1611689570-2f7bf9f665e22b4e5993a1e15fa840d7 (826871), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Рихтмайер8.1Определение и примеры неограниченногооператораНапомним, что задать оператор A ∈ L(H) – это значит выяснить, каковаего область определения DomA и правило по которому он действует. Отсюдаследует, что если операторы задаются одинаковой формулой, но с разнымиобластями определения, то это разные операторы.Если не оговорено противное, то область определения линейного оператора будем считать линейным подпространством, всюду плотным в гильбертовом пространстве H.Определение 93.
Оператор A ∈ L(H) называется неограниченным, еслиkAxk= ∞.06=x∈DomA kxksupМы уже встречались с неограниченным оператором в предыдущей главе. Там неограниченный оператор естественно возник как сильный пределпоследовательности ограниченных операторов. Конкретным примером былоператор уничтожения частиц. Рассмотрим еще несколько примеров.Пример 38. Пусть H1 = L2 (0, 1) и H2 = L2 (R). Рассмотрим операторы координатыq̂k : Hk → Hk , k = 1, 2,действующие по правилуq̂k fk (x) = xfk (x), fk (x) ∈ Dom q̂k , k = 1, 2,173174ГЛАВА 8. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ СИММЕТРИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫRгде Dom q̂1 = H1 , а Dom q̂2 = f2 ∈ H2 | R x2 |f2 (x)|2 dx < ∞ .Нам уже известно, что q̂1 ∈ B(H1 ) и khatq1 k = 1. Покажем, что q̂2 –неограниченный оператор. Отметим, что его область определения содержит финитные функции, поэтому всюду плотна в H2 . Рассмотрим последовательность функций fn (x) = θ(n2 − x2 ), где θ – функция Хевисайда (равнанулю на отрицательных числах и единице на неотрицательных.) Ясно, чтоfn (x) ∈ Dom q̂2 :ZZ n2n322 2,kq̂2 fn (x)k =x fn (x) dx =x2 dx =3R−nтогда!1/22n3kq̂2 f kkq̂2 fn k3sup≥ lim= lim= ∞.n→∞ kfn kn→∞2n06=f ∈Dom q̂2 kf kПример 39.
Пусть H1 = L2 (0, 1) и H2 = L2 (R). Рассмотрим операторы импульсаp̂k : Hk → Hk , k = 1, 2,действующие по правилуp̂k fk (x) = idfk (x), fk (x) ∈ Dom p̂k , k = 1, 2,dxгде Dom p̂1 = C ∞ (0, 1), аDom q̂2 = {f2 ∈ H2 : f 0 (x) существует п.в. и f 0 ∈ H2 }.Покажем, что оба оператора неограничены. Пусть fn (x) = xn , тогда!1/2n2kp̂1 f kkp̂1 fn k2n−1≥ lim= lim= ∞.sup1n→∞ kfn kn→∞06=f ∈Domhatp1 kf k2n+1Возьмём теперь f (x) = xn θ(1 − x2 ), тогда точно такжеsup06=f ∈Domp̂2kp̂2 f kkp̂2 fn k≥ lim= limn→∞ kfn kn→∞kf kn22n−112n+1!1/2= ∞.Пример 40. Пусть H = L2 (R) и операторAf (x) = −f 00 (x) + x2 f (x), f ∈ Dom A,где Dom A = S(R) – быстроубывающие функции. Тогда этот операторнеограничен, так как у него есть собственные функции φn ∈ J(R) с собственными значениями 2n + 1 :d22− 2 + x φn (x) = (2n + 1)φn (x).dxОни называются функциями Эрмита, или волновыми функциями гармонического осциллятора.
Ясно, что этого достаточно, чтобы доказать неограниченность.8.2. ЗАМЫКАНИЕ ОПЕРАТОРА8.2175Замыкание оператораОпределение 94. График Γ(T ) линейного оператора T – это множествопар{< f, T f >, f ∈ DomT }.Ясно, что Γ(T ) ⊂ H × H, где H × H – прямое произведение гильбертовыхпространств, которое также является гильбертовым пространством. Скалярное произведение в нём задаётся формулой (упражнение 3.1):(< f1 , f2 >, < g1 , g2 >)H×H = (f1 , g1 )H + (f2 , g2 )H .(3.2)В дальнейшем индексы у скалярных произведений мы будем опускать.Определение 95.
Оператор T называется замкнутым, если его график Γ(T )– это замкнутое в H × H множество.Замкнутость оператора в точности означает, что если последовательность fn ∈ DomT сходится к f ∈ DomT и T fn также сходится, то она обязательно сходится к T f.Ввиду последней переформулировки, ясно, что из ограниченности оператора следует его замкнутость. Обратно, также верно: замкнутый всюдуопределённый оператор будет ограниченным. Это утверждение классической теоремы о замкнутом графике.Определение 96. Пусть T, T1 ∈ L(H). Тогда оператор T1 называется расширениемоператора T , если Γ(T1 ) ⊃ Γ(T ).
