1611689570-2f7bf9f665e22b4e5993a1e15fa840d7 (826871), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Первая функцияразрывна, но обладает всеми конечными односторонними пределами в x1 ,поэтому она кусочно-гладкая. Вторая функция непрерывна, но в x1 праваяи левая производная бесконечны, следовательно, она не является кусочногладкой. Третья функция не кусочно-гладкая, поскольку правый и левыйпределы функции в x1 не существуют. Наконец, четвертая функция не является кусочно-гладкой, поскольку правый и левый пределы производнойне существует в x1 . Графики функций изображены на рис. 1.4–1.7.Рис.1.4: Функция f1 кусочногладкая, поскольку все односторонниепределы в x1 = 0 конечныРис. 1.5: Функция f2 не кусочно-Рис.
1.6: Функция f3 не кусочно-Рис. 1.7: Функция f4 не кусочно-гладкая, так как пределы функциив x1 = 0 не существуютгладкая, поскольку пределы производной в x1 = 0 не существуютгладкая, так как пределы производных в x1 = 0 бесконечны1.5.4. Теорема о представимости функции своим рядом ФурьеТеорема 1. Пусть f : R → R — 2π-периодическая функция, кусочногладкая на своем периоде, тогда для любого x ∈ R верно равенство∞a0 Xf (x + 0) + f (x − 0)=+an cos nx + bn sin nx.22n=1(1.5.5)16ГЛАВА 1.
РЯДЫ ФУРЬЕНапомним, что f (x ± 0) = lim f (x + y). Ясно, что для непрерывныхy→0±функций левая часть равенства (1.5.5) равна f (x). Таким образом, равенство (1.1.1) справедливо, например, для непрерывных кусочно-гладких функций.Доказательство теоремы 1. Нам нужно доказать, что для любого x ∈ R(x−0). Используя формупредел частичных сумм lim Tn (x) равен f (x+0)+f2n→∞лу (1.5.3) для выражения Tn (x), а также свойство (1.5.4), получимTn (x) −f (x + 0) + f (x − 0)=2ZπZf (x + 0) + f (x − 0) π=f (x + z)Dn (z)dz −Dn (z)dz =2−π−πZ π f (x + 0) + f (x − 0)=f (x + z) −Dn (z)dz =2−πZ 0 f (x + 0) + f (x − 0)=Dn (z)dz +f (x + z) −2−π|{z}z=−wZπ+00f (x + 0) + f (x − 0)f (x + z) −2Dn (z)dz =f (x + 0) + f (x − 0)Dn (−w)dw+f (x − w) −2πZ πf (x + 0) + f (x − 0)+f (x + z) −Dn (z)dz =20Z πz=w, Dn (z)=Dn (−z)=(f (x + z) + f (x − z) − f (x + 0) − f (x − 0)) Dn (z)dz =0Z π12n + 1=gx (z) sinzdz,2π 02Z=−гдеgx (z) =f (x − z) − f (x − 0) f (x + z) − f (x + 0)+zzz.sin z2Из определения кусочно-гладкости следует, что для каждого x ∈ R функция gx в окрестности нуля ограничена, а поскольку на остальном множествеинтервала (0, π) она кусочно-гладкая, то, следовательно, абсолютно интегрируема.
Поэтому по лемме Римана–Лебега интегралZ π12n + 1gx (z) sinzdz → 02π 02при n → ∞, что и требовалось доказать.1.5.5. Рассмотрим использующийся в дальнейшем пример нахождения рядаФурье и его применение для суммирования числового ряда.1.5. ТЕОРЕМА О ПРЕДСТАВИМОСТИ РЯДОМ ФУРЬЕ17Пример 2. На интервале (−π, π) определим функцию σ(x) = π2 sgnx, и продолжим ее по периодичности на всю числовую прямую.Поскольку σ(x) — нечетная функция, то воспользовавшись формулой (1.3.7),получимZ πZ1 − (−1)n2 πsin nxdx =σ(x) sin nxdx =bn =, n ≥ 1.π 0n0Так как σ(x) кусочно-гладкая, и в точках разрыва выполняется ра, то по теореме 1 для любого x ∈ R имеемвенство σ(x) = σ(x+0)+σ(x−0)2равенство∞X2σ(x) =sin(2k − 1)x;(1.5.6)2k − 1k=1в частности, для любого x ∈ (−π, π) верно равенство∞X 2πsgn(x) =sin(2k − 1)x.22k − 1(1.5.7)k=1Подставляя в равенство (1.5.7), например, точку x =∞∞k=1k=1π2,получаемπ X 1(2k − 1)π X (−1)k=sin=.42k − 122k − 1Рис.
