1611689570-2f7bf9f665e22b4e5993a1e15fa840d7 (826871), страница 16
Текст из файла (страница 16)
ПРОЕКТИРОВАНИЕ107Как и проекция ближайший вектор тоже может не существовать, а вотесли существует, то может быть не единственным. Связь между проекциейи вектором наилучшего приближения заключена в следующей теореме.Теорема 40. Пусть H — гильбертово пространство, E ⊂ H — его замкнутое линейное подпространство. Тогда для любого x ∈ H проекция y = PrE xсуществует, единственна и является ближайшим вектором из E к x.Кроме того, справедлива теорема Пифагора:kxk2 = kyk2 + kx − yk2 .(5.6.1)Доказательство теоремы 40. Докажем сначала теорему Пифагора.
ИмеемO.62kx − yk2 = (x − y, x − y) = (x − y, x) − (x − y, y) = (x − y, x) == (x, x) − (y, x) = kxk2 − kyk2 .| {z }=(y,y)Существование проекции докажем лишь в важном случае конечномерного подпространства E. Ясно, что оно замкнуто. Пусть v1 , . . . , vn — алгебраический базис E. Применяя к нему ортогонализацию Грама–Шмидта,получаем ортонормированную систему e1 , . . . , en , которая также будет алгебраическим базисом E. Таким образом, всякий вектор z ∈ E представляется в видеnXz=αk ek , αk ∈ F.k=1Покажем, что проекция задается равенствомy = PrE x =nXλk ek , λk = (x, ek ).(5.6.2)k=1Имеем(x − y, z) =x−nXλ k ek ,k=1==nXm=1nXm=1nX!αm emm=1nXαm (x, em ) −nX=λk αk (ek , em ) =k=1 m=1αm λm −nXαm λm = 0.m=1Кроме того, проекция есть вектор наилучшего приближения для x :kx − zk2 = (x − y − z + y, x − y − z + y) == kx − yk2 + ky − zk2 + (x − y, y − z) + (y − z, x − y) ≥ kx − yk2 .|{z}=0108ГЛАВА 5.
ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМПример 30. В пространстве Соболева H 1 (−1, 1) найдем двумя способамипроекцию вектора x2 на подпространство E = lin{1, x, |x|}.1 способ: использование формулы (5.6.2). Ортонормированный алгебраический базис в пространстве E мы уже нашли в примере 29:√ √x 6161√ .и e3 = z3 (x) = |x| −e1 = z1 (x) = √ , e2 = z2 (x) =42213ТогдаPrE x2 = λ1 e1 + λ2 e2 + λ3 e3 ,где√12λ1 = (x , e1 ) =,x √ dx =32−1√√Z 1Z 1622x 6dx +2xdx = 0,λ2 = (x , e2 ) =x44−1−1√√ √Z 1Z 16613122√ dx +λ3 = (x , e3 ) =x |x| −2x sgnx √ dx = √ .213136−1−1Таким образом,√√ √2 113611√ + √√ = |x| − .PrE x2 =|x| −3 2266132Z122 способ: использование понятие ближайшего.
Любой вектор z ∈ E имеет видz = a · 1 + b · x + c · |x|.Для нахождения ближайшего нужно определить числа a, b, c ∈ R из условиянаименьшего квадрата нормы kx2 − zk2 . ИмеемZ 1Z 12222F (a, b, c) = kx − zk =(x − a − bx − c|x|) dx +(2x − b − c sgn x)2 dx.−1−114∂F= −2x2 − a − bx − c|x| dx = − + 4a + 2c = 0;∂a3−1Z 1Z 1∂F16b= −2(x2 − a − bx − c|x|)x dx − 22x − b − c sgn x dx == 0;∂b3−1−1Z∂F= −2∂cZ1(x2 − a − bx − c|x|)|x| dx − 2−1= 2a +Z1(2x − b − csgn x) sgn x dx =−116c− 5 = 0.3Решая эту систему из трех уравнений, получаем1a = − , b = 0, c = 1.65.7.
ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС109Таким образом, ближайший вектор имеет вид:1z = |x| − ,6что, как видим, совпадает с найденной проекцией.5.6.2. Ортогональное дополнениеОпределение 64. Пусть H — гильбертово пространство и E ⊂ H. Ортогональным дополнением к множеству E называется множествоE ⊥ = {x ∈ H : x ⊥ E}.Упражнение 22. Показать, что ортогональное дополнение E ⊥ — замкнутое линейное подпространство H.Теорема 41.
Пусть H — гильбертово пространство и E — его замкнутоелинейное подпространство. Тогда H раскладывается в прямую суммуH = E ⊕ E⊥,т.е. для любого x ∈ H найдутся вектора y1 ∈ E и y2 ∈ E ⊥ , чтоx = y1 + y2и такое представление x единственно.Доказательство теоремы 41. Положим y1 = PrE x. По теореме 40 такойвектор существует и единственен. Остается показать, что вектор y2 = x − y1 ∈ E ⊥ .Но это следует в точности из определения проекции 62: x − y1 ⊥ E. Предположим теперь, что существует еще одно представлениеx = ỹ1 + ỹ2 , ỹ1 ∈ E, ỹ2 ∈ E ⊥ .Тогда вычитая одно представление из другого, получаемy − ỹ = ỹ − y ,| 1 {z }1 | 2 {z }2∈E∈E ⊥откуда получаем0 = (y1 − ỹ1 , ỹ2 − y2 ) = (y1 − ỹ1 , y1 − ỹ1 ) ⇒ y1 = ỹ1 .Аналогично получаем, что y2 = ỹ2 .5.7Ортонормированный базис5.7.1.
Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство, E = {xα }α∈A —ортонормированная система векторов. Сепарабельность нашего пространства ограничивает количество векторов в этой системе. А именно, покажем,110ГЛАВА 5. ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМчто эта ортонормированная система не более, чем счетна.
Рассмотрим нормы разностей:kxα − xβ k2 = (xα − xβ , xα − xβ ) = kxα k2 − (xα , xβ ) − (xβ , xα ) + kxβ k2 = 2.| {z } | {z } | {z } | {z }=1=0=0=1Поскольку H сепарабельно, то найдется счетное всюду плотное множество Y ⊂ H (см. определение56). Это в частности означает,что в каждый√√22открытый шар B(xα , 2 ) с центром в xα и радиуса 2 попадает хотя быодна точка y ∈ Y . А поскольку шары не пересекаются, то их количество неболее чем счетно.√Упражнение 23. Докажите, что шары B(xα ,ся.22 )попарно не пересекают-Определение 65. Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство.Ортонормированная система E = {en }n∈N называется ортонормированнымбазисом, или базисом Гильберта, если для любого x ∈ Hx=∞Xλn en , λn = (x, en ).(5.7.1)n=1Разложение (5.7.1) называется разложением вектора x в ряд Фурье по системе E, а коэффициенты λn — коэффициенты Фурье.Напомним, что равенство (5.7.1) в точности означаетlim kx −N →∞NXλn en k = 0.n=1Теорема 42.
Пусть H — не нулевое сепарабельное гильбертово пространство. Ортонормированный базис существует.Доказательство теоремы 42. Приведем лишь индуктивную процедуру построения гильбертова базиса. Так как H нулевое пространство, то существует e1 ∈ H : ke1 k = 1. Положим E1 = lin{e1 }. По теореме 41 имеем H = E1 ⊕ E1⊥ .Если E1⊥ нулевое, то e1 —базис. В противном случае существует e2 ∈ E1⊥ :ke2 k = 1.
Продолжая, положим E2 = lin{e1 , e2 }. Опять по теореме 41 имеем H = E2 ⊕ E2⊥ . И так далее.Ясно, что ортонормированный базис является линейно независимой системой, поэтому его можно включить в алгебраический базис (см. определение 48). Их мощности совпадают лишь в конечномерных пространствах.5.7.2. Неравенство Бесселя и уравнение замкнутостиТеорема 43. Пусть E = {en }n∈N — ортонормированная система в сепарабельном гильбертовом пространстве H.
