1611689570-2f7bf9f665e22b4e5993a1e15fa840d7 (826871), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Пусть ϕn , ϕ — быстроубывающие функции. Говорят, чтоϕn сходится к ϕ в пространстве S(Rn ), если для любого мультииндекса αRnDα ϕ(x) ⇒ Dα ϕ(x)при n → ∞. Такую сходимость обозначают какSϕn (x) −→ ϕ(x).Теперь мы можем определить новый класс обобщенных функций.Определение 44. Отображение F : S(Rn ) → C называется обобщенной функцией медленного роста, или умеренным распределением если1) F — линейное отображение;2) F — непрерывное отображение, т.е.Sϕn (x) −→ ϕ(x) ⇒ F (ϕn ) → F (ϕ).Множество всех обобщенных функций медленного роста обозначают через S 0 (Rn ).
Если говорить кратко, то обобщенные функции медленного роста — это линейные непрерывные функционалы на S(Rn ).4.6.2. Прежде, чем привести примеры обобщенных функций медленногороста, отметим следующий факт. Поскольку D(Rn ) ⊂ S(Rn ) и сходимостьDSϕn (x) −→ ϕ(x) влечет сходимость ϕn (x) −→ ϕ(x), тоD0 (Rn ) ⊃ S 0 (Rn ),т.е. всякая обобщенная функция медленного роста остается обобщеннойфункцией.Поясним теперь название обобщенных функций медленного роста.Определение 45.
Отображение f : Rn → C называется функцией медленного (степенного) роста, если существует число m = m(f ) > 0 такое, чтоZ|f (x)|dx< ∞.(1+ kxk)mRnЛегко проверить, что любой полином и всякая быстроубывающая функция являются функциями медленного роста.
А вот, например, при n = 1функция ex таковой не является.Покажем, что всякое регулярное распределение, порождаемое функцией f медленного роста, является обобщенной функцией медленного роста.4.6. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА87Для этого достаточно проверить конечность соответствующего интеграла:для любой пробной ϕ ∈ S(Rn ) имеемZZO.22k(0, p)|f (x)|,|(f, ϕ)| ≤|f (x)||ϕ(x)| dx ≤1 + kxkpnnRRгде p можно положить равным m(f ), что повлечет за собой конечностьрассматриваемого интеграла.Однако, не каждая регулярная обобщенная функция медленного ростапорождается функцией медленного роста. Например, f (x) = ex sin ex .
И всеже связь между ними определяется следующей теоремой Шварца, которуюмы приводим без доказательства.Теорема 35. Любое распределение F ∈ S 0 (Rn ) является обобщенной производной некоторой функции медленного роста.Упражнение 19. Проверьте утверждение теоремы для f (x) = ex sin ex иδ.4.6.3. Операции над обобщенными функциями медленного роста. Теперь мы готовы корректно определить преобразование Фурье дляобобщенных функций, но только медленного роста!Определение 46. Пусть Φ ∈ S 0 (Rn ). Обобщенная функция медленного роста F± [Φ], действующая на пробную функцию ϕ ∈ S(Rn ) по правилу(F± [Φ], ϕ) = (Φ, F± [ϕ]),(4.6.1)называется преобразованием Фурье функции Φ.Ясно, что для регулярных обобщенных функций, порожденных быстроубывающими функциями так определенное преобразование Фурье совпадает с классическим определением.
Другими словами, если рассматриватьпреобразование Фурье как отображениеF± : S 0 (Rn ) → S 0 (Rn ),тоF±|S(Rn ) = F± .Пример 18. Легко проверить, что δ-функция Дирака (напомним, что онаопределена для любой непрерывной функции) является обобщенной функцией медленного роста. Вычислим ее преобразование Фурье.Z1(F± [δ], ϕ) = (δ, F± [ϕ]) = F± [ϕ](0) =ϕ(x)e∓i(x,0) dx =(2π)n/2 RnZ1=ϕ(x)dx = ((2π)−n/2 , ϕ).(2π)n/2 RnТаким образом,F± [δ] = (2π)−n/2 .(4.6.2)88ГЛАВА 4. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИВсе операции, которые были определены для обобщенных функций изD0 (Rn ), справедливы и для обобщенных функций медленного роста с некоторыми уточнениями, при которых данные операции не выводят нас изкласса S 0 (Rn ).
