1611689570-2f7bf9f665e22b4e5993a1e15fa840d7 (826871), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Многочлены С.Н. БернштейнаСреди других доказательств теоремы Вейерштрасса особое место занимает вероятностное доказательство, представленное С.Н. Бернштейном.Определение 16. Пусть f : [0, 1] → R — непрерывная функция. Многочлены nnXXkkffBn (f ; x) =bk,n (x) =Cnk xk (1 − x)n−k , n ∈ Nnnk=0k=0называются многочленами Бернштейна для функции f . Многочленыbk,n (x) = Cnk xk (1 − x)n−kназываются базисными многочленами Бернштейна.Представим несколько простейших свойств базисных многочленов Бернштейна. Ясно, что bk,n (x) ≥ 0 для x ∈ [0, 1].
Кроме того,nk−mXCn−mbk,n (x) = xm , m ∈ N, m ≤ n.Cnk(1.14.1)k=mДействительно, формула (1.14.1) является простым следствием биномаНьютона:xm = xm (x + 1 − x)n−m = xmn−mXkCn−mxk (1 − x)n−m−k =k=0=n−mXkCn−mxk+m (1 − x)n−(m+k)k=0nk−mXCn−m=bk,n (x).Cnkk=mk+m=r=nXr=mr−m rCn−mx (1 − x)n−r =1.14. ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА35В частных случаях при m = 0, 1, 2 получаем1=nXbk,n (x),k=0nnXXkkbk,n (x) =bk,n (x), n ≥ 1,x=nnk=0k=1nnXXk(k − 1)k(k − 1)x2 =bk,n (x) =bk,n (x), n ≥ 2.n(n − 1)n(n − 1)k=2k=0Из этих трех формул можно получить еще одно полезное соотношение2n kx(1 − x) Xx−=bk,n (x).nn(1.14.2)k=0Доказательство. Имеем11(x − x2 ) =nn1=n=1n!nnXXkk(k − 1)bk,n (x) −bk,n (x) =nn(n − 1)k=0nXk=0nX!nXk(k − 1)k(k − 1)bk,n (x) +bk,n (x) =n−1nk=0k=0k=0!nnXXk(k − 1)k2−bk,n (x) +bk,n (x) =n−1nkbk,n (x) −nk=0k=0nnnXXXk2k2k(k − 1)==b(x)−b(x)bk,n (x) − 2x · x + x2 · 1 =k,nk,nn2n(n − 1)n2k=0k=0k=0{z}|=x2nXkk2b(x)+xbk,n (x) =b(x)−2xk,nk,nn2nk=0k=0k=02n 2n XXkkk2=b(x)=x−−2x+xbk,n (x).k,nn2nn=nXnX2k=0k=0Сформулируем и докажем бернштейновский вариант теоремы Вейерштрасса.Теорема 12.
Пусть f : [0, 1] → R — непрерывная функция. Тогда для любого ε > 0 найдется номер n = n0 (f ; ε) ∈ N такой, что для всех n ≥ n0sup |f (x) − Bn (f ; x)| < ε.x∈[0,1]36ГЛАВА 1. РЯДЫ ФУРЬЕДоказательство теоремы 12. Поскольку непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна, то для любого ε > 0 найдется δ = δ(ε) > 0 такое, что как только |x − y| < δ, то |f (x) − f (y)| < ε/2.
