1611689570-2f7bf9f665e22b4e5993a1e15fa840d7 (826871), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Естественно предполагать, что функция u(x, t) унаследуетэти свойства. Обозначим черезv(x, t) = F+ [u(z, t)](x)2.12. ПОНЯТИЕ О ДИСКРЕТНОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ФУРЬЕ57прямое преобразование Фурье функции u(x, t) по переменной x ∈ Rn . Применив такое преобразование Фурье к уравнению (2.11.1), получимdvd∂u(z, t)(2.11.1)= F+ [u(z, t)](x) = F+(x) = F+ [a2 4u(z, t)](x) =dtdt∂t 2nnX∂ u(z, t)(2.6.3) 2 X(2.6.1) 2(x)=a(ixk )2 F+ [u(z, t)](x) = −kxk2 v= aF+∂zk2k=1k=1и v(x, 0) = fˆ(x). Таким образом, мы получили параметрическое семействообыкновенных дифференциальных уравнений (с параметром x ∈ Rn ) dv22dt = −a kxk v,v(0) = fˆ(x),решая которые, получаем22v(x, t) = fˆ(x)e−a kxk t , x ∈ Rn , t ≥ 0.Применив к последнему соотношению обратное преобразование Фурьепо переменной x ∈ Rn , получимu(x, t)(2.6.7)=22F− [F+ [u(z, t)](y)](x) = F− [v(y, t)](x) = F− [fˆ(y)e−a kyk t ](x) =(2.7.7)2222(2π)−n/2 (F− [fˆ] ∗ F− [e−a kyk t ])(x) = (2π)−n/2 (f ∗ F− [e−a kyk t ])(x) =Zkzk2(2.4.5)= (2π)−n/2f (x − z)(2a2 t)−n/2 e− 4a2 t dz =nZRkzk2= (4πa2 t)−n/2f (x − z)e− 4a2 t dz.=RnПолученная формула для u(x, t) называется формулой Пуассона решения уравнения теплопроводности (2.11.1).
Поскольку решение единственно,то подставив это решение, можно убедиться, что оно действительно удовлетворяет уравнению и начальному условию.2.12Понятие о дискретном преобразовании ФурьеСмотрите [A02, c.52].Рекомендуемая литература: [A02], [B14.2], [4], [5], [9], [7].58ГЛАВА 2.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕГлава 3Преобразование ЛапласаПреобразование Лапласа по своим свойствам мало отличается от преобразования Фурье. Однако класс функций, для которых определено преобразование Лапласа, существенно отличен от класса L1 (−∞, ∞) функций,для которых существует преобразование Фурье.А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин3.1Оригиналы и изображенияОпределение 27. Непрерывная всюду за исключением изолированных точек функция f : [0, +∞) → C называется оригиналом, если существует вещественное число α такое, чтоZ ∞|f (t)|e−αt dt < ∞.0Инфимум всех таких α называется показателем роста функции f и обозначается как α(f ).Из определения показателя роста видно, что сходимость интеграла будетсправедлива для каждого α > α(f ).
Действительно, возьмемR ∞ такое α, тогдана интервале [α(f ), α) найдется β для которого интеграл 0 |f (t)|e−βt dt <∞. ТогдаZ ∞Z ∞Z ∞−αt−βt −(α−β)t|f (t)|edt =|f (t)|e edt <|f (t)|e−βt dt < ∞.000Оригиналы f (t) могут быть определены и на всей числовой прямой, однако нам важны значения, которые они принимают только на положительной полуоси, поэтому в таких случаях мы рассматриваем функцию f (t)H(t),где H(t) — функция Хевисайда с единичным значением в нуле (2.5.1).Определение 28. Изображением оригинала f (t) называется функция F (p),определенная в комплексной полуплоскости Re p > α(f ) равенствомZ ∞F (p) =f (t)e−pt dt.(3.1.1)059Лекция960ГЛАВА 3.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСАКоротко, связь между оригиналом и изображением записывают как f (t) : F (p).Эту же связь определяют с помощью преобразования Лапласа L, сопоставляющего оригиналу f (t) его изображение F (p), т.е.L[f (t)](p) = F (p).(3.1.2)Из определения преобразования Лапласа очевидна его связь с преобразованием Фурье, выражаемая следующей формулой√(3.1.3)L[f (t)](p) = 2πF+ [f (t)H(t)e−ut ](v), p = u + iv, u > α(f ).Пример 6. Пусть f (t) = 1. На самом деле как оригиналR ∞ это функция H(t).Найдем показатель роста.
