1611689570-2f7bf9f665e22b4e5993a1e15fa840d7 (826871), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Так как E полна, то это значит, что x = x̃.А это ввиду произвольности x означает, что E — гильбертов базис.5.7. ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС113Пример 31. Пусть H = `2 покажем, что система E = {en }n∈N , гдеen = (0, 0, . . . ,1|{z}, . . .), n ∈ Nn−ое местоявляется ортонормированным базисом. В примере 23 мы уже рассматривали эту систему и поняли, что она линейно независима. Кроме того, легкопосчитать, что она ортонормальна. Рассмотрим произвольный векторx = (x1 , x2 , ...) ∈ `2 .Коэффициенты Фурье легко считаются: λn = (x, en ) = xn , n ≥ 1. Тогдаkx −NXλn en k2 = kx −n=1NXxn en k2 =n=1∞X|xn |2 → 0n=N +1Таким образом, мы напрямую показали, что E — гильбертов базис.
Уравнение замкнутости для E выглядит как2kxk =∞X|xn |2 .n=1Но это по сути определение нормы в `2 . Полнота системы E также легкопроверяется:(x, en ) = 0 ⇒ xn = 0 ⇒ x = 0.Пример 32. Пусть H = L2 [−π, π] покажем, что система E = {en }n∈N , гдеeinxen (x) = √ , n ∈ Z2πявляется ортонормированным базисом. Легко проверяется, что данная система ортонормальна. Запишем, каким должно быть равенство Парсевалядля этой системы:kf k2 =Z∞Xπ|f (x)|2 dx =−πn=−∞где1λn = (f, en ) = √2πZ∞X|λn |2 = 2ππf (x)einx dx|cn |2 ,n=−∞(1.4.1)=√2πc−n ,−πа cn — "старые" коэффициенты Фурье. Замечаем, что получившееся уравнение замкнутости лишь формой записи отличается от доказанного намиранее равенства Ляпунова (1.9.4).Аналогичные рассуждения справедливы для тригонометрической системы состоящей из косинусов и синусов (см.
[P12, пример 2.4.2.]).114ГЛАВА 5. ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ5.8Изоморфизм гильбертовых пространствОпределение 68. Пусть H1 и H2 — гильбертовы пространства. Они называются изоморфными, если существует отображение Φ : H1 → H2 , удовлетворяющее свойствам1). Φ — биекция;2). Φ — линейное отображение;3). Φ сохраняет скалярное произведение, т.е. для любых x, y ∈ H1(x, y)H1 = (Φ(x), Φ(y))H2 .Отображение Φ называется при этом изоморфизмом между пространствами H1 и H2 .Для доказательства теоремы об изоморфизме нам понадобится теоремаРисса–Фишера.Теорема 45. Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство с ортонормированным базисом E = {en }n∈N .
Для любого λ = (λ1 , λ2 , . . .) ∈ `2найдется вектор x ∈ H такой, чтоx=∞Xλn en , λn = (x, en ).n=1Доказательство теоремы 45. Как и при доказательстве теоремы 44 (пункт3) ⇒ 1)) покажем, что последовательностьSN =NXλ n enn=1P∞фундаментальна, а значит сходится в H. Так как λ ∈ `2 , то ряд n=1 |λn |2сходится. Тогда для любого ε > 0 найдется номер n0 = n0 (ε) ∈ N такой, чтодля всех M > N ≥ n0MX|λn |2 < ε.n=N +1Тогда для таких же M и N имеемkSM2MM XX− SN k = λn =|λn |2 < ε.2n=N +1n=N +1Обозначим за x предел последовательности SN .
Это и есть искомый векториз H.Сформулируем и докажем теорему об изоморфизме сепарабельных гильбертовых пространств.5.8. ИЗОМОРФИЗМ ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ115Теорема 46. Всякое сепарабельное гильбертово пространство H изоморфно `2 .Доказательство теоремы 46. Зафиксируем в H какой-нибудь гильбертовбазис E = {en }n∈N .
Для любого x ∈ H, представляемым своим рядом Фурьепо системе E∞Xx=λn en , λn = (x, en ),n=1определим отображение Φ : H → `2 равенствомΦ(x) = (λ1 , λ2 , . . .).Покажем, что это и есть изоморфизм. Линейность практически очевидна:Φ(αx + βy) = (ν1 , ν2 , . . .) = α(λ1 , λ2 , . . .) + β(µ1 , µ2 , . . .) = aΦ(x) + bΦ(y).Здесь мы воспользовались простыми соотношениями:νn = (αx + βy, en ) = α(x, en ) + β(y, en ) = αλn + βµn .Сохранение скалярного произведения:(x, y)H(5.7.4)=∞Xλn µn = (λ, µ)`2 = (Φ(x), Φ(y))`2 .n=1Инъективность: пусть x 6= y, тогда ввиду полноты системы E найдется номер n ∈ N такой, чтоλn = (x, en ) 6= (y, en ) = µn .Откуда следует, что λ 6= µ. Сюръективность: по теореме 45 Рисса–Фишерадля любого λ ∈ `2 обязательно найдется вектор x такой, что Φ(x) = λ.Из доказательства теоремы видно, что изоморфизм не единственен (втеореме он строился, используя некоторый произвольный базис Гильберта).
