1611689570-2f7bf9f665e22b4e5993a1e15fa840d7 (826871), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Из теоремы 66 следует, что предел последовательности операторов конечного ранга — это компактный оператор.Докажем обратное. Пусть A ∈ K(H1 , H2 ) и {en }n∈N и {hn }n∈N — ортонормированные базисы в пространствах H1 и H2 соответственно. Тогда длялюбого x ∈ H1 имеемx=∞X(x, ek )ek , Ax =∞ X∞X(x, ek )(Aek , hm )hm .m=1 k=1k=1ПоложимAn x =n XnX(x, ek )(Aek , hm )hm ,m=1 k=1а также рассмотрим операторы ортогонального проектированияPn x = P r{e1 ,...,en } xQn y = P r{h1 ,...,hn } y(5.6.2)nX(5.6.2)k=1nX==(x, ek )ek ,m=1(y, hk )hk .7.11. ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА–ШМИДТА167Ясно, что An — оператор конечного ранга и An = Qn APn . Покажем,что limn→∞ kAn − Ak = 0.
Предположим противное, т.е. найдется ε > 0 ивектора xn ∈ H1 такие, что kxn k = 1 и k(A − An )xn k ≥ ε для бесконечногомножества номеров n ∈ N. Переходя к подпоследовательностям, посколькуA компактный, можно считать, что APn xn и A(I − Pn )xn сходятся в H2 .Положимu = lim APn xn , v = lim A(I − Pn )xn .n→∞n→∞Заметим, что v = 0. Действительно,kvk2 = (v, v) = lim (A(I − Pn )xn , v)n→∞Pn∗ =Pn=lim (xn , A∗ (I − Pn )v) ≤n→∞∞X≤ lim kxn kA∗ k(I − Pn )vk = lim kA∗ kn→∞n→∞|(v, ek )|2 = 0.k=n+1Далее имеемk(A − An )xn k = k(A − Qn APn )xn k = k(A(I − Pn )xn + APn xn − Qn APn xn k == k(A(I − Pn )xn + (I − Qn )APn xn k ≤≤ k(A(I − Pn )xn k + k(I − Qn )APn xn − (I − Qn )uk + k(I − Qn )uk == k(A(I − Pn )xn k + k(I − Qn )(APn xn − u)k + k(I − Qn )uk ≤kI−Qn k=1≤k(A(I − Pn )xn k + kAPn xn − uk + k(I − Qn )uk .{z} |{z} |{z}|→v=0→0→0Пришли к противоречию.
Теорема доказана.7.11Теорема Гильберта–Шмидта7.11.1. Спектр компактного оператора. Приведем без доказательстватеорему о спектре компактного оператора и некоторые следствия из нее.Теорема 68. Пусть H — бесконечномерное гильбертово пространство иA ∈ K(H), т.е. A — компактный оператор, тогда 0 ∈ σ(A) и σ(A) \ {0} ⊆ σp (A).Кроме того, для любого ε > 0 существует конечное число линейно независимых собственных векторов, отвечающих собственным числам λ ∈ σp (A)c |λ| ≥ ε.Следствие 10. 1) для любого ε > 0 существует конечное число собственных чисел λ ∈ σp (A) c |λ| ≥ ε.2) с учетом кратности собственные числа можно занумеровать:|λ1 | ≥ |λ2 | ≥ . . .
≥ 0.Может так оказаться, что кроме нуля в спектре компактного оператора ничего нет. Как показывает следующая теорема при дополнительномусловии самосопряженности обязательно найдется ненулевое собственноезначение.168ГЛАВА 7. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫТеорема 69. Пусть A — ненулевой компактный самосопряженный оператор, тогда существует λ ∈ σp (A) \ {0}.Доказательство теоремы 69. Воспользуемся равенством (7.9.3) для нормы самосопряженного оператора.
Так как A 6= 0, то0 < kAk = r(A) = sup |λ| =λ∈σ(A)supλ∈σ(A)\{0}T. 68|λ| =sup|λ|.λ∈σp (A)\{0}Откуда, очевидно, следует существование нужного собственного значения.7.11.2. Спектральное разложение компактного самосопряженного оператора. Из курса линейной алгебры известно, что всякая симметрическая n × n-матрица может быть приведена к диагональному виду, гдена диагоналях стоят собственные числа этой матрицы.
Этот вид матрицаимеет в базисе, состоящем из ее собственных векторов. Этот же результат можно выразить в других терминах. ПустьPs λk — это собственное числоматрицы кратности nk , 1 ≤ k ≤ s, причем k=1 nk = n. Тогда в базисе, состоящем из собственных векторов матрицы имеемdiag(λ1 , . . . , λ1 , . . . , λs , . . . , λs ) =| {z }| {z }n1ns= λ1 diag(1, .
