1611689570-2f7bf9f665e22b4e5993a1e15fa840d7 (826871), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Пусть, например, классическиеортогональные многочлены стандартизованы с использованием производящей функции w(x, t) следующим образомw(x, t) =∞Xqn (x) nt ,n!n=0тогда для всех x, являющихся точками аналитичности весовой функции hпри малых t имеет место равенствоw(x, t) =1h(x0 ),h(x) 1 − tB 0 (x0 )где x0 — корень (квадратного по переменной z) уравнения z − x − tB(z) = 0,ближайший при малых |t| к x.6.3Многочлены Лежандра6.3.1. Производящая функцияРассмотрим промежуток ортогональности (a, b) = (−1, 1) и весовую функцию h = 1. Это значит, что начнем изучать многочлены Лежандра Pn .
Мыбудем рассматривать эти многочлены и их свойства посредством стандартизации с использованием производящей функцииw(x, t) = √∞X1=Pn (x)tn1 − 2xt + t2n=0(6.3.1)6.3. МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА127для всех x ∈ [−1, 1] и t из некоторой окрестности нуля. Мы будем использовать в дальнейшем, что это ряд можно почленно дифференцировать какпо переменной x, так и по t.Сначала выясним, что задаваемые таким образом функции Pn действительно являются многочленами степени n для каждого n ≥ 0. ИмеемP0 (x) = w(x, 0) = 1,P1 (x) =(6.3.2)1 ∂w(x, t) = x.1!∂t t=0(6.3.3)Остальные функции мы найдем, используя трёхчленную рекуррентнуюформулу.6.3.2. Трехчленная рекуррентная формулаЗаметим, что∂w(1 − 2xt + t2 )= (x − t)w.∂tПодставляя сюда выражение (6.3.1) для производящей функции и применяяпочленное дифференцирование, получаем(1 − 2xt + t2 )∞XPn (x)ntn−1 = (x − t)n=1∞XPn (x)tn .n=0Откуда∞X(n+1)Pn+1 (x)tn −n=0X2xnPn (x)tn +n=1X(n−1)Pn−1 (x)tn =n=2∞XxPn (x)tn −n=0∞Xn=1Приравнивая коэффициенты при tn справа и слева, получаем для всех n ≥ 1(n + 1)Pn+1 (x) − x(2n + 1)Pn (x) + nPn−1 (x) = 0 .(6.3.4)Это соотношение называется трехчленной рекуррентной формулой для многочленов Лежандра.
Из нее уже видно, что каждая функция Pn есть многочлен степени n.6.3.3. Дифференциальное уравнениеЗаметим, что справедливо равенство(1 − 2xt + t2 )∂w= tw.∂xПодставляя снова сюда выражение (6.3.1) для производящей функции иприменяя почленное дифференцирование, получаем2(1 − 2xt + t )∞Xn=0Pn0 (x)tn=t∞Xn=0Pn (x)tn .Pn−1 tn .128ГЛАВА 6. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫОпять приравнивая коэффициенты при tn+1 справа и слева, получаем длявсех n ≥ 100Pn+1(x) − 2xPn0 (x) + Pn−1(x) = Pn (x).(6.3.5)Продифференцировав трехчленную рекуррентную формулу (6.3.4) по x, получим еще одно соотношение00(n + 1)Pn+1(x) − x(2n + 1)Pn0 (x) − (2n + 1)Pn (x) + nPn−1(x) = 0.(6.3.6)00Из уравнений (6.3.5) и (6.3.6) исключая сначала Pn+1(x), а потом Pn−1(x),получаем0xPn0 (x) − Pn−1= nPn (x), n ≥ 1,(6.3.7)0Pn+1(x) − xPn0 (x) = (n + 1)Pn (x), n ≥ 0.(6.3.8)В формуле (6.3.8) сдвинем заменим индекс n на n − 1 и из получившегося0равенства и соотношения (6.3.7) исключим производную Pn−1.