Например, при умножении на бесконечно дифференцируемую функцию нужно наложить условие, чтобы она была быстроубываю2щей. Действительно, рассматривая случай n = 1, если взять, в качестве a = e2x ,2F = e−x , то2aF = ex 6∈ S 0 (R).4.6.4. Свойства F± .Свойства преобразования F± есть точные аналоги соответствующих свойствпреобразования F± .Для любых F, G ∈ S 0 (Rn ), любых a, b ∈ C и любого мультииндекса αсправедливы следующие свойстваF± [aF + bG] = aF± [F ] + bF± [G],(4.6.3)F± [xα F ] = (±i)|α| Dα F± [F ],(4.6.4)F± [Dα F ] = (±ix)α F± [F ],(4.6.5)F± [F∓ [F ]] = F,(4.6.6)S0S0Fn → F ⇒ F± [Fn ] → F± [F ].(4.6.7)Последние два свойства справедливы, если одна из функций F или Gрегулярная и порождена быстроубывающей функцией.F± [(F ∗ G)] = (2π)n/2 F± [F ] · F± [G],(4.6.8)F± [F · G] = (2π)−n/2 F± [F ] ∗ F± [G].(4.6.9)Доказательство.
Приведем доказательство последнего свойства (4.6.9). Дляопределенности считаем F быстроубывающей, тогда для любой пробной ϕ ∈ S(Rn )имеем(F± [F · G], ϕ)(4.6.1)=(2.7.6)=(F · G, F± [ϕ])(4.3.4)=(G, F · F± [ϕ])(G, (2π)−n/2 F± [F∓ [F ] ∗ ϕ])(4.6.1)=(2.6.7)=(2π)−n/2 (F± [G], F∓ [F ] ∗ ϕ) == (2π)−n/2 (F± [G](x), (F± [F ](z), ϕ(x + z))) =(4.4.1)=(2π)−n/2 (F± [F ] ∗ F± [G], ϕ).(G, F± [F∓ [F ]] · F± [ϕ]) =4.6. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА89Предпоследнее равенство вытекает из следующих выкладок:ZZ(2.4.4)O.26F∓ [F ] ∗ ϕ(x) =F∓ [F ](x − y)ϕ(y)dy =F± [F ](y − x)ϕ(y)dy =RnRnZz=y−x=F± [F ](z)ϕ(x + z)dz = (F± [F ](z), ϕ(x + z)).Rn4.6.5.
Применение преобразования Фурье для нахождения фундаментального решения.Фундаментальные решения дифференциального оператора L(D) с постоянными коэффициентами можно находить и в пространстве обобщенныхфункций медленного роста. Это позволяет делать следующая теорема Хёрмандера, сравните ее с теоремой 31.Теорема 36. Для ненулевого дифференциального оператора L(D) с постоянными коэффициентами существует фундаментальное решение E ∈ S 0 (Rn ).Суть метода нахождения фундаментального решения в пространстве S 0 (Rn )заключается в применении преобразования Фурье к уравнениюL(D)E = δ.Проделав это, получимF+ [L(D)E] = F+ [δ](4.6.2)=(2π)−n/2 .Раскрывая левую часть, имеемX(4.6.3)F+ [L(D)E] = F+ [bα Dα E] =0≤|α|≤k(4.6.5)X=Xbα F+ [Dα E] =0≤|α|≤kbα (ix)α F+ [E] = L(ix)F+ [E].0≤|α|≤kОткуда получаем, чтоF+ [E] =(2π)−n/2.L(ix)Если функция из правой части будет локально интегрируемой, то применяя обратное преобразование Фурье, получаем(2π)−n/2E = F−.(4.6.10)L(ix)В противном случае, нужно использовать некоторые предельные переходы (отсюда возникает не единственность E), а потом уже применять обратное преобразование Фурье.