. . , 1, 0 . . . , 0) + . . . + λs diag(0, . . . , 0, 1, . . . , 1) =| {z }| {z }n1=sXnsλk Pk ,k=1где Pk = diag(0, . . . , 0, 1, . . . , 1, 0, . . . , 0) — ортопроектор на пространство соб| {z }nkственных векторов, отвечающих собственному значению λk .Аналогичное утверждение имеет место и для компактных самосопряженных операторов.Теорема 70 (Гильберт, Шмидт).
Пусть A — компактный самосопряженный оператор, определенный в бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве H. Тогда существует ортонормированная система {en }n∈N ,состоящая из собственных векторов оператора A такая, что для каждого x ∈ H∞XAx =λk (x, ek )ek ,(7.11.1)k=1где |λ1 | ≥ |λ2 | ≥ . . . ≥ 0 — собственные числа оператора A, пронумерованные с учетом кратности, причем λn → 0 при n → ∞.
Построенная система будет ортонормированным базисом тогда и только тогда, когдаker A = 0.7.11. ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА–ШМИДТА169Доказательство теоремы 70. По теореме 69 найдется вектор e1 ∈ H и число λ1 ∈ σp (A) такие, что Ae1 = λ1 e1 и |λ1 | = kAk. Положим E1 = lin {e1 }⊥ ,тогда по теореме 65 об инвариантных подпространствах самосопряженногооператора следует, что E1 инвариантное подпространство. Тогда, рассматривая сужение A1 = A |E1 оператора A на E1 , получим компактный и самосопряженный оператор. Если A1 = 0, то наши рассуждения заканчиваютсяна этом шаге, поскольку в этом случае получаем для каждого x ∈ HAx = A((x, e1 )e1 + xE1 ) = (x, e1 )Ae1 + A1 xE1 = λ1 (x, e1 )e1 .Если же A1 6= 0, то снова по теореме 69 найдется вектор e2 ∈ E1 и число λ2 ∈ σp (A1 ) ⊆ σp (A) такие, что A1 e2 = Ae2 = λ2 e2 и |λ2 | = kA1 k ≤ kAk = λ1 .Продолжая таким образом, мы либо прийдем к оператору An = 0 и тогдадля каждого x ∈ H будетAx =nXλn (x, en )en ;k=1либо получим бесконечную систему векторов {en }n∈N такую, чтоAen = An−1 en = λn en , |λn | = kAn−1 k ≥ kAn k = |λn+1 |,где An = A |En и En = lin {e1 , e2 , .
. . , en }⊥ .Покажем, что во втором случае λn → 0 при n → ∞. Предположим, что |λn | → λ∞ > 0при n → ∞ (сходимость есть ввиду монотонности). Тогда последовательность векторов zn = λ−1n en ограниченаkzn k =1ken k≤< ∞,|λn |λ∞но из последовательности Azn = en нельзя извлечь сходящуюся подпоследовательность. Получили противоречие с компактностью оператора A.Рассмотрим теперь последовательность векторов xn , задаваемых равенствомnXxn = x −(x, ek )ek .k=1Ясно, что kxn k ≤ 2kxk и, кроме того, xn ∈ En .
ТогдаkAxn k = kAn xn k ≤ kAn kkxn k ≤ |2λn+1 |kxk.Следовательно, при n → ∞ будет Axn → 0, что эквивалентно равенству (7.11.1).Предположим теперь, что построенная система, состоящая из собственных векторов оператора A, полна. Возьмем x ∈ ker A, тогда имеемx=∞X(x, en )en , 0 = Ax =n=1∞Xn=1λn (x, en )en .170ГЛАВА 7. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫИз последнего равенства следует, что (x, en ) = 0 (поскольку λn 6= 0); подставляя в первое, получаем x = 0. Пусть теперь ker A = 0. Рассмотрим вектор x ∈ H и x̃, задаваемый равенствомx̃ =∞X(x, en )en .n=1ТогдаA(x − x̃) = Ax − Ax̃ =∞Xλn (x, en )en −n=1∞Xλn (x, en )en = 0,n=1т.е. x − x̃ ∈ ker A, следовательно,x = x̃ =∞X(x, en )en .n=1Теорема полностью доказана.7.12Возмущение точечного спектра самосопряженного оператора7.12.1. Задача теории возмущений.