Поскольку отношение изоморфности транзитивно, то из теоремы следует, что любые два сепарабельных гильбертовых пространств изоморфнымежду собой.116ГЛАВА 5. ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМГлава 6Ортогональные многочленыСистема ортогональных многочленов является простейшей — после тригонометрической системы — системой ортогональных функций и поэтому является весьма ценным аппаратом для приближенного представления функций более сложной природыЯ. Л.
Геронимус6.1Свойства общих ортогональных многочленов6.1.1. Построение системы ортогональных многочленов с помощью процесса Грама–ШмидтаОпределение 69. Функция h : (a, b) → R называется весовой функцией,или просто весом, если h неотрицательна почти всюду на (a, b) относительноRbмеры Лебега и a h(x) dx < ∞.
Другими словами, h ∈ L1 (a, b) и множество{x ∈ (a, b) : h(x) < 0} имеет меру ноль.Определение 70. Пусть h : (a, b) → R —некоторая весовая функция. МноRbжество функций f : (a, b) → R таких, что a f 2 (x)h(x) dx < ∞ будем называть вещественным весовым функциональным пространством и обозначатькак Lh2 (a, b). При этом, как и ранее мы не различаем функции отличающиеся на множестве меры ноль.Ясно, что при h ≡ 1 мы получаем обычное вещественное лебеговскоефункциональное пространство L2 (a, b).
Отметим также, что вещественныевесовые функциональные пространства Lh2 (a, b) являются частными случаями более общих функциональных пространств1 L2 (µ), где µ — некотораямера на (a, b), определяемых по аналогии с вещественными лебеговским1 Пространства L (µ) при 1 < p < ∞ введены Ф.
Риссом, а случай p = 1 рассмотренpГ. Штейнгаузом117118ГЛАВА 6. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫфункциональным пространством с заменой меры dx на dµ(x). В случае весового пространства dµ(x) = h(x) dx. Такие меры называются абсолютнонепрерывными.Легко проверить, что L2 (µ) (и, следовательно, Lh2 (a, b)) есть линейноепространство. Действительно, для любых α, β ∈ R и f, g ∈ L2 (µ) имеемZ bZ bZ b2222(αf (x) + βg(x)) dµ(x) = αf (x) dµ(x) + βg 2 (x) dµ(x)+aaaZbf (x)g(x) dµ(x) ≤+ 2αβ≤ 2α2aZ bf 2 (x) dµ(x) + 2β 2aZbg 2 (x) dµ(x) < ∞.aНа линейном пространстве L2 (µ) (и, следовательно, на Lh2 (a, b)) можноввести скалярное произведениеZ b(f, g)µ =f (x)g(x) dµ(x).(6.1.1)aОтносительно нормы, порожденной этим скалярным произведением, L2 (µ)(и, следовательно, Lh2 (a, b)) является полным, а значит гильбертовым пространством.
Доказательство этого факта можно посмотреть в [5, глава VII,§2, теорема 1].RbВ дальнейшем будем считать, что γn = a x2n h(x) dx < ∞ для любого n ≥ 0, т.е. xn ∈ Lh2 (a, b). Это условие, очевидно, выполняется, если (a, b)есть конечный интервал:Z bZ bx2n h(x) dx ≤ max x2nh(x) dx < ∞.ax∈(a,b)aВ случае же бесконечного интервала (a, b) это условие будет выполнено,если весовая функция h(x) достаточно быстро убывает на бесконечности.Определение 71. Последовательность функций q0 , q1 , .
. . ∈ Lh2 (a, b) называется последовательностью ортогональных многочленов на (a, b) с весом h,если1) qn есть многочлен степени n для всех n ≥ 0;2) старший коэффициент многочлена qn положителен для всех n ≥ 0, т.е.если qn (x) = an xn + . . . , то an > 0;3) (qn , qm )h = δnm .Интервал (a, b) называют при этом промежутком ортогональности.Существование такой последовательности функций следует из процессаГрама–Шмидта, примененному в пространстве Lh2 (a, b) к последовательности мономов xn , n ≥ 0.6.1.2.
Элементарные свойства ортогональных многочленов1◦ . ДляPnлюбого многочлена Qn степени n ≥ 0 справедливо разложениеQn (x) = k=0 ck qk (x) для некоторых ck ∈ R, 0 ≤ k ≤ n.6.1. СВОЙСТВА ОБЩИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ119Доказательство. Утверждение сразу же следует из построения ортогональных многочленов с помощью процесса Грама–Шмидта и теоремы 39:T.39Qn ∈ lin{1, x, . . . , xn } = lin{q0 , q2 , .
. . , qn }.2◦ . Пусть Qn — многочлен степени n ≥ 0, тогда для любого qm , m > nверно (Qn , qm )h = 0.Доказательство.1◦(Qn , qm )h =nX!ck qk , qm=k=0hnXck (qk , qm )h = 0k=03◦ . Ортогональные многочлены однозначно определяются весовой функцией.Доказательство. Применим индукцию по степени n многочлена qn .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