1.8: График функции σ(x) и частичной суммы σ20 =ее ряда Фурье в окрестности нуляP202k=1 2k−1sin(2k − 1)x18ГЛАВА 1. РЯДЫ ФУРЬЕ1.6Дифференцируемость и интегрируемость рядов ФурьеТеорема 2. Пусть f : R → R — P2π-периодическая непрерывно дифферен∞цируемая функция и f (x) = a20 + n=1 an cos nx + bn sin nx, x ∈ R, тогдаf 0 (x) ∼∞Xa0n cos nx + b0n sin nx,n=1гдеa0n = nbn , b0n = −nan , n ≥ 1.(1.6.1)Доказательство теоремы 2. Поскольку производная f 0 непрерывна, то длянее можно построить (формальный) ряд Фурье. Поэтому остается лишь показать справедливость формул (1.6.1).
ИмеемZf (π) − f (−π)1 π 00f (x)dx == 0,a0 =π −ππa0nZZ1 π 01 π=f (x) cos nxdx =cos nxdf (x) =π −ππ −πZ1n π= (f (π) cos πx − f (−π) cos(−πx)) +f (x) sin nxdx = nbn .{z} π −ππ|0Второе равенство из (1.6.1) доказывается аналогично.Наложенные условия на функцию f в теореме 2 позволяют формальнопродифференцировать ее ряд Фурье и получить (формальный) ряд Фурьедля ее производной f 0 :P∞=f (x) −−−−→ a20 + n=1 an cos nx + bn sin nxddy dxy dxP∼∞f 0 (x) −−−−→nbn cos nx + −nan sin nx.n=1 |{z}| {z }=a0n=b0nТеорема3. Пусть f : R → R — P2π-периодическая непрерывная функция иRπ∞f(x)dx=0,приэтомf(x)∼n=1 an cos nx + bn sin nx, тогда для функ−πRxции F (x) = 0 f (t)dt и для любого x ∈ R∞F (x) =гдеA0 = 2A0 X+An cos nx + Bn sin nx,2n=1∞Xbnbnanи An = − , B n =, n ≥ 1.nnnn=1(1.6.2)1.7.
ПРИБЛИЖЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ19Доказательство теоремы 3. Поскольку F (x) непрерывно дифференцируема и 2π-периодична:Z 2πZ x+2πZ xZ x+2πf (t)dt = F (x),f (t)dt = F (x)+f (t)dt+f (t)dt =F (x+2π) =x00| 0 {z }0то для нее применима теорема 2. Поэтомуan = nBn и bn = −nAn , n ≥ 1,откуда получаем последние два равенства из (1.6.2). Выражение для A0находим из следующего соотношения:∞0 = F (0) =∞A0 X bnA0 X+An =−.22nn=1n=1Наложенные условия на функцию f в теореме 3 позволяют формальнопроинтегрировать ее (формальный) ряд Фурье и получить ряд Фурье дляее первообразной F :P∞∼f (x) −−−−→n=1 an cos nx + bn sin nxRR x xy0y0=F (x) −−−−→∞Xanbn−bn.sinnx+cosnx+n=1nnn|{z}|{z}n=1| {z }=Bn=AnP∞A021.7Приближение функций тригонометрическими многочленамиОпределение 9. Выражение вида Tn (x) =α02+nPαk cos kx + βk sin kx сk=1коэффициентами α0 , αk , βk ∈ R будем называть вещественным тригонометрическим многочленом степени n.Лекция3Ясно, что частичная сумма ряда Фурье Tn (x) интегрируемой функцииявляется тригонометрическим многочленом.
Рассмотрим следующуюR πзадачу. Пусть f : [−π, π] → R — интегрируемая с квадратом функция, т.е. −π f 2 (x)dx < ∞.Нужно найти тригонометрический многочлен Tn (x) такой, чтобы квадратнормы (в L2 [−π, π]) разностиZ πkTn (x) − f (x)k22 =(Tn (x) − f (x))2 dx−π20ГЛАВА 1. РЯДЫ ФУРЬЕбыл минимальным.Имеем(Tn (x) − f (x))2 = Tn2 (x) − 2Tn (x)f (x) + f 2 (x) = f 2 (x)+!2!nnα0 Xα0 X+++αk cos kx + βk sin kx) −2f (x)αk cos kx + βk sin kx) =22k=1k=1!nX2= f (x) − α0 f (x) − 2αk f (x) cos kx + βk f (x) sin kx +k=1n+α02 X 2+αk cos2 kx + βk2 sin2 kx + ξn (x),4k=1гдеξn (x) = α0nXXαk cos kx+βk sin kx+ (αi cos ix+βi sin ix)(αj cos jx+βj sin jx).k=1i6=jRπПоскольку −π ξn (x)dx = 0, то, интегрируя на интервале (−π, π), получаемZ1 π(Tn (x) − f (x))2 dx =π −πZnnX1 π 2α2 X 2=f (x)dx − α0 a0 − 2αk ak + βk bk + 0 +αk + βk2 =π −π2k=1k=1ZnnX1 π 2(a0 − α0 )2 a20 X=− +(ak − αk )2 + (bk − βk )2 −a2k + b2k .f (x)dx +π −π22k=1k=1Таким образом, минимум нормы разности достигается на тригонометрическом многочлене с коэффициентами α0 = a0 , αk = ak и βk = bk .
