1611689570-2f7bf9f665e22b4e5993a1e15fa840d7 (826871), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Тогда он имеет вид y 0 = f (x00 )x00 , гдеx00 ∈ (ker f )⊥ , kx00 k = 1. Ясно, что x00 = eiβ x0 , β ∈ R, тогдаy 0 = f (x00 )x00 = f (eiβ x0 )eiβ x0 = e−iβ eiβ f (x0 )x0 = f (x0 )x0 = y.7.7.2. Бра- и кет-векторы.Часто в физической литературе встречается обозначение скалярногопроизведение в виде не круглых, а заостренных скобок: < x, y >. Давайтена некоторое время тоже воспользуемся этим обозначением, и предположим, что скалярное произведение линейно не по первому аргументу, а повторому. Тогда, следуя Дираку, можно ввести следующую терминологию:для любых x, y ∈ H будем говорить, что < x| — это бра-вектор, а |y > — этокет-вектор. Эти названия исходят из того, что записав их рядом < x| |y >мы получаем обычную скобку < x, y > (скобка по английски "bracket"). Такие обозначения удобны при рассмотрении квантово механической интерпретации некоторых важных операторов.
При этом кет-вектор |y > — этоэлемент y гильбертового пространства H, а бра-вектор < x|— это элементсопряженного пространства H 0 , т.е. линейный непрерывный функционал,который действует по правилу< x|(y) =< x|(|y >) =< x, y > .Таким образом в этих обозначениях стоящие рядом бра- и кет-вектора обозначают скалярное произведение: < x| |y >=< x, y >. Стоящие же рядом7.7. ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ155кет и бра вектора есть оператор проектирования на вектор y ∈ H: длялюбого z ∈ H имеем|y >< x|(z) = |y >< x|(|z >) = |y >< x, z >=< x, z > |y >=< x, z > y.Чтобы чуть ближе познакомиться с этой терминологией, давайте в конечномерном пространстве найдем выражения тождественного оператораи резольвенты в терминах бра и кет-векторов.Пусть dim H = n и e1 , e2 , .
. . , en — какой-нибудь ортонормированный базис H. Тогда покажем, чтоI=nX|ek >< ek |.(7.7.2)k=1Действительно, для каждого x ∈ H имеемnX|ek >< ek |(x) =k=1=nX|ek >< ek ||x >=k=1nXnX< ek , x > |ek >=k=1< ek , x > ek = x = Ix.k=1Пусть теперь A ∈ B(H) и e1 , e2 , . . . , en — ортонормированный базис Hтакой, что Aek = λk ek , k = 1, 2, . .
. , n. Тогда для любого λ ∈ ρ(A)−1Rλ = (A − λI)=nXk=11|ek >< ek |.λk − λ(7.7.3)Действительно, пусть Rλ y = x, тогда!nnXXy = Ax − λx = A< ek , x > |ek > − λ< ek , x > |ek >=k=1=nXk=1< ek , x > A|ek > +λk=1nX< ek , x > |ek >=k=1nX(λk − λ) < ek , x > |ek > .k=1Откуда находим, что< ek , y >= (λk − λ) < ek , x > .Используя последнее соотношение, получаемRλ y = x =nXk=1< ek , x > |ek >=nnXX< ek , y >1|ek >=|ek >< ek |(y).(λk − λ)λk − λk=1k=1Упражнение 28. Покажите, что для любого x ∈ H с единичной нормой,т.е.
kxk = 1, справедливо равенство|x >< x| = Prlin{x} .1567.8ГЛАВА 7. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫСопряженные операторы7.8.1. Определение и свойства.Определение 85. Пусть H1 и H2 — гильбертовы пространства. ОператорA∗ ∈ L(H2 , H1 ) называется сопряженным1 (относительно скалярного произведения) к A ∈ B(H1 , H2 ) оператором, если для всех x1 ∈ H1 и x2 ∈ H2имеет место равенство(Ax1 , x2 )H2 = (x1 , A∗ x2 )H1 .(7.8.1)Покажем, что сопряженный оператор A∗ существует. Зафиксируем произвольный вектор x2 ∈ H2 и рассмотрим функционал f ∈ H10 , заданный равенствомf (x1 ) = (Ax1 , x2 )H2 , x1 ∈ H1 .Это, действительно, ограниченный, функционал, поскольку|f (x1 )| ≤ kAx1 kkx2 k ≤ kAkkx1 kkx2 k,откудаkf k ≤ kAkkx2 k < ∞.По теореме Рисса о линейном непрерывном функционале в гильбертовомпространстве (теорема 60) существует единственный вектор y1 ∈ H1 такой,что(x1 , y1 )H1 = f (x1 ) = (Ax1 , x2 )H2 .Таким образом у нас есть отображение A∗ : H2 → H1 , которое каждому вектору x2 ∈ H2 сопоставляет вектор y1 ∈ H1 , и при этом выполняется равенство (7.8.1).