Проделавэто, получим(1 − x2 )Pn0 (x) = nPn−1 (x) − xnPn (x), n ≥ 1.Дифференцируя это равенство по x, получаем0((1 − x2 )Pn0 (x))0 = nPn−1(x) − xnPn0 (x) − nPn (x) = 0.Остается использовать формулу (6.3.7) и получить((1 − x2 )Pn0 (x))0 + n(n + 1)Pn (x) = 0 .(6.3.9)Отметим, что общее решение дифференциального уравнения Лежандра((1 − x2 )y 0 )0 + n(n + 1)y = 0,−1 < x < 1имеет видy(x) = c1 Pn (x) + c2 Qn (x),где c1 , c2 некоторые константы, а функция Qn (x) является функцией Лежандра второго рода. Она не является многочленом и неограничена на(−1, 1), в отличие от многочленов Лежандра, для которыхsup |Pn (x)| = 1.(6.3.10)x∈[−1,1]6.3.4. Соотношение ортогональностиУмножив уравнение (6.3.9) на многочлен Лежандра с другим номером,получим((1 − x2 )Pn0 (x))0 Pm (x) + n(n + 1)Pn (x)Pm (x) = 00((1 − x2 )Pm(x))0 Pn (x) + m(m + 1)Pm (x)Pn (x) = 0.6.3. МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА129Вычитая одно из другого, получаем0((1 − x2 )Pn0 (x))0 Pm (x) − ((1 − x2 )Pm(x))0 Pn (x) + Pn (x)Pm (x)(n(n + 1) − m(m + 1)) = 00((1 − x2 )(Pn0 (x)Pm (x) − Pm(x)Pn (x)))0 + Pn (x)Pm (x)(n − m)(n + m + 1) = 0.Теперь проинтегрируем последнее равенство на промежутке ортогональности (−1, 1) :Z10=0((1 − x2 )(Pn0 (x)Pm (x) − Pm(x)Pn (x)))0 + Pn (x)Pm (x)(n − m)(n + m + 1) dx =−110= (1 − x2 )(Pn0 (x)Pm (x) − Pm(x)Pn (x))−1 + (n − m)(n + m + 1)ZZ1Pn (x)Pm (x) dx =−11= (n − m)(n + m + 1)Pn (x)Pm (x) dx.−1Таким образом, многочлены с разными номерами ортогональны:Z 1(Pn , Pm ) =Pn (x)Pm (x) dx = 0, n 6= m.(6.3.11)−1Домножим теперь трехчленную рекуррентную формулу (6.3.4) на (2n − 1)Pn−1 ,а сдвинутую по номеру на 1 домножим на (2n + 1)Pn :2(2n − 1)(n + 1)Pn−1 (x)Pn+1 (x) − x(2n − 1)(2n + 1)Pn−1 (x)Pn (x) + n(2n − 1)Pn−1(x) = 0(2n + 1)(n − 1)Pn2 (x) − x(2n − 1)(2n + 1)Pn−1 (x)Pn (x) + (n − 1)(2n + 1)Pn (x)Pn−2 (x) = 0.Вычитая одно из другого и интегрируя получившуюся разность, с учетом (6.3.11), получимZ1Pn2 (x) dx =−12n − 12n + 1Z12Pn−1dx.−1Понижая степень, в итоге получимZ 1Z 132.Pn2 (x) dx =P 2 (x) dx =2n + 1 −1 12n + 1−1(6.3.12)Соединяя вместе формулы (6.3.11) и (6.3.12), получим соотношения ортогональности для многочленов Лежандра, стандартизованных с использованием производящей функции (6.3.1):Z1(Pn , Pm ) =Pn (x)Pm (x) dx =−11δnm .n + 1/2(6.3.13)pТогда многочлены P̃n = n + 1/2Pn образуют полную ортонормированную систему в L1 ([−1, 1]).