В любом случае, как утверждает теорема 36решение есть.90ГЛАВА 4. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИПокажем, что фундаментальное решение E2 из примера 16 строится какраз таким образом. В этом случае L(D)E = E − E 00 . Тогда L(ix) = 1 + x2 иE = F−r1π −|x|1e−|x|√=√e== E2 .22π(1 + x2 )2π 2Рассмотрим более сложный пример.Пример 19. Применяя формулу (4.6.10), найдем фундаментальное решение E ∈ S 0 (R3 ) трехмерного оператора Лапласа. Поскольку L(D) = 4, тоL(ix) = −(x21 + x22 + x23 ) = −kxk2 . Поэтому для любой ϕ ∈ S(R3 ) имеем −(2π)−3/2(2π)−3/2,ϕ =, F− [ϕ] =(E, ϕ) =F−L(ix)kxk2ZZ−11=ϕ(ξ)ei(x,ξ) dξdx =(2π)3 R3 kxk2 R3ZZ−1ei(x,ξ)= limϕ(ξ)dxdξ =2R→+∞ (2π)3 R3kxk≤R kxk(4.6.10)= hпереход во внутр. интеграле к сферич. коорд. с осью Z вдоль ξi =ZZ R Z π Z 2π−1= limϕ(ξ)eirkξk cos θ sin θdαdθdrdξ =R→+∞ (2π)3 R3000ZZ RZ π1u=cos θϕ(ξ)= limeirkξk cos θ d cos θdrdξ =R→+∞ (2π)2 R300ZZ RZ 1−1ϕ(ξ)eirkξku dudrdξ == limR→+∞ (2π)2 R30−1ZZ Rsin rkξk−1rkξk=vϕ(ξ)drdξ == limR→+∞ 2π 2 R3rkξk0ZZ−1ϕ(ξ) Rkξk sin v= limdvdξ =R→+∞ 2π 2 R3 kξkv0!ZZ RkξkZϕ(ξ)−1ϕ(ξ) π−1sin v=limdv dξ =dξ =22π 2 R3 kξk R→+∞v2π30R kξk 2Z−1ϕ(ξ)−1=dξ =,ϕ .4π R3 kξk4πkxkОстается лишь обосновать перенос предела внутрь интеграла.
ИмеемZ Rkξk sin v π Z +∞ sin v π cos Rkξk Z +∞ cos v dv = −dv = −+dv ≤2 0 2vv2RkξkvRkξkRkξkZ +∞π1dvπ2≤ ++= +.22Rkξkv2RkξkRkξk4.6. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА91Отсюда получаем, что при R > 1 ϕ(ξ) Z Rkξk sin v kξk + 1.dv ≤ 2|ϕ(ξ)| kξk 0vkξk2Поскольку функция |ϕ(ξ)| kξk+1kξk2 интегрируема, то по теореме Лебега о мажорируемой сходимости предел можно было перенести внутрь внешнегоинтеграла. Таким образом мы показали (сравните с (4.5.2)), чтоE=−1,4πkxkи, кроме того,F− rπ 11.=kxk22 kxk(4.6.11)92ГЛАВА 4. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИГлава 5Геометрия пространств со скалярнымпроизведениемСреди бесконечномерных пространств Банаха гильбертово пространствовыделяется относительной простотой. В гильбертовых пространствахнам в наиболее полной мере удаётся использовать свою геометрическуюинтуицию: измерять углы между векторами, применять теорему Пифагора и ортогональное проектированиеВ.М.