Метод теории возмущений применяется в том случае, когда оператор, спектр которого нужно изучить, близок в каком-либо смысле к оператору, у которого спектральные данныеизвестны. Невозмущенный оператор, про спектр которого все известно, будем обозначать A0 , оператор возмущения будем обозначать B, а возмущенный оператор, соответственно Aε = A0 + εB. Поскольку спектр чувствителен даже к малым изменениям оператора, то нужно накладывать некоторые условия на операторы A0 и B, чтобы задача поддавалась исследованию.Мы рассмотрим классическую задачу о возмущении изолированного собственного значения простой кратности для самосопряженного оператора A0 .В этом случае можно доказать, что возмущенное собственное значение исобственный вектор являются аналитическими функциями относительно ε,т.е.
раскладываются в ряд. Более сложные задачи можно посмотреть в монографиях [18].7.12.2. Задача Релиха. Итак, у нас есть самосопряженный оператор A0 , у которого есть изолированное собственное значение λ0 кратности 1,т.е. dim ker (A0 − λ0 I) = 1. Пусть x0 есть какой-нибудь собственный вектор,отвечающий собственному значению λ0 , т.е. A0 x0 = λ0 x0 .Возмущенный оператор Aε в некоторой окрестности точки λ0 будет иметьсобственное значение λε также кратности 1:2λε = λ0 + ελ1 + ε λ2 + . . . =∞Xn=0λn εn , λn ∈ C.(7.12.1)7.12.
ВОЗМУЩЕНИЕ ТОЧЕЧНОГО СПЕКТРА САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА171Собственный вектор xε ему соответствующий будет лежать в некоторойокрестности вектора x0 :xε = x0 + εx1 + ε2 x2 + . . . =∞Xεn xn , xn ∈ H.(7.12.2)n=0Нам нужно определить все неизвестные параметры выписанных разложений, решая уравнение Aε xε = λε xε . Левая часть этого уравнения имеет следующий вид:Aε xε = (A0 + εB)∞Xnε x n = A0 x 0 +n=0∞Xεn (A0 xn + Bxn−1 ).n=1Правая часть будет иметь следующее представление:! ∞!!∞∞nXXXXnnnλ ε xε =ε λnε xn =ελk xn−k .n=0n=0n=0k=0Приравнивая выражения при одинаковых степеняхPεn в получившихся рядах, получаем систему уравнений A0 xn + Bxn−1 = k=0 λk xn−k , n ≥ 1, или(A0 − λ0 I)x0 = 0,(A0 − λ0 I)x1 = −Bx0 + λ1 x0 ,(A0 − λ0 I)x2 = −Bx1 + λ1 x1 + λ2 x0 ,...,(A0 − λ0 I)xn = −Bxn−1 +n−1Xλn−k xk .k=0Можно считать, что все вектора xn при n ≥ 1 лежат в пространстве E = ker (A0 − λ0 I)⊥ .Действительно, в противном случае каждый вектор xn может быть представлен в виде суммы xn = cn x0 + x̃n , где cn ∈ F и x̃n ∈ E.
Тогда представление (7.12.2) будет иметь требуемый вид:xε =∞Xεn xn = x0 +n=0= x0∞Xn=11+∞X!cn εn+{zx̃0∞Xn=1n=1|εn (cn x0 + x̃n ) =εn x̃n =∞Xεn x̃n .n=0}Чтобы определить скаляры λn , в полученных уравнениях возьмем скалярные произведения с вектором x0 , получим((A0 − λ0 I)xn , x0 ) = (xn , (A0 − λ0 I)∗ x0 ) = (xn , (A0 − λ0 I)x0 ) = (xn , 0) = 0172ГЛАВА 7. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫдля левых частей, откуда для правых частей получаем равенства0 = −((B − λ1 I)x0 , x0 ),0 = −(Bxn−1 , x0 ) + λn (x0 , x0 ) +n−1Xk=1λn−k (xk , x0 ), n ≥ 2.| {z }=0(Bxn−1 ,x0 )(x0 ,x0 ) , n ≥ 1.−1λ0 I) |E ) . Этот операторОтсюда находим, что λn =Положим R0 = ((A0 −есть взаимнооднозначное линейное ограниченное отображение пространства E на E. Тогдаx1 = −R0 (B − λ1 I)x0 ,{z}|∈Exn = −R0 (Bxn−1 − λn x0 ) +|{z}∈En−1Xk=1λn−k R0 xk , n ≥ 2.|{z}∈EГлава 8Неограниченные симметрические операторыИмеет ли данный симметрический оператор самосопряженные расширения, а если имеет, то сколько, — это вопрос физики, ибо самосопряженные операторы соответствуют наблюдаемымР.Д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
