1611689570-2f7bf9f665e22b4e5993a1e15fa840d7 (826871), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Получимее для композиции AB :kABk = supy6=0kABykkABykkAByk kByk= sup= sup≤kykkykBy6=0By6=0 kByk kykkABykkByksup≤ kAkkBk.kBykBy6=0y6=0 kyk≤ sup142ГЛАВА 7. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫНеравенство в 6) очевидно становится равенством при x = 0. При x 6= 0имеемkAxkkAxkkAk = sup≥.kxkx6=0 kxkПример 35. Найдем (оценим) нормы линейных операторов из примера 33:kOk = 0, kIk = supx6=0kPrE k2 = supx6=0nkPrE xk2kxk2(5.6.1)=kxk= 1;kxksupx6=0kx1 k2= 1.kx1 k2 + kx2 k2mДля A : C → C , n, m ∈ N имеем n mX XλaykAk = sup kAxk = sup k jk j ≤kxk≤1kxk≤1 k=1 j=1≤mn XXsup |(x, xk )|ajk | kyj k ≤|{z}k=1 j=1 kxk≤1≤n XmXk=1 j=1=1sup kxk kxk k |ajk | ≤| {z }kxk≤1=1n XmX|ajk | < ∞.k=1 j=1Таким образом, L(Cn , Cm ) = B(Cn , Cm ).7.4Сходимость операторов7.4.1.
Имея норму на множестве ограниченных операторов, можно говорить о сходимости операторов в этой норме. Но есть и другой естественный(более слабый) способ определения сходимости операторов.Определение 80. Пусть X, Y — линейные нормированные пространства(над одним и тем же полем). Пусть задано отображение A : X → Y и операторы An ∈ B(X, Y ). Говорят, Tчто An сходится к A∞1) сильно, если для любого x ∈ n=1 Dom AnkAn x − Axk → 0 при n → ∞;2) равномерно, еслиkAn − Ak → 0 при n → ∞.7.4. СХОДИМОСТЬ ОПЕРАТОРОВ143Если коротко, то равномерная — это сходимость в операторной норме,а сильная — это сходимость по норме образа.Рассмотрим некоторые свойства сходимости операторов.1) Сильный предел линейных операторов — снова линейный оператор.Доказательство.
Для любых x1 , x2 ∈ X и α1 , α2 ∈ F имеем0 ≤ kA(α1 x1 + α2 x2 ) − α1 Ax1 − α2 Ax2 k == kA(α1 x1 + α2 x2 ) − An (α1 x1 + α2 x2 ) + α1 An x1 − α1 Ax1 + α2 An x2 − α2 Ax2 k ≤≤ kA(α1 x1 + α2 x2 ) − An (α1 x1 + α2 x2 )k + kα1 An x1 − α1 Ax1 k + kα2 An x2 − α2 Ax2 k.Поскольку последние три слагаемых стремятся к нулю при n → ∞, тоkA(α1 x1 + α2 x2 ) − α1 Ax1 − α2 Ax2 k = 0 ⇒ A(α1 x1 + α2 x2 ) = α1 Ax1 + α2 Ax2 .2) Из равномерной сходимости следует сильная сходимость.
Говорят также, что сильная сходимость слабее :) равномерной.Доказательство. Для каждого x ∈ XkAn x − Axk ≤ kAn − Akkxk → 0.Соединяя 1) и 2) свойство, заключаем, что равномерный предел линейныхоператоров тоже является линейным оператором.3) Равномерный предел ограниченных линейных операторов — ограниченный линейный оператор.Доказательство. Необходимо проверить только ограниченность:kAk ≤ kA − An k + kAn k < ∞.4) Сильный предел ограниченных линейных операторов может оказаться неограниченным оператором. В качестве примера рассмотрим последовательность операторов An : `2 → `2 , определенных формулой√√√An x = (x1 , 2x2 , 3x3 , .
. . , nxn , 0, 0, . . .), x = (x0 , x1 , x2 , . . .) ∈ `2 .Его сильным пределом является оператор уничтожения частиц A : `2 → `2 ,определенный на множествеDom A = {x ∈ `2 :∞Xn|xn |2 < ∞}n=1равенством√√Ax = (x1 , 2x2 , 3x3 , .