Следовательно, для любой функции f ∈ L2 ([−1, 1])130ГЛАВА 6. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫимеет место разложение в ряд Фурье по системе Pen и, следовательно, поPn :∞Xf=λ n Pn ,n=1гдеZ1f (x)Pn (x) dx.λn = (n + 1/2)(f, Pn ) = (n + 1/2)(6.3.14)−1Для гладких функции f, как и в классическом случае тригонометрическойсистемы, справедливо поточечное представление.Теорема 49. Пусть f ∈ C 1 ([−1, 1]), тогда для любого x ∈ [−1, 1]f (x) =∞Xλn Pn (x),n=1где λn удовлетворяют (6.3.14).6.3.5.
Формула РодригаТеорема 50. Для многочленов Лежандра стандартизованных с использованием производящей функции (6.3.1) справедлива формула Родрига1Pn (x) =2n n!((1 − x2 )n )(n) .(6.3.15)Доказательство теоремы 50. Достаточно доказать, что функции, стоящиев правой стороне формулы (6.3.15) являются многочленами, которые удовлетворяют соотношению ортогональности (6.3.13). То, что это многочленстепени n — это очевидно.
Проверим соотношение ортогональности. Пустьдля определенности n ≥ m и1cn,m = n+m,2n!m!тогдаZ 1Z 1Pn (x)Pm (x) dx = cn,m((1 − x2 )n )(n) ((1 − x2 )m )(m) dx =−1−11Z((1 − x2 )m )(m) d((1 − x2 )n )(n−1) == cn,m−1Z1= −cn,m((1 − x2 )n )(n−1) ((1 − x2 )m )(m+1) dx =−1= (−1)n cn,mZ1(1 − x2 )n ((1 − x2 )m )(m+n) dx =−1nZ1= (−1) cn,m δnm(1 − x2 )n ((1 − x2 )n )(2n) dx =−1= (−1)2n (2n)!cn,m δnmZ1−1(1 − x2 )n dx.6.3. МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА131Остается заметить, чтоZ 1Z 1Zx=sin t(1 − x2 )n dx = 2(1 − x2 )n dx = 2−10π/2cos2n+1 t dt =0Γ(n + 1)Γ(1/2)n!2n+1= B(n + 1, 1/2) ==.Γ(n + 3/2)(2n + 1)!!В итоге получаем(Pn , Pn ) = (−1)2n (2n)!cn,n2n!2n+1=.(2n + 1)!!2n + 16.3.6. Мультипольное разложение кулоновского потенциалаВ качестве первого применения многочленов Лежандра вычислим несколько последовательных приближенных значений кулоновского потенциала,создаваемого объемным заряженным ограниченным телом на достаточноудаленном от самого тела (по сравнению с его размерами) расстоянии.Рассмотрим объемное тело V c общим зарядом Q (с объемной плотностьюзаряда %).
Вычислим потенциал, создаваемый этим телом в точке A. Кулоновский потенциал точечного заряда dq = %dxdydz находится по формулеdΦ(R) =%(r)dxdydzdq=√,2|R − r|R − 2Rr cos θ + r2где r — расстояние от точечного заряда dq до начала координат, R — расстояние от точки A до начала координат, a угол θ — это угол между векторами r и R.Тогда общий потенциал будет интегралом по всем точечным зарядам,или, что то же самое, по объему:ZZZZZZ%(r)dV%(r)dV√q=Φ(R) = .2 − 2Rr cos θ + r 2RV R 1 − 2 r cos θ + r 2VRR132ГЛАВА 6. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫПоскольку мы считаем точку A удаленной от заряженного тела (R r), топрименяя формулу для производящей функции w( Rr , cos θ) для многочленовЛежандра, получимZZZ%(r)dVΦ(R) =V=RZZZ∞Xn=0(6.3.1)=qVZZZ X∞2V n=01 − 2 Rr cos θ + Rr∞ r n %(r)dVXσn,=Pn (cos θ)RRRn+1n=0Pn (cos θ) r n %(r)dV=RRгдеZZZPn (cos θ)rn %(r)dV.σn =VЭто разложение называется мультипольным разложением кулоновского потенциала.