В этом случае пишут T1 ⊃ T . Иначе, этоможно записать следующим образом:T1 ⊃ T ⇔ Γ(T1 ) ⊃ Γ(T ) ⇔ DomT1 ⊃ DomT и T1 f = T f, f ∈ DomT.Определение 97. Пусть T ∈ L(H) имеет замкнутое расширение, тогда говорят, что он замыкаем, или допускает замыкание. Наименьшее (по включению) замкнутое расширение называется замыканием T и обозначается T .Ясно, что для замкнутого оператора T = T . Неограниченный не замкнутый оператор может быть замыкаем, а может и не быть.Пример 3.6.
Рассмотрим пример оператора, который имеет замкнутыерасширения.Пусть H = L2 (R), DomT1 = C0∞ (R) и DomT2 = C01 (R). ПоложимTk f = if 0 , f ∈ DomTk , k = 1, 2.Ясно, что T2 – расширение T1 , т. е. Γ(T2 ) ⊃ Γ(T1 ). Покажем, что Γ(T1 ) ⊃ Γ(T2 ).Пусть положительная функция ω ∈ C0∞ (R) такая, чтоZsuppω = [−1, 1] иω(x) dx = 1.R176ГЛАВА 8.
НЕОГРАНИЧЕННЫЕ СИММЕТРИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫПримером такой функции является хорошо известная "шапочка Соболева".Для всякого ε > 0 положим ωε (x) = 1ε ω( xε ). Покажем, что для всякой ϕ ∈ DomT2найдётся ϕε ∈ DomT1 , такая, чтоϕε → ϕ, ϕ0ε → ϕ0 при ε → 0.ПустьZϕε (x) = (ωε ∗ ϕ)(x) =ωε (x − t)ϕ(t) dt,Rтогдаkϕε − ϕk ≤ |suppϕ| sup |ϕε (x) − ϕ(x))|x∈suppϕZ≤ |suppϕ| supωε (x − t)|ϕ(t) − ϕ(x)| dtx∈suppϕ≤ |suppϕ| supRsup |ϕ(t) − ϕ(x)|.x∈suppϕ |x−t|>εТак как по теореме Кантора функция ϕ равномерно непрерывна на компакте suppϕ, то последнее выражение стремится к нулю при ε, стремящемся кнулю. Аналогично доказывается сходимость производных. Таким образом,мы показали, что < ϕε , T1 ϕε > → < ϕ, T2 ϕ > при ε → 0.Позже мы узнаем, что оба оператора T1 и T2 замыкаемы, поэтому будетсправедливы соотношения:T2 ⊃ T1 ,T2 ⊃ T1 ;T1 ⊃ T2T1 ⊃ T2 ;следовательно,T1 = T2 .8.3Оператор, сопряженный к неограниченномуОпределение 98.
Пусть T – плотно определенный линейный оператор вгильбертовом пространстве H. Пусть D(T ∗ ) – множество таких ϕ ∈ H, длякоторых существуют такие η ∈ H, что(T ψ, ϕ) = (ψ, η)для всех ψ ∈ DomT. Тогда для каждого такого ϕ ∈ D(T ∗ ) положим T ∗ ϕ = η.Оператор T ∗ называется сопряженным к T .8.3. ОПЕРАТОР, СОПРЯЖЕННЫЙ К НЕОГРАНИЧЕННОМУ177Если оператор T будет не плотно определенным, то его сопряженный T ∗не существует (точнее говоря, он определяется не однозначно). Действительно, пусть найдутся два элемента η1 и η2 таких, что:(T ψ, ϕ) = (ψ, η1 ), (T ψ, ϕ) = (ψ, η2 )для всех ψ ∈ DomT. Тогда, вычитая одно равенство из другого, получаем:(ψ, η1 − η2 ) = 0,т. e.
вектор η1 − η2 лежит в (DomT )⊥ .Так как DomT плотно в H и скалярное произведение непрерывно полевому аргументу, то для всякого ξ ∈ H найдутся ψn ∈ DomT такие, что0 = (ψn , η1 − η2 ) → (ξ, η1 − η2 ) = 0.Взяв ξ = η1 − η2 получим, что η1 = η2 .Итак, чтобы сопряженный оператор существовал, нужна плотная определенность первоначального оператора. Поэтому, даже если сопряженныйсуществует, то второй сопряженный T ∗∗ = (T ∗ )∗ может уже не существовать.Пример 41.