Пусть M = max |f (x)|x∈[0,1]иkJ = J(n, δ, x) = k ≤ n : x − < δ .nТогда для любого x ∈ [0, 1] при всех n ≥ 1 nnXXk|f (x) − Bn (f ; x)| = f (x)bk,n (x) −fbk,n (x) ≤nk=0k=0nXf (x) − f k bk,n (x) =≤n k=0 X X f (x) − f k bk,n (x) +f (x) − f k bk,n (x) ≤=nn k∈Jk6∈JXεX≤bk,n (x) + 2Mbk,n (x) ≤2k6∈Jk∈Jεx(1 − x)≤ + 2M.2δ2 nПоследнее неравенство следует из формулы (1.14.2):22n XXx(1 − x) Xkk=x−bk,n (x) ≥x−bk,n (x) ≥ δ 2bk,n (x).nnnk6∈Jk=0Таким образом, для всех n >sup |f (x) − Bn (f ; x)| ≤x∈[0,1]Mδ2 εk6∈Jполучимsupx∈[0,1] x(1 − x)εεM+ 2M= + 2 < ε.2δ2 n2 2δ nРекомендуемая литература: [A96.2], [B11], [4], [5], [9].Глава 2Преобразование ФурьеТот факт, что преобразование Фурье осуществляет L2 -изометрию, является одним из его наиболее важных характерных свойствУ. Рудин2.1Интеграл Фурье как предельная форма ряда ФурьеПусть f : R → R — абсолютно-интегрируемая кусочно-гладкая непрерывнаяфункция.
Тогда для любого l > 0 на интервале [−l, l] она представляетсясвоим рядом Фурьеf (x) =πnxπnxa0 X+an cos+ bn sin.2lln=1Применяя формулы (1.2.2) и (1.2.3), перепишем это равенство в видеf (x) ==12lZ12lZlf (y)dy +−lf (y)dy +1πlπnyπnxπnyπnx f (y) coscos+ sindy sindy =llll−ln=1l−l∞ ZXZlf (y)−l∞πXπn(y − x).cosl n=1lP∞Поскольку сумма πl n=1 cos πn(y−x)очень похожа на сумму Риманаlдля функции cos z(y − x) от переменной z, то при стремлении l → ∞, т.е.πn π(n+1)+при измельченииR ∞ разбиения всей R на отрезки [ l , l ], мы "получим"интеграл 0 cos z(y − x)dz.
Естественно, это — не строгое рассуждениеуже потому, что последний интеграл расходящийся. Однако, оно позволяетувидеть во что переходит ряд Фурье при увеличении периода функции добесконечности.3738ГЛАВА 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕR∞Поскольку −∞ |f (y)|dy < ∞, то первое слагаемое стремится к нулю, иполучается равенствоZ ∞Z1 ∞cos z(y − x)dzdy.f (y)f (x) =π −∞0Поменяв интегрирование местами, получимZ ∞f (x) =a(y) cos yx + b(y) sin yxdy,(2.1.1)0гдеZ1 ∞a(y) =f (z) cos zydz,π −∞Z ∞1b(y) =f (z) sin zydz.π −∞(2.1.2)(2.1.3)Определение 17.
Функции a(y) и b(y), задаваемые формулами (2.1.2) и(2.1.3) называются прямым косинус и синус-преобразованием Фурье функции f. Интеграл в правой части (2.1.1) — интеграл Фурье, а сама формула (2.1.1) называется интегральной формулой Фурье, или интегральнымпредставлением Фурье функции f.2.2Теорема о представимости функции в точке своим интегралом ФурьеТеорема 13.