Кадец5.1Векторное пространствоОпределение 47. Множество L называется линейным (векторным) пространством над числовым полем F (если не оговорено противное, то F = Rили C), если выполнены условия:1. Множество L – это абелева группа по сложению: на L определена операция сложения +, сопоставляющая двум элементам (векторам) x, y ∈ Lновый элемент x + y ∈ L и удовлетворяющая свойствам:1) x + y = y + x (коммутативность);2) x + (y + z) = (x + y) + z (ассоциативность);3) существует вектор 0 ∈ L такой, что 0 + x = x для всех x ∈ L (существование нуля);4) для каждого x ∈ L существует вектор −x ∈ L такой, что (−x) + x = 0(существование обратного).2.
Определена операция умножения ·, сопоставляющая числу α ∈ F ивектору x ∈ L новый вектор α · x ∈ L и удовлетворяющая свойствам:5) α(β · x) = (αβ) · x;6) (α + β) · x = α · x + β · x;7) α · (x + y) = α · x + α · y;8) 1 · x = x.Следует различать умножение и сложение между числами и векторами.9394 ГЛАВА 5.
ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМПример 20. 1). L = Fn = {(x1 , x2 , . . . , xn ), xk ∈ F} — арифметическое nмерное пространство. Операцииx+yα·x0= (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ),= (αx1 , αx2 , . . . , αxn ),= (0, 0, . . . , 0).2). L = Mn (F) — множество матриц размера n × n над полем F. Можнорассматривать как "упакованное"предыдущее пространство.
ОперацииA+Bα·A0= [aij + bij ],= [αaij ],= [0].3). L = Y X = {f : X → Y } — пространство функций определенных намножестве X и действующих в линейное пространство Y. Операции(f + g)(x) = f (x) + g(x),(α · f )(x) = αf (x),0(x)= 0.Определение 48. Пусть L — линейное пространство. Вектора x1 , x2 , . . . , xn ∈ Lназываются линейно независимыми, еслиα1 · x1 + α2 · x2 + . .
. + αn · xn = 0 ⇔ α1 = α2 = . . . = αn = 0.Бесконечная система векторов линейно независима, если каждая ее конечная подсистема линейно независима. Максимальная линейно независимая система – алгебраический базис, или базис Гамеля линейного пространства. Число векторов в базисе – размерность линейного пространства, обозначают как dim L.Из определения базиса ясно, что для любого вектора x ∈ L найдется конечное число n ≤ dim L,Pчисла α1 , α2 , . . . , αn ∈ F и вектора из базисаnx1 , x2 , . . . , xn такие, что x = k=1 αk xk .Пример 21. 1).
Размерность dim Fn = n, поскольку вектораek = (0, 0, . . . ,1|{z}, . . . , 0), 1 ≤ k ≤ nk−ое местообразуют базис.Упражнение 20. Докажите, что это базис.2). Линейное пространство быстроубывающих функций S(R) бесконечномерно, поскольку система2{xk e−x , k ≥ 0}линейна независима.5.2. НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО95Упражнение 21. Докажите, что эта система действительно линейно независима.3). В линейном пространстве обобщенных функций D0 (R) функции11δ, P , иxx ± i0линейно зависимы, поскольку они удовлетворяют формулам Сохоцкого (см.теорему 28).Определение 49. Пусть X — линейное пространство и Y ⊆ X, тогда Yназывается линейным подпространством X, если для любых x, y ∈ Y иα, β ∈ F следует, чтоα · x + β · y ∈ Y.Пример 22.
1). X = Fn , Y = Fk , 1 ≤ k ≤ n. Действительно, всякий nмерный вектор y = (y1 , y2 , . . . , yk , 0, . . . , 0) можно считать k-мерным. Ясно,что операции сложения и умножения не выводят из этого множества.2). X = S(Rn ), Y = D(Rn ).3). X = D0 (Rn ), Y = S 0 (Rn ).5.2Нормированное пространствоОпределение 50. Пусть L – линейное пространство и функция k · k : L 7→ R+обладает свойствами:1) kuk = 0 ⇔ u = 0;2) ku + vk ≤ kuk + kvk (неравенство треугольника);3) kα · uk = |α|kuk (положительная однородность).Тогда k · k – норма на L, а N = (L, k · k) – линейное нормированное пространство.Пример 23. 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