Очевидно, что интеграл 0 e−αt dt сходится длявсех α > 0 и расходится во всех остальных случаях, поэтому α(1) = 0. Такимобразом преобразование Лапласа определено в правой комплексной полуплоскости и∞Z ∞1e−pt −ptL[1](p) == .e dt =−p 0p03.2Простейшие свойства преобразования Лапласа1. Линейность преобразования Лапласа.Теорема 16. Пусть f (t) и g(t) — оригиналы с показателями роста α(f ) иα(g) соответственно, тогда их линейная комбинация af (t) + bg(t), a, b ∈ Cтоже оригинал c показателем роста α(af + bg) ≤ max{α(f ), α(g)} иL[af (t) + bg(t)](p) = aL[f (t)](p) + bL[g(t)](p).(3.2.1)Доказательство теоремы 16.
Неравенство для показателя роста следуетиз рассуждений о показателе роста, приведенных выше. А линейность доказывается либо непосредственно, либо через связь с преобразованием Фурье (3.1.3) и линейности самого преобразования Фурье.2. Свойство подобия для преобразования Лапласа.Теорема 17. Пусть f (t) — оригинал с показателем роста α(f ), тогда)f (at) тоже оригинал для любого a > 0 c показателем роста α(f (at)) = α(faиp1.(3.2.2)L[f (at)](p) = L[f (t)]aaДоказательство теоремы 17.
Имеем√u(3.1.3) √2πF+ [f (at)H(t)e−ut ](v) = 2πF+ [f (at)H(at)e− a at ](v) =L[f (at)](p) = v (3.1.3) 1pu(2.6.6) 1 √=2πF+ [f (t)H(t)e− a t ]=L[f (t)].aaaa3.2. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА613. Смещение изображения.Теорема 18. Пусть f (t) — оригинал с показателем роста α(f ), тогдаe−αt f (t) тоже оригинал для любого α ∈ C c показателем роста α(f ) − Re αиL[e−αt f (t)](p) = L[f (t)](p + α).(3.2.3)Доказательство теоремы 18. При Re (p + α) > α(f ) имеемZ ∞Z ∞−αt−αt−ptL[e f (t)](p) =e f (t)edt =f (t)e−(p+α)t dt = L[f (t)](p + α).004. Запаздывание оригинала.
Здесь мы рассмотрим взаимосвязь изображений оригинала f (t) и оригинала с запаздывающим аргументомf (t − a)H(t − a), a > 0.Их графики представлены на рис. 3.1.f(t)=f(t)H(t)aРис. 3.1: Запаздывание оригиналаТеорема 19. Пусть f (t) — оригинал, тогда f (t − a)H(t − a) — тожеоригинал для любого a > 0 иL[f (t − a)H(t − a)](p) = e−ap L[f (t)](p).(3.2.4)Доказательство теоремы 19.
Опять используя связь с преобразованиемФурье, получаемL[f (t − a)H(t − a)](p)(3.1.3)√2πF+ [f (t − a)H(t − a)e−ut ](v) =√= e−ua 2πF+ [f (t − a)H(t − a)e−u(t−a) ](v) =(2.6.5) −ua −iav √= ee2πF+ [f (t)H(t)e−ut ](v) === e−ap L[f (t)](p).623.3ГЛАВА 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСААналитичность изображения и формула обращенияОдним из важных свойств преобразования Лапласа является аналитичность изображения. Приведем точную формулировку без доказательства(доказательство возможно будет приведено в курсе ТФКП).Теорема 20.
Изображение F (p) является аналитической функцией в области Re p > α(f ). Кроме того,F (p) → 0 при Re p → ∞.Связь между преобразованием Лапласа и преобразованием Фурье приводит к следующей формуле обращения для преобразования Лапласа.Теорема 21. Если f (t) — кусочно-гладкий непрерывный оригинал с изображением F (p), то для любого u > α(f )Z u+i∞1ept F (p)dp.(3.3.1)f (t) =2πi u−i∞Доказательство теоремы 21. Пусть p = u + iv и u > α(f ), тогдаF (p) = L[f (t)](u + iv)(3.1.3)=√2πF+ [f (t)H(t)e−ut ](v).Применяя формулу обращения (2.4.2) для преобразования Фурье кусочногладкой непрерывной функции f (t)H(t)e−ut , получаемZ ∞√12πf (t)H(t)e−ut = F− [F (p)](t) = √F (u + iv)eivt dv,2π −∞откуда при t ≥ 0Z ∞1f (t) =F (u + iv)e(u+iv)t dv2π −∞3.4p=u+iv=12πiZu+i∞ept F (p)dp.u−i∞Преобразование Лапласа производных и интеграловСледующим важным свойством является теорема о дифференцированииоригинала.Теорема 22.