Линейность этого отображения следует из линейности скалярного произведения.Теорема 61. Справедливы следующие утверждения:1) пусть A, B ∈ B(H1 , H2 ) и α, β ∈ C, тогда(αA + βB)∗ = αA∗ + βB ∗ ;2) пусть A ∈ B(H1 , H2 ), тогда (A∗ )∗ = A;3) пусть A ∈ B(H1 , H2 ) и B ∈ B(H, H1 ), тогда(AB)∗ = B ∗ A∗ ;4) пусть A ∈ B(H) обратим и A−1 ∈ B(H), тогда A∗ обратим и(A∗ )−1 = (A−1 )∗ ,1 иногданыйтакже встречается термины: эрмитово сопряженный, гильбертово сопряжен-7.8.
СОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ1575) пусть A ∈ B(H1 , H2 ), тогда A∗ ∈ B(H2 , H1 ) иkA∗ k = kAk.Доказательство теоремы 61. 1) Для любых x1 ∈ H1 , x2 ∈ H2 имеем(x1 , (αA + βB)∗ x2 ) = ((αA + βB)x1 , x2 ) = α(Ax1 , x2 ) + β(Bx1 , x2 ) == α(x1 , A∗ x2 ) + β(x1 , B ∗ x2 ) = (x1 , (αA∗ + βB ∗ )x2 ).2) Аналогично, для всех x1 ∈ H1 , x2 ∈ H2 имеем(x1 , Ax2 ) = (Ax2 , x1 ) = (x2 , A∗ x1 ) = (A∗ x1 , x2 ) = (x1 , (A∗ )∗ x2 ).3) Действуя тем же способом, для всех x1 ∈ H, x2 ∈ H2 получаем(x1 , (AB)∗ x2 ) = (ABx1 , x2 ) = (Bx1 , A∗ x2 ) = (x1 , A∗ B ∗ x2 ).4) Покажем сначала, что A∗ обратим.
Пусть y ∈ ker A∗ , т.е. A∗ y = 0. Тогдадля всех x ∈ H0 = (x, 0) = (x, A∗ y) = (Ax, y),т.е. y ∈ (im A)⊥ = H ⊥ = {0}. Далее, по свойству 3) имеемI = I ∗ = (AA−1 )∗ = (A−1 )∗ A∗ ,что месте с аналогичным равенством I = A∗ (A−1 )∗ доказывает 4).5) Оценим норму сопряженного оператора:kA∗ k2 = sup kA∗ xk2 = sup (A∗ x, A∗ x) =kxk≤1kxk≤1∗ ∗= sup (x, (A ) A x) ≤ sup kxk2 kAA∗ k = kAA∗ k ≤ kAkkA∗ k,kxk≤1∗kxk≤1откуда следует, что kA∗ k ≤ kAk.
Противоположное неравенство также имеет место ввиду свойства 2).7.8.2. Сопряжение и спектр.Теорема 62. Пусть A ∈ B(H). Тогда1) σ(A∗ ) = σ(A);2) если λ ∈ σr (A), то λ ∈ σp (A∗ );3) если λ ∈ σp (A∗ ) и λ 6∈ σp (A), то λ ∈ σr (A);4) σc (A∗ ) = σc (A).Доказательство теоремы 62. 1) Достаточно доказать аналогичное равенство для регулярных значений. По определению λ ∈ ρ(A) тогда и толькотогда, когда (A − λI)−1 определен на всем H. По свойствам 4) и 1) теоремы 61 это значит, что оператор((A − λI)−1 )∗ = ((A − λI)∗ )−1 = (A∗ − λI)−1158ГЛАВА 7.
ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫопределен на всем H. Это по определению означает, что λ ∈ ρ(A∗ ).2) Пусть λ ∈ σr (A). Это по определению означает, что подпространствоE = cl dom (A − λI)−1 не совпадает с H. Следовательно, найдется ненулевой вектор y ∈ E ⊥ , т.е. y 6= 0 и (x, y) = 0 для всех x ∈ E. Ясно, что все xвида x = (A − λI)z, z ∈ H лежат в E. Для таких x (т.е. для каждого z ∈ H)получаем0 = (x, y) = ((A − λI)z, y) = (z, (A − λI)∗ y).Отсюда следует, что(A − λI)∗ y = A∗ y − λy = 0,что и требовалось доказать (λ ∈ σp (A∗ )).3) Пусть λ ∈ σp (A∗ ). Это по определению означает, что найдется y ∈ H такой, что y 6= 0 и A∗ y = λy.
Тогда для любого x ∈ H0 = (x, 0) = (x, (A∗ − λI)y) = ((A − λI)x, y),что эквивалентно im (A − λI) ⊆ {y}⊥ . Так как к тому же λ 6∈ σp (A), то оператор (A − λI)−1 определен иy6=0cl dom (A − λI)−1 = cl im (A − λI) ⊆ {y}⊥ 6= H.Следовательно, λ ∈ σr (A).4) Из доказанных свойств имеемσp (A∗ ) \ σp (A) = σr (A),7.9.
САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ159σp (A) \ σp (A∗ ) = σr (A∗ ).Отсюда заключаем, чтоσp (A∗ ) t σr (A∗ ) = σp (A∗ ) t (σp (A) \ σp (A∗ )) = σp (A∗ ) t σp (A) == (σp (A∗ ) \ σp (A)) t σp (A) = σr (A) t σp (A).7.8.3. Нормальные операторы.C сопряжением связан естественный класс операторов, обобщающих комплексные числа.Определение 86. Оператор A ∈ B(H) называется нормальным, если онкоммутирует со своим сопряженным, т.е. коммутатор [A, A∗ ] := AA∗ − A∗ A = 0.Наиболее важными подклассами нормальных операторов являются самосопряженные и унитарные операторы.Определение 87.
Оператор A ∈ B(H) называется самосопряженным (эрмитовым, симметрическим, вещественным), если A∗ = A. Оператор A ∈ B(H)называется унитарным, если он непрерывно обратим и A−1 = A∗ .Любой ограниченный оператор A ∈ B(H) может быть представлен в видеA = A1 + iA2 ,гдеA1 := Re A =11(A + A∗ ), A2 := Im A = (A − A∗ )22iназываются соответственно вещественной и мнимой частями оператора A.Легко проверить, что оба этих оператора самосопряжены.Это представление дает аналогию с комплексными числами z ∈ C, которые по определению имеют вид z = x + iy, x, y ∈ R. Для комплексныхчисел мнимая и действительные части коммутируют: xy = yx.
Поэтомуестественным операторным аналогом C являются операторы, для которых[Re A, Im A] = 0. Нетрудно проверить, что это в точности нормальные операторы.При такой аналогии сопряжение для операторов соответствует комплексному сопряжению, самосопряженные операторы соответствую вещественным числам, а унитарные операторы — единичной окружности {|z| = 1}.7.9Самосопряженные операторы7.9.1.
Теорема о спектре.160ГЛАВА 7. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫТеорема 63. Пусть A ∈ B(H) — самосопряженный оператор. Тогдаσ(A) ⊆ R, σr (A) = ∅;собственные вектора, отвечающие различным собственным числам ортогональны, и kRλ k ≤ 1/|Im λ| для любого λ ∈ C \ R.Доказательство теоремы 63. Рассмотрим уравнение Ax − λx = y, y ∈ H, λ ∈ C.Умножим его скалярно на x ∈ H и возьмем мнимую частьIm (Ax, x) − Im (λ(x, x)) = Im(y, x).Поскольку (x, x) = kxk2 вещественное число и (Ax, x) тоже вещественноечисло:(Ax, x) = (x, Ax) = (Ax, x),получим равенство− kxk2 Im λ = Im(y, x).(7.9.1)Пусть λ ∈ C \ R, т.е. Im λ 6= 0. Тогда полагая y = 0, из равенства (7.9.1) получаем, что kxk = 0, следовательно, x = 0. Это в точности означает, чточисла λ ∈ C \ R не могут быть собственными значениями, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