Пусть f : R → R — абсолютно-интегрируемая кусочно-гладкаяфункция. Тогда для любого x ∈ R верно равенствоZ +∞f (x + 0) + f (x − 0)a(y) cos yx + b(y) sin yxdy =,20где a(y) и b(y) — прямые косинус- и синус-преобразования Фурье функции f (x).Доказательство теоремы 13. Нужно доказать, чтоZ Af (x + 0) + f (x − 0)lima(y) cos yx + b(y) sin yxdy =.A→+∞ 02ИмеемZ AZ Z +∞1 A~Φ(A) =a(y) cos yx + b(y) sin yxdy =f (z) cos y(z − x)dz dy =π 00−∞!Z +∞Z AZ +∞sin A(z − x)T ?? 1=f (z)cos y(z − x)dy dz =f (z)dz =π −∞π(z − x)0−∞Z 0Z +∞Z +∞ sin Aysin Ayz−x=y=f (x + y)dy =+f (x + y)dy =πyπy−∞−∞0Z +∞sin Ay=(f (x + y) + f (x − y))dy = I1 (A) + I2 (A),πy02.2. ТЕОРЕМА О ПРЕДСТАВИМОСТИ ИНТЕГРАЛОМ ФУРЬЕ39гдеZ+∞(f (x + y) + f (x − y))I1 (A) =1Z1(f (x + y) + f (x − y))I2 (A) =0sin Aydy,πysin Aydy.πyПервый интеграл I1 (A) по лемме 1 Римана–Лебега сходится к нулю при A → +∞,(x−y)поскольку функция f (x+y)+fабсолютно интегрируема на [1, +∞) :πy+∞Z1Z +∞Z +∞ f (x + y) + f (x − y) y≥1 1 dy ≤|f(x+y)|dy+|f(x−y)|dy≤πyπ11Z +∞Z −1+xZ11 +∞≤|f (y)|dy +|f (y)|dy ≤|f (y)|dy < ∞.ππ −∞1+x−∞Второй интеграл I2 (A) представим в виде суммы трех других интегралов I21 (A), I22 (A) и I23 (A) :1Z(f (x + y)−f (x + 0) + f (x − y)−f (x − 0)+f (x + 0)+f (x − 0))I2 (A) =01=π|Z+|01Z01f (x + y) − f (x + 0)sin Aydy +yπ{z} |Z0I2111sin Aydy =πyf (x − y) − f (x − 0)sin Aydy +y{z}I22f (x + 0) + f (x − 0) sin Aydy .πy{z}I23Так как f кусочно-гладкая, то для любого x ∈ R будут ограниченными и,(x+0)следовательно, абсолютно интегрируемыми на [0, 1] функции g1,x (y) = f (x+y)−fy(x−0)и g2,x (y) = f (x−y)−f; поэтому по лемме 1 Римана–Лебега интегралы I21 (A)yи I22 (A) стремятся к нулю при A → +∞.
Предел для интеграла I23 (A) находится непосредственным вычислением:A→+∞f (x + 0) + f (x − 0)limA→+∞πZ1sin Aydy =y0Z Asin zAy=z f (x + 0) + f (x − 0)=limdz =A→+∞ 0πzZ +∞f (x + 0) + f (x − 0)sin zf (x + 0) + f (x − 0)=dz =.πz20lim I23 (A) =Для завершения доказательства нам осталось в равенстве ~ обосноватьпереход от одного повторного интеграла к другому. Для этого, используятеорему ??RR Фубини–Тонелли, достаточно доказать сходимость двойного интеграла D f (z) cos y(z − x)dzdy, где D = [0, A] × R ⊂ Ry × Rz .
Это будет40ГЛАВА 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕсделано, если мы докажем абсолютную сходимость этого двойного интеграла, которая в свою очередь ввиду теоремы ?? Фубини–Тонелли будетследовать, например, из сходимости повторного интегралаZ+∞ZZ+∞| cos y(z − x)|dy dz ≤ A|f (z)|−∞!A|f (z)|dz < ∞.−∞0Теорема доказана.2.3Интеграл Фурье на полупрямойПусть f : R+ → R — абсолютно-интегрируемая кусочно-гладкая непрерывная функция. Продолжив ее четным образом на (−∞, 0], запишем для нееинтегральное представление Фурье: для любого x > 0+∞Zf (x) =+∞Za(y) cos yx + b(y) sin yxdy =0a(y) cos yxdy,(2.3.1)0поскольку из-за четности2a(y) =π+∞Zf (z) cos yzdz,0иb(y) =1π+∞Zfeven (z) sin yzdz = 0.−∞Аналогичные формулы получаются, если сделать нечетное продолжениефункции f на (−∞, 0] : для любого x > 0Zf (x) =+∞Z+∞a(y) cos yx + b(y) sin yxdy =0b(y) sin yxdy,(2.3.2)0где2πb(y) =Z+∞f (z) sin yzdz,0и1a(y) =πZ+∞fodd (z) cos yzdz = 0.−∞Определение 18.