Для любого x ∈ H справедливонеравенство Бесселя:kxk2 ≥∞Xn=1|λn |2 , λn = (x, en ).(5.7.2)5.7. ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС111Доказательство теоремы 43. Рассмотрим конечномерные подпространстваEn = lin{e1 , e2 , . . . , en }, n ≥ 1.Ясно, что вектора e1 , e2 , . . . , en образуют ортонормированный базис En . Положимn(5.6.2) Xyn = PrEn x =λk ek .k=1Применяя теорему Пифагора, для каждого n ≥ 1 получаемkxk2 = kx − yn k2 + kyn k2 ≥ kyn k2 =nX|λn |2 .k=1Переходя к пределу при n → ∞, получаем требуемое.Определение 66.
Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство.Ортонормированная система E = {en }n∈N называется замкнутой, если длялюбого x ∈ H выполняется равенство Парсеваля, или уравнение замкнутости:∞Xkxk2 =|λn |n , λn = (x, en ).(5.7.3)n=1Упражнение 24.
Показать, что уравнение замкнутости (5.7.3) эквивалентно условию: для любых x, y ∈ H(x, y) =∞Xλn µn , λn = (x, en ), µn (y, en ).(5.7.4)n=15.7.3. Эквивалентные определения ортонормированного базисаОпределение 67. Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство.Ортонормированная система E = {en }n∈N называется полной, если ее ортогональное дополнение E ⊥ = 0, т.е. если для любого n ≥ 1 (x, en ) = 0, тоx = 0. Говорят также, что систему E нельзя пополнить.Теорема 44. Пусть E = {en }n∈N — ортонормированная система в сепарабельном гильбертовом пространстве H.
Следующие условия эквивалентны:1). E — ортонормированный базис;2). E — замкнутая система;3). E — полная система.Доказательство теоремы 44. 1) ⇒ 2). Пусть E — ортонормированный базис. Рассмотрим ряды Фурье по системе E двух произвольных векторов x, y ∈ H :x=y=∞Xλn en , λn = (x, en ),n=1∞Xm=1µm em , µm = (y, em ).112ГЛАВА 5. ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМИмеем(x, y)(5.4.8)==NXlimN,M →∞limN,M →∞λ n en ,n=1N XMXMX!µm em=m=1λn µm (en , em ) =n=1 m=1∞Xλn µn .n=1Это, учитывая (5.7.4), означает замкнутость системы E.2) ⇒ 3).
Пусть E — замкнутая система. Предположим, что она не полна.Тогда ее можно пополнить не нулевым вектором x ∈ H. Это означает, чтовсе коэффициенты Фурье λn = (x, en ) = 0. Но тогда из уравнения замкнутости следует, что∞X|λn |2 = 0.kxk2 =n=13) ⇒ 1).
Пусть E — полная система. Для любого x ∈ H рассмотрим последовательностьNXSN =λn en , λn = (x, en ).n=1Покажем, что эта последовательность сходится. Ввиду полноты пространства H для этого достаточно доказатьPфундаментальность SN . Из неравен∞ства Бесселя (5.7.2) следует, что ряд n=1 |λn |2 сходится. Тогда для любого ε > 0 найдется номер n0 = n0 (ε) ∈ N такой, что для всех M > N ≥ n0MX|λn |2 < ε.n=N +1Тогда для таких же M и N имеемkSM2MM XX2− SN k = λn =|λn |2 < ε.n=N +1n=N +1Итак, последовательность SN сходится. Обозначим ее предел через x̃. Длялюбого m ≥ 1 имеем!NX(5.4.6)(x − x̃, em ) = (x, em ) − (x̃, em ) = λm − limλn en , em =N →∞= λm − limN →∞NXn=1λn (en , em ) = λm − λm = 0.n=1Таким образом, вектор x − x̃ ∈ E ⊥ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
