1611689570-2f7bf9f665e22b4e5993a1e15fa840d7 (826871), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ряд Фурье (1.3.1) может выглядеть проще, еслифункция f обладает дополнительными свойствами четности или нечетности. Предположим, что f — четная функция, т.е. f (x) = f (−x) для любого x ∈ [−a, a]. Тогда для всех n ≥ 1 коэффициенты bn = 0. Действительно,1.3. РАЗЛОЖЕНИЕ НА ИНТЕРВАЛЕ9записывая формулу (1.3.3) (или (1.2.3)), получаемZπnx1 af (x) sinbn =dxa −aaZZπnxπnx1 a1 0f (x) sinf (x) sindx +dx=a −aaa 0aZZπn(−y)πnx1 01 af (−y) sinf (x) sin=−dy +dx = 0.a aaa 0aДля коэффициентов an , n ≥ 0 в этом случае справедлива следующая формула:Z1 aπnxf (x) cosdxan =a −aaZZ1 01 aπnxπnx=dx +dxf (x) cosf (x) cosa −aaa 0aZZ1 01 aπn(−y)πnx=−dy +dxf (−y) cosf (x) cosa aaa 0aZ a2πnx=f (x) cosdx.a 0aТаким образом, ряд Фурье четной функции f : [−a, a] → R имеет вид:∞f (x) ∼a0 Xπnx+an cos2an=1(1.3.4)с коэффициентами2an =aaZf (x) cos0πnxdx, n ≥ 0.a(1.3.5)Аналогичным образом показывается, что для нечетной функции f : [−a, a] → R(т.е.
f (x) = −f (−x) для любого x ∈ [−a, a]) ее ряд Фурье имеет вид:f (x) ∼∞Xbn sinn=1πnxa(1.3.6)с коэффициентамиbn =2aZaf (x) sin0πnxdx, n ≥ 1.a(1.3.7)1.3.3. Рассмотрим теперь отрезок [0, a] и функцию f : [0, a] → R. Помиморазложения в ряд Фурье вида (1.3.1) для этой функции можно получитьеще два разложения. Продолжим функцию f на отрезок [−a, a] двумя способами: четным и нечетным. Обозначим эти продолжения соответственноfeven и fodd ; смотрите пример на рис. 2 и 3.10ГЛАВА 1. РЯДЫ ФУРЬЕРис.1.2:Четноение: feven (x) = f (−x)го x ∈ [−a, 0]продолжедля любо-Рис.1.3: Нечетное продолжение: fodd (x) = −f (−x) для любого x ∈ [−a, 0)Определение 5. Разложение в ряд Фурье функций feven и fodd на отрезке [−a, a] называется разложением в ряд Фурье функции f по косинусам ипо синусам соответственно на отрезке [0, a].Принимая во внимание, что feven (x) = fodd (x) = f (x) для любого x ∈ (0, a],получаем, что непосредственно формулы этих разложений есть (1.3.4), (1.3.5)— по косинусам; (1.3.6), (1.3.7) — по синусам.1.4Комплексная форма ряда ФурьеПусть f : R → R — 2π-периодическая функция.
Запишем ее (формальный)ряд Фурье∞f (x) ∼a0 X+an cos nx + bn sin nx.2n=1Используя формулы Эйлераcos nx =einx + e−inxeinx − e−inx, sin nx =,22i1.4. КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬЕ11перепишем этот ряд в виде∞f (x) ∼a0 X+an cos nx + bn sin nx2n=1∞=ibn inxa0 X an inx+(e+ e−inx ) −(e− e−inx )222n=1=∞∞Xan + ibn −inx a0 X an − ibn inxe+e+222n=1n=1=∞Xcn einx ,n=−∞гдеa−n +ib−n, n2a02 , n = 0,an −ibn, n>2cn = < 0,0.Легко проверить, чтоcn =12ππZf (x)e−inx dx, n ∈ Z.(1.4.1)−πК примеру, для n < 0 имеемZZ πa−n + ib−n1 π1cos(−n)x + i sin(−n)xcn ==dx =f (x)f (x)e−nx dx.2π −π22π −πЯсно, что формулу (1.4.1) можно применять и для комплекснозначныхфункций, поэтому введем следующееОпределение 6.
Пусть f : R → C — 2π-периодическая функция. РядомФурье в комплексной форме для этой функции называется рядf (x) ∼∞Xcn einx(1.4.2)n=−∞с коэффициентами Фурье cn , найденным по формуле (1.4.1).По аналогии с предыдущими рассуждениями ряд Фурье в комплекснойформе для 2l-периодической функции f : R → C находится по формулеf (x) ∼∞Xcn eiπnxl(1.4.3)n=−∞с коэффициентами Фурьеcn =12lZlf (x)e−l−iπnxldx, n ∈ Z.(1.4.4)121.5Лекция2ГЛАВА 1.
РЯДЫ ФУРЬЕТеорема о представимости функции в точке своим рядом Фурье1.5.1. Лемма Римана–ЛебегаНачнем отвечать на первый вопрос, сформулированный в §1. Для этогодокажем одно полезное вспомогательное утверждение — лемму Римана–Лебега2 , которую будем использовать в дальнейшем не один раз.Лемма 1. Пусть [a, b] — отрезок вещественной прямой и f : [a, b] → R —Rbабсолютно интегрируемая функция, т.е. a |f (x)|dx < ∞, тогдаRbf (x) cos pxdx → 0 при p → +∞.aДоказательство леммы 1.
