятия непрерывности иограниченности совпадают.Теорема 51. Пусть X, Y — линейные нормированные пространства иA : X → Y — линейный оператор. Тогда следующие утверждения эквивалентны:1) существует x0 ∈ X такой, что A непрерывен в x0 ;2) A непрерывен;3) A ограничен;4) sup kAxkY < ∞.kxkX ≤1Доказательство теоремы 51. 1) ⇒ 2) : Для любого ε > 0 существует δ > 0такое, что kAx − Ax0 kY < ε при kx − x0 kX < δ.
Тогда для произвольногоx̃0 ∈ X как только kx − x̃0 kX < δ, то k(x − x̃0 + x0 ) − x0 kX < δ и, следовательно,kA(x − x̃0 + x0 ) − Ax0 kY < ε.Ввиду линейности оператора A последнее неравенство переписывается ктребуемому виду:kA(x − x̃0 + x0 ) − Ax0 kY = kAx − Ax̃0 + Ax0 − Ax0 kY = kAx − Ax̃0 kY < ε,что и доказывает непрерывность в каждой точке x̃0 ∈ X.2) ⇒ 3) : Поскольку A непрерывен в каждой точке, то, в частности, непрерывен в нуле.
Это значит, что для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что140ГЛАВА 7. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫkAxkY < ε при kxkX < δ. Рассмотрим ограниченное в X множество M :kxkX < r для всех x ∈ M и некоторого r > 0. Тогда для этих же векторов xимеем: δ x ≤ δ < δ ⇒ A δ x < ε ⇒ kAxkY < 2rε = R. 2r 22r δXY3) ⇒ 4) : Поскольку A ограниченный оператор, то единичный шар с центром в нуле B(0, 1) = {x ∈ X : kxk ≤ 1} отображается в ограниченное множество AB(0, 1) : существует R > 0 такое, что для всех x ∈ B(0, 1) имеетместо неравенство kAxk ≤ R, что эквивалентноsup kAxk ≤ R < ∞.kxk≤14) ⇒ 1) : Если sup kAxk ≤ R < ∞, то для любого ε > 0 и всех x ∈ X таких,kxk≤1εчто kxk < 2Rимеем 2Rx < 1 ⇒ A 2Rx ≤ sup kAxk ≤ R ⇒ kAxk ≤ ε < ε. ε ε2kxk≤1Это доказывает непрерывность оператора A в нуле.7.3Операторная норма7.3.1.
Будем считать, что линейные ограниченные операторы определенывсюду на X. Тогда условие 4) из теоремы 51 может быть переписано следующим образом.Теорема 52. Пусть X, Y — линейные нормированные пространства иA : X → Y — линейный ограниченный оператор. Тогдаsup kAxk = sup kAxk = supkxk≤1kxk=1x6=0kAxk.kxkДоказательство теоремы 52. Докажем сначала второе равенство.
Имеем y= x 1kAxkx = sup A =kxk sup kAyk.= sup Axsup x6=0 kxk x6=0 kxkx6=0 kxkkyk=1Для доказательства первого равенства имеем()kAxkkAxkkAxkkAxksup= max sup; sup≥sup≥x6=0 kxkkxk>1 kxk x6=0,kxk≤1 kxkx6=0,kxk≤1 kxk≥ sup kAxk ≥ sup kAxk = supkxk≤1kxk=1x6=0kAxk.kxk7.3. ОПЕРАТОРНАЯ НОРМА141Определение 79. Пусть X, Y — линейные нормированные пространстваи A : X → Y — линейный ограниченный оператор. ЧислоkAk = sup kAxk = sup kAxk = supkxk≤1kxk=1x6=0kAxk<∞kxk(7.3.1)называется нормой оператора A.7.3.2. Пусть X, Y — линейные нормированные пространства (над одним и тем же полем). Множество всех линейных операторов A : X → Yобозначают через L(X, Y ), а множество всех непрерывных линейных операторов — B(X, Y ).
Легко проверить, что L(X, Y ) — это снова линейноепространство. Следующая теорема показывает, что B(X, Y ) — это подпространство L(X, Y ) и, кроме того, оно является нормированным пространством.Теорема 53. Пусть X, Y — линейные нормированные пространства (надодним и тем же полем). Тогда B(X, Y ) — нормированное пространство соператорной нормой (заданной равенствами (7.3.1)), т.е.1) kAk ≥ 0 и kAk = 0 ⇔ A = 0;2) kαAk = |α|kAk;3) kA + Bk ≤ kAk + kBk; кроме того,4) |kAk − kBk| ≤ kA − Bk;5) если A ∈ B(X, Y ), B ∈ B(Y, X), то AB ∈ B(Y, Y ), BA ∈ B(X, X), иkABk ≤ kAkkBk, kBAk ≤ kBkkAk;6) для любого x ∈ XkAxk ≤ kAkkxk.Доказательство теоремы 53. 1) и 2) свойства доказываются легко, исходяиз определения. Для доказательства 3) имеемkAxk kBxkk(A + B)xk≤ sup+≤kA + Bk = supkxkkxkkxkx6=0x6=0≤ supx6=0kAxkkBxk+ sup= kAk + kBk.kxkx6=0 kxkСвойство 4) есть переформулировка свойства 3):kAk = kA − B + Bk ≤ kA − Bk + kBk, kBk = kB − A + Ak ≤ kA − Bk + kAk.Для доказательства 5) достаточно получить оценку для нормы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