. .).144ГЛАВА 7. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫДоказательство того факта, что A неограниченный и действительно является сильным пределом An оставляем в качестве упражнения.7.4.2. Следующее важное свойство равномерной сходимости сформулируем в виде теоремы.Теорема 54.
Пусть X, Y — линейные нормированные пространства надодним и тем же полем, причем Y является полным относительно своей нормы пространством. Тогда B(X, Y ) — полное относительно операторной нормы нормированное пространство. В частности, утверждениесправедливо, когда X и Y — гильбертовы пространства.Доказательство теоремы 54. Пусть An ∈ B(X, Y ), n ≥ 1 суть фундаментальная последовательность линейных ограниченных операторов, т.е. длялюбого ε > 0 найдется номер n0 = n0 (ε) ∈ N такой, что для любых p ≥ 0 иn ≥ n0kAn − An+p k < ε.Отсюда легко следует, что для каждого фиксированного x ∈ X последовательность векторов yn = An x является фундаментальной в Y :kyn − yn+p k = k(An − An+p )xk ≤ kAn − An+p kkxk < εkxkдля всех p ≥ 0 и n ≥ n0 .
Поскольку пространство Y полно, то последовательность yn имеет предел y ∈ Y . Определим отображение A : X → Y равенством Ax = y для каждого x ∈ X. Поскольку из построения следует, чтоA есть сильный предел последовательности операторов An , то A — линейный оператор. Осталось доказать, что A есть равномерный предел последовательности An . Для любого n ≥ n0 имеемkAn x − Axk ≤ kAn x − An+p xk + kAn+p x − Axk < εkxk + kAn+p x − Axk,{z}|→0 при p→∞следовательно,kAn x − Axk ≤ εkxkиkAn − Ak ≤ εпри n ≥ n0 .7.4.3. Операторные ряды.
Наличие операторной нормы дает возможность говорить о рядах операторов.Определение 81. Пусть H — гильбертово пространство и An ∈ B(H) —∞Pпоследовательность ограниченных операторов. Говорят, что рядAn схоn=1дится (равномерно), если последовательность частичных сумм Sn =nPk=1сходится (равномерно).Ak7.5. ОБРАТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ145Справедливы следующие свойства сходимости операторных рядов.∞P1).
Если числовой рядkAn k сходится, то сходится и операторный рядn=1∞PAn .n=1Доказательство. Достаточно доказать фундаментальность частичной суммы Sn . Она следует из сходимости ряда норм. Действительно, имеем n+pn+p∞ XXXkAk k <Ak ≤kAk k < εkSn − Sn+p k = k=n+1k=n+1k=n+1для любого ε > 0 и всех достаточно больших n ∈ N.2). Если операторные ряды∞Pряд∞PAn иn=1∞PBn сходятся, то для любых α, β ∈ Fn=1αAn + βBn тоже сходится иn=1α∞Xn=1An + β∞Xn=1Bn =∞XαAn + βBn .n=1Доказательство. Легко следует из определения, переходя к рассмотрениючастичных сумм.7.5Обратные операторыОпределение 82. Линейный оператор A ∈ L(X, Y ) называется обратимым, если для любого y ∈ Y уравнение Ax = y имеет не более одного решения x ∈ X. Другими словами, ядро оператора нулевое, т.е.ker A = {x ∈ X : Ax = 0} = {0}.Если оператор A обратим, то обратным называется оператор A−1 : Y → X,задаваемый условиемA−1 y = x ⇔ Ax = y.Рассмотрим простейшие свойства обратимых операторов.Теорема 55.
Справедливы следующие утверждения:1). Если A ∈ L(X, Y ) обратим, то A−1 — линейный оператор и приэтомDom A−1 = im A, im A−1 = Dom A.2). Если A ∈ L(X, Y ) и B ∈ L(Y, X) и AB = IY , BA = IX , то A и B —взаимно обратные операторы, т.е. они обратимы и A−1 = B, B −1 = A.146ГЛАВА 7. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ3). Если A ∈ L(X, Y ) и B ∈ L(Y, Z) — обратимые линейные операторыи Dom B = im A, то BA ∈ L(X, Z) — обратимый линейный оператор и(BA)−1 = A−1 B −1 .4). Если A ∈ L(X, Y ) обратим, то A−1 ∈ L(Y, X) тоже обратим и(A−1 )−1 = A.Доказательство теоремы 55. 1).