Используя формулы для выражения первых трех многочленовЛежандра, легко выписать выражения для первых трех слагаемых этогоразложения, которые имеют свои названия:Φ(R) 'σ0σ1σ2+ 2 + 3,RRRгдеZZZσ0 =%(r) dV = Q — полный заряд,VZZZσ1 =%(r)r cos θ dV— дипольный момент,VZZZ%(r)r2σ2 =V3 cos2 θ − 1dV2— квадрупольный момент.6.3.7. Задача Дирихле в шареЗадачу Дирихле нахождения гармонической функции в некоторой области мы уже решали, когда изучали ряды Фурье (по тригонометрическойсистеме) — там мы находили гармонические функции в круге.
Используяразложение функции в ряд Фурье по многочленам Лежандра, мы найдемрешение задачи Дирихле в шаре.Пусть B(0, R) = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 < R2 } — открытый шар сцентром в нуле и радиуса R > 0. Мы ищем отображение u ∈ C 2 (B(0, R))такое, что4u = 0, u|∂B(0,R) = f,где f — гладкая функция, зависящая только от переменной z.Переходя в сферические координатыx = r cos ϕ sin θ, y = r sin ϕ sin θ, z = r cos θ, ϕ ∈ [0, 2π), θ ∈ [0, π],6.3. МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА133получим следующую задачу: найти дважды гладкую функцию u = u(r, ϕ, θ)такую, что4u =1 ∂ 2 ∂u1∂∂u1∂2u=0(r)+(sinθ)+r2 ∂r∂rr2 sin θ ∂θ∂θr2 sin2 θ ∂ϕ2и u(a, ϕ, θ) = f (θ). Поскольку на границе шара, как видим, функция u независит от переменной ϕ, будем искать решение, также не зависящее от ϕ.Тогда задача упростится и будет иметь вид: найти дважды гладкую функцию u = u(r, θ) такую, что4u =∂ 2 ∂u1 ∂∂u(r)+(sin θ ) = 0,∂r∂rsin θ ∂θ∂θu(R, θ) = f (θ).Разделяя переменные r и θ по методу Фурье, будем искать частное решениев виде u(r, θ) = R(r)S(θ).
Подставляя в уравнение Лапласа, получим1 ∂ 2 ∂R11 ∂∂S(r)=−(sin θ) = const.R(r) ∂r∂rS(θ) sin θ ∂θ∂θПолагая const = n(n + 1), n ∈ N, решим каждое из уравнений по отдельности. Для первого уравнения(r2 R0 )0 = n(n + 1)Rищем решение в виде R(r) = rα , α ∈ R. Подставляя в уравнение, получаемα = n. Для второго уравнения(sin θS 0 )0 + n(n + 1)S sin θ = 0покажем, что S(θ) = Pn (cos θ), где Pn — n-ый многочлен Лежандра.
Подставляя в уравнение, получаем(− sin2 θPn0 (cos θ))0 (− sin θ) + n(n + 1)Pn (cos θ) sin θ = 0.Сокращая на sin θ и делая замену cos θ = x, получаем уравнение Лежандра (6.3.9).Таким образом частными решениями уравнения Лапласа являются функции un (r, θ) = rn Pn (cos θ), n ≥ 0, а общим решением являетсяu(r, θ) =∞Xcn rn Pn (cos θ), cn ∈ R.n=0Коэффициенты cn находят из граничных условий и теоремы 49, примененной к функции f (θ) = f (arccos x) :∞Xn=0ncn R Pn (cos θ) = u(R, θ) = f (θ) = f (arccos x) =∞Xn=0λn Pn (x) =∞Xn=0λn Pn (cos θ),134ГЛАВА 6. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫгдеλn(6.3.14)=πZ−(n + 1/2)f (θ)Pn (cosθ) sin θ dθ.0Отсюда делаем вывод, чтоcn =λnRnиu(r, θ) =∞Xλnn=0rnPn (cos θ).Rn(6.3.16)6.3.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