В этомслучае мы получаем, чтоTn (x) = Tn (x)и для любого n ≥ 1 справедливо неравенствоZZn1 π1 π 2a2 X 220≤(Tn (x) − f (x)) dx =f (x)dx + 0 +ak + b2k ,π −ππ −π2k=1откуда для всех n ≥ 1na20 X 21+ak + b2k ≤2πk=1Zπf 2 (x)dx.−πПереходя к пределу при n → ∞, получаем неравенство Бесселя 4Z∞a20 X 21 π 2+ak + b2k ≤f (x)dx.2π −π(1.7.1)k=14 Фридрих Вильгельм Бессель (1784–1846) — немецкий математик и астроном, былдиректором обсерватории в городе Кенигсберг (ныне Калининград).1.8. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ21Тот же самый результат, что минимум нормы разности достигается натригонометрическом многочлене с коэффициентами α0 = a0 , αk = ak и βk = bk ,можно было получить дифференцируя норму разности по параметрам αkи βk и зануляя эти производные (см., например, упражнение в [2, c.
563]).1.8Равномерная сходимость ряда ФурьеНапомним следующее определение.Определение 10. Функциональный ряд∞Pfn (x) сходится равномерно наn=1множестве E ⊆ R к функции S(x), если nXlim sup fk (x) − S(x) = 0,n→∞ x∈E k=1при этом пишутnXEfk (x) ⇒ S(x) при n → ∞.k=1Напомним также достаточный признак равномерной сходимости функциональных рядов — признакPВейерштрасса5 : если для любогоP∞ x ∈ E верно∞|fn (x)| ≤ Mn , и числовой ряд n=1 Mn сходится, то ряд n=1 fn (x) сходится равномерно на E. Вспомнив определение и признак, мы теперь готовысформулировать и доказать следующую теорему.Теорема 4.
Пусть f : R → R — 2π-периодическая непрерывно дифференцируемая функция, тогда ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на всейчисловой прямойnRa0 X+ak cos kx + bk sin kx ⇒ f (x) при n → ∞.2k=1Доказательство теоремы 4. Положим fn (x) = an cos nx + bn sin nx, n ≥ 1.Используя признак Вейерштрасса, достаточно найти суммируемую мажоранту для функциональной последовательности fn (x). Имеем|b0n | |a0n |+≤nn|b0n |21|a0 |21|b0 |2 + |a0n |21+ 2+ n + 2 = n+ 2.22n22n2n|fn (x)| = |an cos nx + bn sin nx| ≤ |an | + |bn |2st≤s2 +t2≤ПосколькуP∞(1.6.1)=1n=1 n2— сходящийся ряд, а по неравенству Бесселя (1.7.1)Z∞X1 π 00 20 2|bn | + |an | ≤(f (x))2 dx < ∞,π−πn=1то теорема доказана.5 Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815–1897) — знаменитый немецкий математик, основоположник математического анализа и теории аналитических функций22ГЛАВА 1.
РЯДЫ ФУРЬЕ1.9Равенство Ляпунова1.9.1. Оказывается в неравенстве Бесселя (1.7.1) на самом деле можно поставить равенство, что означает (как мы узнаем) полноту тригонометрической системы функций на интервале [−π, π].Теорема R5. Пусть f : [−π, π] → R — интегрируемая с квадратом функπция, т.е. −π f 2 (x)dx < ∞, и an , bn — ее коэффициенты Фурье, тогда справедливо равенство Ляпунова61πZ∞πf 2 (x)dx =−πa20 X 2+an + b2n .2n=1(1.9.1)Доказательство теоремы 5. Пусть f : [−π, π] → R такая, что ее 2π-периодическое продолжение f ∗ на всю числовую прямую будет непрерывно дифференцируемой функцией. Тогда по теореме 4 ряд Фурье этой функциибудет равномерно на всей числовой прямой сходится к ней самой. ПосколькуZZn1 π1 πa2 X 2an + b2n ,(Tn (x) − f (x))2 dx =f (x)dx − 0 −π −ππ −π2k=1то переходя к пределу при n → ∞ и пронося предел внутрь интеграла ввидуравномерной сходимости, получим требуемое равенство.Общий случай мы рассматривать не будем; отметим лишь, что его можно получить, приближая произвольную интегрируемую с квадратом функцию указанными в доказательстве гладкими функциями.Упражнение 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