Формулы для области определения и области значений сразу же следуют из определения обратного. Теперь убедимся, что область определения обратного есть линейное пространство, т.е.покажем, что образ im A линейного оператора A есть линейное подпространство в Y. Пусть y1 , y2 ∈ im A, тогда найдутся x1 , x2 ∈ Dom A такие,чтоAx1 = y1 , Ax2 = y2 .Поскольку область определения линейного оператора линейное подпространство, то для любых α, β ∈ F вектор αx1 + βx2 ∈ Dom A. ТогдаA(αx1 + βx2 ) = αAx1 + βAx2 = αy1 + βy2 ,{z}|∈im Aчто доказывает линейность образа.
Переписывая это равенство в терминахобратного оператора, получаемαA−1 y1 + βA−1 y2 = αx1 + βx2 = A−1 (αy1 + βy2 ),что завершает доказательство линейности обратного оператора.2). Предположим, что A не обратим, тогда для некоторого y ∈ Y найдется по меньшей мере два различных вектора x1 , x2 ∈ X таких, что Ax1 = y = Ax2 .Это предположение приводит нас к следующему противоречию:x1 = IX x1 = BAx1 = By = BAx2 = IX x2 = x2 .Аналогично показывается, что B обратим. Далее, из цепочки включенийY ⊇ Dom B ⊇ Dom AB = Dom IY = Yзаключаем, что оператор B определен на всем пространстве Y. Похожимобразом можно получить, что A определен на всем X.
И, наконец, имеемдля любого y ∈ YA−1 y = x = IX x = BAx = By,откуда заключаем, что A−1 = B. Равенство B −1 = A доказывается аналогично.3). Нужно показать, что для любого z ∈ Z уравнение BAx = z имеет неболее одного решения x ∈ X. Но это последовательно вытекает из того, чтодля любого z ∈ Z уравнение By = z имеет не более одного решения y ∈ Y , и7.5.
ОБРАТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ147для любого y ∈ Y уравнение Ax = y имеет не более одного решения. Далее,имеемDom (BA)−1 = im BADom A−1 B −1Dom A−1Dom B=im A==im B−1=im B,Dom B −1 = im B.Тогда для любого z ∈ im B имеем(BA)−1 z = x ⇔ z = BAx ⇔ B −1 z = Ax ⇔ A1 B −1 z = x,что и завершает доказательства равенства (BA)−1 = A−1 B −1 .4). Следует из 2), где B = A−1 .Следующие две важные теоремы об обратных операторах, справедливые и в более общем случае, мы приводим в контексте гильбертовых пространств.
Первая из них — это теорема Банаха об обратном операторе. Мыприводим ее без доказательства, которое можно посмотреть, например, в [5,глава IV, §5, теорема 3].Теорема 56. Пусть H1 , H2 — гильбертовы пространства и A ∈ B(H1 , H2 )— обратимый оператор. Если Dom A = H1 и im A = H2 , то A−1 являетсяограниченным оператором.Следующая теорема Неймана — это операторное обобщение суммы бесконечной геометрической прогрессии.Теорема 57. Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ B(H) и kAk < 1.Тогда оператор I − A непрерывно обратим и(I − A)−1 =∞XAn .n=0Доказательство теоремы 57. Рассмотрим операторный рядA0 = I и An+1 = AAn = An A, n ≥ 0. Поскольку∞Xn=0kAn k ≤∞XkAknkAk<1=P∞n=0An , где(1 − kAk)−1 < ∞,n=0то по доказанному ранее признаку, ряд S =PNSN = n=0 An , тогдаk(I − A)SN − Ik = k(I − A)NXP∞An − Ik = kn=0n=0NXn=0N +1 kAk<1= kAN +1 k ≤ kAk→An сходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