Предположим сначала, что f — гладкая на [a, b]функция (обозначаем f ∈ C 1 [a, b]), т.е. у нее существует непрерывная на[a, b] производная f 0 (иногда так и говорят, f — непрерывно дифференцируема), причем производная на концах интервала понимается как односторонняя производная, и непрерывность в этих точках также односторонняя.Выпишем неравенстваZ Z b 1 b f (x)d sin px0≤f (x) cos pxdx = a p aZ b1 0= f (b) sin pb − f (a) sin pa −sin pxf (x)dxpa!Z b1|f (a)| + |f (b)| +≤|f 0 (x)|dx .paПоскольку выражение в скобках конечно, то по лемме о двух милиционерахзаключаем, что лемма верна для гладкой функции f.RbДля любой функции f : [a, b] → R такой, что a |f (x)|dx < ∞, и для люRbбого ε > 0 найдется гладкая функция fε такая, что a |f (x) − fε (x)|dx < ε.Мы не будем доказывать этот факт, но будем на него ссылаться (в дальнейшем) как о всюду плотности множества гладких функций в функциональном пространстве Лебега L1 [a, b] (см.
5.3). Тогда получаемZ ZZ b b b 0≤f (x) cos pxdx = (f (x) − fε (x)) cos pxdx +fε (x) cos pxdx a aaZZ b b≤|f (x) − fε (x)|dx + fε (x) cos pxdxaaZ b≤ε+fε (x) cos pxdx . a2 Эта лемма названа в честь выдающихся немецкого и французского математиковГеорга Римана (1826–1886) и Анри Лебега (1875–1941), и была доказана сначала дляинтеграла в смысле Римана, а потом в смысле Лебега.1.5. ТЕОРЕМА О ПРЕДСТАВИМОСТИ РЯДОМ ФУРЬЕ13По уже доказанному второе слагаемое стремится к нулю при p → +∞, аε > 0 произвольно, следовательно, лемма доказана.RbСледствие 1. Пусть f : [a, b] → R — такая функция, что a |f (x)|dx < ∞,тогда1) ее коэффициенты Фурье an , bn → 0 при n → ∞;RbRbRb2) lim a f (x) sin pxdx = lim a f (x) cos pxdx = lim a f (x)eipx dx = 0.p→±∞p→±∞p→±∞1.5.2.
Ядра ДирихлеПусть f : R → R — 2π-периодическая функция. Используя формулы (1.1.2)–(1.1.4) коэффициентов Фурье, запишем частичную сумму ее рядаФурьеna0 X+ak cos kx + bk sin kx2k=1Z πn Z11X π=f (y)dy +f (y)(cos ky cos kx + sin ky sin kx)dy2π −ππk=1 −πZ πZnX1 π1f (y)dy +f (y)cos k(y − x)dy=2π −ππ −πk=1!Zn1 π1 X=f (y)+cos k(y − x) dyπ −π2k=1Z π=f (y)Dn (y − x)dy,Tn (x) =−πгде1Dn (z) =πn1 X+cos kz2!.(1.5.1)k=1Найдем компактное выражение для функции Dn (z). Домножим ее наsin z2 и, воспользовавшись тригонометрической формулой произведения косинус на синус, получим1zzzz= sin + cos z sin + .
. . + cos nz sin22 22 2z13z1z1(2n + 1)z1(2n − 1)z1= sin +sin− sin+ ... +sin− sin22222222221(2n + 1)z= sin.22πDn (z) sinТаким образом,Dn (z) =sin (2n+1)z2, z ∈ R, n ≥ 1.2π sin z2(1.5.2)14ГЛАВА 1. РЯДЫ ФУРЬЕТогда выражение для частичной суммы Tn (x) имеет видZπTn (x) =f (y)−πsin (2n+1)(y−x)22π siny−x2Zπdy =f (x + z)−πsin (2n+1)z2dz,2π sin z2(1.5.3)где в последнем равенстве мы сделали замену переменных z = y − x ивоспользовались периодичностью подынтегральной функции.Определение 7. Функция Dn (z), выражаемая формулами (1.5.1) и (1.5.2),называется n-ым ядром Дирихле 3 ; а интеграл в формуле (1.5.3) — интегралДирихле.Из определения следует, что ядра Дирихле обладают следующим свойством: для любого n ≥ 1 ядро Dn (x) — четная функция иZ πDn (z)dz = 1.(1.5.4)−π1.5.3.
Кусочно-гладкие функцииСледующий класс функции играет важную роль на протяжении всейэтой главы, а теорема 1 дает ответ на вопрос 1) из первого параграфа.Определение 8. Функция f : [a, b] → R называется кусочно-гладкой наотрезке [a, b], если существует конечное число точекa = x0 < x1 < . . . < xn = bтаких, что на каждом интервале (xj , xj+1 ), j = 0, . . .
n − 1 функция f будетгладкой, а в точках xj существуют и конечны следующие односторонниепределыf (xj ± 0) := lim f (xj + x),x→0±f 0 (xj ± 0) := limx→0±f (xj + x) − f (xj ± 0),xпричем в точках a и b нужно рассматривать только правые и, соответственно, левые пределы.Упражнение 1.
Верно ли, что f 0 (xj ± 0) = lim f 0 (xj + x)?x→0±Чтобы лучше понять это определение, приведем несколько примеров,отражающих каждую деталь этого определения.Пример 1. На отрезке [−2, 2] рассмотрим четыре функции √1,x ∈ [−2, 0),− −2x − x2 , x ∈ [−2, 0),√f1 (x) =f2 (x) =2x , x ∈ [0, 2],2x − x2 ,x ∈ [0, 2],3 Петер Густав Лежен Дирихле (1805–1859) — немецкий математик, основные трудыкоторого посвящены теории чисел и математическому анализу.1.5. ТЕОРЕМА О ПРЕДСТАВИМОСТИ РЯДОМ ФУРЬЕ1511f3 (x) = sin , f4 (x) = x sin .xxДля каждой из них есть ровно одна особая точка x1 = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