Пусть f (t) — непрерывная при t ≥ 0 и дифференцируемаяпри t > 0 функция такая, что f 0 (t) — оригинал. Тогда f (t) тоже оригиналиL[f 0 (t)](p) = pL[f (t)](p) − f (0+).(3.4.1)3.4. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ63Доказательство теоремы 22. Докажем, что f (t) есть оригинал. Для этогозафиксируем α > α(f 0 ) и α > 0. Выберем ε > 0 таким, чтобы α − ε > α(f 0 )и α − ε > 0. ИмеемZ +∞Z +∞ Z t0−αtf (s) ds + f (0+) e−αt dt ≤|f (t)|edt =000Z +∞ Z tZ +∞|f 0 (s)| ds e−αt dt + |f (0+)|≤e−αt dt =000Z +∞ Z t|f (0+)||f 0 (s)|e−(α−ε)t ds e−εt dt +=≤α00Z +∞ Z ts≤t|f (0+)|0−(α−ε)s|f (s)|eds e−εt dt +≤≤α00Z +∞ Z +∞t<+∞|f (0+)|≤|f 0 (s)|e−(α−ε)s ds e−εt dt +=α00Z1 +∞ 0|f (0+)|=< ∞.|f (s)|e−(α−ε)s ds +ε 0αИз приведенного рассуждения видно, что показатель ростаα(f ) ≤ max{α(f 0 ), 0}.(3.4.2)Докажем теперь формулу (3.4.1). Интегрируя по частям, получаемZ bZ bbf 0 (t)e−pt dt = f (t)e−pt 0 + pf (t)e−pt dt.00R +∞Пусть p = u + iv, u > α(f ) и u > α(f ).
Поскольку интеграл 0 |f (t)|e−ut dtсходится, то величина |f (t)|e−ut не может быть отделена от нуля, следовательно, найдется последовательность tn → ∞ такая, что0|f (tn )e−ptn | = |f (tn )|e−utn → 0.Тогда, взяв b = tn и перейдя к пределу при tn → ∞, получаем равенство (3.4.1).Следствие 3. Индукцией по количеству производных можно показать, чтосправедлива формулаL[f (n) (t)](p) = pn L[f (t)](p) −n−1Xpn−1−k f (k) (0+).(3.4.3)k=0Следующее утверждение называется теоремой об интегрировании оригинала.RtТеорема 23. Пусть f (t) — непрерывный при t ≥ 0 оригинал, тогда 0 f (s) ds— тоже оригинал иZ tL[f (t)](p)Lf (s) ds (p) =.(3.4.4)p064ГЛАВА 3.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСАRtДоказательство теоремы 23. Положим g(t) =g(0+) = 0 и по предыдущей теореме 22 имеемL[f (t)](p) = L[g 0 (t)](p)(3.4.1)=0f (s) ds, тогда g 0 (t) = f (t),pL[g(t)](p).Следствие 4. Из формулы (3.4.2) вытекает неравенствоZ tf (s) ds ≤ max{α(f ), 0}.α(3.4.5)03.5Дифференцирование и интегрирование изображенийТеорема 24. Если f (t) и tf (t) являются оригиналами, и f (t) : F (p), тоtf (t) : −F 0 (p).(3.5.1)Доказательство теоремы 24. Дифференцируя под знаком интеграла, получаемZ +∞Z +∞dF 0 (p) =f (t)e−pt dt = −tf (t)e−pt dt = −L[tf (t)](p).dp00Операция законна, поскольку интеграл L[tf (t)](p) сходится абсолютно иравномерно относительно p ∈ {Re p ≥ α0 } для любого α0 > α(tf (t)).Теорема 25. Если f (t) иf (t):tZf (t)tявляются оригиналами, и f (t) : F (p), то∞pPZF (q) dq =limRe P →∞F (q) dq.Доказательство теоремы 25.
Положим g(t) =меняя теорему 24, получаемF (p) = L[f (t)](p) = L[tg(t)](p)(3.5.1)=(3.5.2)pf (t)t ,−тогда tg(t) = f (t) и, при-dL[g(t)](p).dpИнтегрируя по произвольному контуру с концевыми точками p и P, получаемZ PL[g(t)](p) − L[g(t)](P ) =F (q) dq.pИз теоремы 20 следует, чтоL[g(t)](P ) → 0 при Re P → ∞.Переходя к пределу, получаем требуемое.3.6. СВЕРТКА ОРИГИНАЛОВ И ТЕОРЕМА БОРЕЛЯ3.665Свертка оригиналов и теорема БореляОпределение 29. Сверткой оригиналов f1 (t) и f2 (t) называется функция(f1 ∗ f2 )(t), определяемая равенствомtZ(f1 ∗ f2 )(t) =f1 (s)f2 (t − s) ds.(3.6.1)0Заметим, что это определение согласовано со старым определением свертки 26, если в качестве оригиналов рассматривать, как мы уже делали, функции f1 (t)H(t) и f2 (t)H(t). Действительно, имеемO.26Z+∞f1 (s)H(s)f2 (t − s)H(t − s) ds =(f1 H ∗ f2 H)(t) =Z−∞+∞f1 (s)f2 (t − s)H(t − s) ds ==0Ztf1 (s)f2 (t − s) ds=(3.6.1)=(f1 ∗ f2 )(t).0Следующая теорема называется теоремой Бореля об умножении изображений.Теорема 26.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