Формулы (2.3.1) и (2.3.2) задают соответственно обратное косинус- и синус-преобразование Фурье.Пример 3. Вычислим прямое косинус- и синус-преобразование Фурье, атакже само интегральное представление Фурье для функции f (x) = e−ax , x ≥ 0,2.4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ41a > 0. Продолжив ее четным и нечетным образом, получимa(y) + ib(y) =2π+∞Ze−az (cos yz + i sin yz)dz =02πZ+∞e−az eiyz dz =0+∞2 ez(−a+iy) 2 1===π −a + iy 0π a − iy22ay=+i 2,π a2 + y 2π a + y2откудаa(y) =22ay, b(y) =;222πa +yπ a + y2и для любого x ≥ 0e−ax =+∞Z0e−ax+∞2 a cos yxdy,π a2 + y 2+∞2 y sin yxdy.π a2 + y 2Za(y) cos yxdy =Z=0+∞Zb(y) sin yxdy =00Эти два последних интеграла называются интегралами Лапласа.2.4Представление интеграла Фурье в комплексной формеЛПусть f : R → R — абсолютно-интегрируемая кусочно-гладкая непрерывная ефункция.
Тогда по теореме 13 для любого x ∈ R верно равенствокцZ +∞иf (x) =a(y) cos yx + b(y) sin yxdy.0я6Перепишем этот интеграл в комплексной форме, заменяя cos yx и sin yxпо формулам Эйлера (мы уже проделывали такие выкладки при выводеформулы (1.4.2) для комплексной формы ряда Фурье). Имеем+∞a(y) − ib(y) ixy a(y) + ib(y) −ixye +edy =220Z +∞Z 0a(y) − ib(y) ixya(−y) + ib(−y) ixy=e dy +e dy =220−∞Z +∞Z +∞Z +∞Z 011−izyiyx−izy=f (z)edz e dy +f (z)edz eiyx dy =2π0−∞−∞ 2π−∞Z +∞ Z +∞1−izy=f (z)edz eiyx dy.2π −∞−∞Zf (x) =42ГЛАВА 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕЗдесь мы воспользовались равенствами1a(y) − ib(y)=22πZ+∞f (z)(cos zy) − i sin zy)dz =−∞=12πZ+∞f (z)e−iyz dz =−∞a(−y) + ib(−y).2Определение 19.
Пусть f : R → R — абсолютно-интегрируемая кусочногладкая непрерывная функция. Формула1f (x) =2πZ+∞Z+∞f (z)e−izydz eiyx dy(2.4.1)−∞−∞называется комплексной формой интеграла Фурье.Определение 20. Пусть f : R → R — абсолютно-интегрируемая функция,тогда определены два отображения F+ и F− , переводящие функцию f вфункции fˆ и fˇ соответственно, где+∞Z1F+ [f (y)](x) = fˆ(x) = √2πf (y)e−iyx dy−∞называется прямым преобразованием Фурье функции f, а1F− [f (y)](x) = fˇ(x) = √2πZ+∞f (y)eiyx dy−∞называется обратным преобразованием Фурье функции f.Используя понятие прямого и обратного преобразования Фурье, формулу (2.4.1) можно переписать в видеf (x) = F− [F+ [f (z)](y)](x) = F+ [F− [f (z)](y)](x).(2.4.2)2Пример 4.
Вычислим преобразование Фурье для функции f (x) = e−ax , x ∈ R,a > 0. ИмеемZ +∞21−ay 2F+ [e](x) = √e−ay e−iyx dy =2π −∞1=√2πZ +∞Z +∞2−ay 2ecos yxdy + ie−ay sin yxdy = −∞−∞|{z}=01|x|y=z=p2π|x|Z+∞e−∞az 2− |x|2cos zdz.2.4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ43Таким образом нам нужно вычислить интегралZ +∞2e−Az cos zdzJ(A) =−∞в точке A =ствительно,a|x|2 .Покажем, что J(A) – дифференцируемая функция. Дей-dJ(A) =dAZ+∞−∞d −Az2ecos zdz =dAZ+∞2−z 2 e−Az cos zdz.−∞Смена мест интегрирования и дифференцирования законна, поскольку длялюбого A0 > 0 и любого A > A022| − z 2 e−Az cos z| < z 2 e−A0 z ,где последняя функция абсолютно интегрируема и не зависит от A.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