Пусть H = L2 (R) и f – ограниченная функция, не лежащая вL2 (R), например, f (x) = sin x. Определим оператор T следующим образом.ПоложимZDomT = ψ ∈ L2 (R),|f (x)ψ(x)| dx < ∞ .RЯсно, что это множество содержит функции с компактным носителем(например, индикаторы отрезков), следовательно, оно плотно в L2 (R). Длявсякой ψ ∈ DomT определимT ψ = (ψ, f )ψ0 ,2где ψ0 – произвольная фиксированная функция из L2 (R), например, ψ0 (x) = e−x .Пусть ϕ ∈ DomT ∗ , тогда для всякой ψ ∈ DomT получим равенства:(ψ, T ∗ ϕ) = (T ψ, ϕ) = ((ψ, f )ψ0 , ϕ) == (ψ, f )(ψ0 , ϕ) = (ψ, (ψ0 , ϕ)f ) = (ψ, (ϕ, ψ0 )f ).Отсюда получаем, что T ∗ ϕ = (ϕ, ψ0 )f , но так как f 6∈ L2 (R), то с необходимостью (ϕ, ψ0 ) = 0.
Таким образом, получаем, что DomT ∗ = ψ0⊥ – не плотное в H множество, следовательно, второй сопряженный T ∗∗ не определен,а T ∗ = 0 на своей области определения.8.3.1. О связи сопряжения и замыкания Рассмотрим теперь соотношения между замыканием оператора и его второго сопряженного, еслиони существуют.178ГЛАВА 8. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ СИММЕТРИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫТеорема 71 (О связи сопряжения и замыкания). Пусть T ∈ L(H) и DomTплотно в H, тогда1) T ∗ замкнут;2) T допускает замыкание тогда и только тогда, когда DomT ∗ плотнов H, причем, в этом случае T = T ∗∗ ;∗3) если T допускает замыкание, то T = T ∗8.4Симметрические и самосопряженные операторыВ случае ограниченных операторов понятия симметрического и самосопряженного операторов одинаковы. В неограниченном случае есть отличия,а в чем они заключаются, и предстоит нам выяснить в этом разделе.Определение 99.
Плотно определенный оператор T ∈ L(H) называетсясимметрическим, если сопряженный к нему является его расширением: T ⊂ T ∗ .Это равносильно выполнению равенства для всяких ϕ, ψ ∈ DomT(T ϕ, ψ) = (ϕ, T ψ).Ясно, что всякий симметрический оператор замыкаем. Действительно,чтобы это понять, нужно показать, что DomT ∗ плотно в H. Но это следуетиз включения DomT ⊂ DomT ∗ и всюду плотности DomT.Раз T замыкаем, то существует наименьшее замкнутое расширение T =T ∗∗ , а так как T ∗ тоже замкнутое расширение T, то получаем включение,эквивалентное определению симметрического оператора:T ⊂ T ∗∗ ⊂ T ∗ .Для замкнутых симметрических операторов справедливо, следовательно,такое включение:T = T ∗∗ ⊂ T ∗ .Следующим шагом является рассмотрение операторов, для которых будутравенства между тремя операторами.Определение 100.
Плотно определенный оператор T ∈ L(H) называетсясамосопряженным, еслиT = T ∗∗ = T ∗ .Самосопряженные операторы являются самыми важными среди всехопределенных выше, однако, легче установить симметричность и замкнутость оператора. Выяснить наличие самосопряженности у замкнутого симметрического оператора можно с помощью установления симметричностисопряженного к нему. Действительно, имеем включения:T = T ∗∗ ⊂ T ∗ ⊂ T ∗∗ ,откуда получаем равенство T ∗ = T ∗∗ .8.4. СИММЕТРИЧЕСКИЕ И САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ179Определение 101.
Плотно определенный оператор T ∈ L(H) называется существенно самосопряженным, если его замыкание – самосопряженныйоператор.В терминах равенств и включений это определение эквивалентно записи:T ⊂ T ∗∗ = T ∗ .Действительно, имеем соотношения:T ⊂ T , T = T ∗∗ , T = (T )∗ , (T )∗ = T ∗ .Исключительность таких операторов заключается в том, что среди всехрасширений они обладают единственным самосопряженным расширением.Теорема 72 (О самосопряженном расширении существенно самосопряженного оператора). Пусть T – существенно самосопряженный оператор, тогда он имеет единственное самосопряженное расширение S = T ∗∗ .Доказательство.
Из определения существенной самосопряженности следует, что T ∗∗ самосопряженное расширение оператора T . Пусть S – какоенибудь самосопряженное расширение T. Тогда S замкнут и из того, что Sрасширяет T получаем, чтоS = S ⊃ T = T ∗∗ .ОткудаS = S ∗ ⊂ (T ∗∗ )∗ = T ∗∗ .Сравнивая включения, получаем S = T ∗∗ . Выпишем таблицу для запоминания операторов с той или иной степеньюсопряжения.Симметрический операторЗамкнутый симметрический операторСамосопряженный операторСущественно самосопряженный операторTTTT⊂ T ∗∗= T ∗∗= T ∗∗⊂ T ∗∗⊂ T∗⊂ T∗= T∗= T∗8.4.1. Критерий самосопряженностиДля выяснения самосопряжен ли (или существенно самосопряжен) рассматриваемый оператор полезен следующий общий критерий.Теорема 73 (Критерий самосопряженности симметрического оператора). Пусть T – симметрический оператор в гильбертовом пространстве H.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
