1611689570-2f7bf9f665e22b4e5993a1e15fa840d7 (826871), страница 8
Текст из файла (страница 8)
до yn . В итогеполучим требуемое свойство, выраженное формулой (2.6.3).4 Для любой f ∈ S(Rn ).F± [f (y)](x) ∈ S(Rn ).Доказательство. По формуле (2.6.2) мы можем найти производную любого порядка для F± [f (y)](x), поэтому она бесконечно дифференцируема.Докажем свойство 2) из определения быстроубывающих функций. Имеем,для любых мультииндексов α и βsup |xα Dβ F± [f (y)](x)|(2.6.2)=x∈Rnsup |xα F± [y β f (y)](x)| =x∈Rn(2.6.3)=sup |F± [Dα (y β f (y))](x)| = sup |F± [g(y)](x).|{z}x∈Rnx∈Rn:=g(y)Поскольку по свойствам 2◦ и 3◦ быстроубывающих функций g — быстроубывающая, то для ограниченности последнего супремума, достаточнодоказать, что F± [g(y)](x) непрерывная функция, сходящаяся на бесконечности к нулю.Непрерывность следует уже для абсолютно интегрируемых функций.Действительно,Z−n/2lim F± [g(y)](x) = lim (2π)g(y)e∓i(y,x) dy =x→x0x→x0RnZZ−n/2∓i(y,x)−n/2= (2π)g(y) lim edy = (2π)g(y)e∓i(y,x0 ) dy =Rnx→x0Rn= F± [g(y)](x0 ).Предел можно было внести под знак интеграла, так как |g(y)e∓i(y,x) | ≤ |g(y)|.Докажем теперь сходимость к нулю.
Пусть x → ∞, следовательно, хотя бы50ГЛАВА 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕодна координата xk → ∞. Пусть для определенности это будет координата x1 . Тогда получимZZ1 x1 )lim F± [g(y)](x) = lim (2π)−n/2g(y)e∓iy1 x1 dy1 |e∓i((y,x)±y{z} dy2 . . . dyn =x→∞x→∞Rn−1 R{z} :=u(y2 ,...,yn ;x2 ,...,xn )|:=v(y2 ,...,yn ;x1 )= (2π)−n/2поскольку |uv| ≤ |v| ≤RRZlim uvdy2 . .
. dyn = 0,Rn−1 x→∞|g(y)|dy1 и limx→∞ v = 0 по лемме Римана–Лебега.5 Пусть A : Rn → Rn — невырожденное линейное преобразование и.b ∈ Rn . Для любой f ∈ S(Rn ) справедлива формула−1F± [f (Ay + b)](x) =∗e±i(x,A b)F± [f (y)]( A−1 x).|detA|(2.6.4)Доказательство. ИмеемF± [f (Ay + b)](x) = (2π)−n/2Zf (Ay + b)e∓i(y,x) dy =Z−1duAy+b=u= (2π)−n/2f (u)e∓i(A (u−b),x)=|detA|Rn±i(A−1 b,x) Z−1−n/2 e= (2π)f (u)e∓i(A u,x) du =|detA|nR±i(A−1 b,x) Z−1 ∗ef (u)e∓i(u,(A ) x) du.= (2π)−n/2|detA|RnRnРассмотрим частные случаи формулы (2.6.4).
Пусть b = −x0 , x0 ∈ Rn иA — тождественное преобразование, т.е. A = I, и A−1 = I и (A−1 )∗ = I.Тогда для любой f ∈ S(Rn ) справедлива формулаF± [f (y − x0 )](x) = e∓i(x,x0 ) F± [f (y)](x).(2.6.5)Если рассмотреть b = 0 и A = aI, a ∈ R, a 6= 0. Тогда для любой f ∈ S(Rn )справедлива формулаF± [f (ay)](x) =x1.F[f(y)]±|a|na(2.6.6)Упражнение 9. Пусть A : Rn → Rn — невырожденное линейное преобразование и b ∈ Rn . Для любой f ∈ S(Rn ) доказать, чтоf (Ax + b) ∈ S(Rn ).2.7. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ512.6.3. Формула обращенияДля любой f ∈ S(Rn ) справедлива формулаF+ [F− [f (z)](y)](x) = F− [F+ [f (z)](y)](x) = f (x).(2.6.7)Доказательство. Используем индукцию по размерности пространства Rn .Для n = 1 это в точности формула (2.4.2), доказанная для абсолютно интегрируемых кусочно гладких непрерывных функций.
Предполагая справедливость формулы для n, докажем ее для n + 1. ИмеемZ−nF+ [F− [f (z)](y)](x) = (2π)f (z)e∓i(z,y) e±i(y,x) dzdy =R2nZZ −n+1∓i(bz ,by ) ±i(by ,bx)−1f (z)eedbz dby e∓izn yn e±iyn xn dyn dzn .(2π)= (2π)2n−22RR|{z}:=g(zn ,x1 ,...,xn−1 )Здесь мы обозначили yb = (y1 , . . . , yn−1 ) и аналогично для zb и xb. Для функции g по предположению индукции, справедливо равенствоg(zn , x1 , . .
. , xn−1 ) = F+ [F− [f (bz , zn )](by )](bx) = f (bx, zn ).Подставляя это выражение в первоначальный интеграл, получаемZZ(2π)−1g(zn , xb)e∓izn yn e±iyn xn dyn dzn = (2π)−1f (bx, zn )e∓izn yn e±iyn xn dyn dzn =R2R2= F+ [F− [f (bx, zn )](yn )](xn ) = f (x).2.7Свертка функций2.7.1. Введем новую операцию для функций и изучим ее свойства.Определение 26.
Для f, g : Rn → C функцияZ(f ∗ g)(x) =f (x − y)g(y)dyRnназывается сверткой функций f и g.Легко заметить, что свертка двух функций существует, если, например,одна из функций ограничена, а другая — абсолютно интегрируема. Поэтомусвертка двух быстроубывающих функций существует, более того, позже мыпоймем, что она тоже является быстроубывающей функцией.Упражнение 10. Доказать, что свертка двух быстроубывающих функцийабсолютно интегрируема.52ГЛАВА 2.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕРассмотрим простейшие свойства свертки, ограничившись рассмотрением быстроубывающих функций.1) Линейность свертки по обоим аргументам. Для всех α, β ∈ C илюбых f, g, φ ∈ S(Rn )(αf + βg) ∗ φ = α(f ∗ φ) + β(g ∗ φ),(2.7.1)φ ∗ (αf + βg) = α(φ ∗ f ) + β(φ ∗ g).(2.7.2)2) Коммутативность свертки. Для любых f, g ∈ S(Rn )f ∗ g = g ∗ f.(2.7.3)3) Ассоциативность свертки. Для любых f, g, φ ∈ S(Rn )(f ∗ g) ∗ φ = f ∗ (g ∗ φ).(2.7.4)4) Дифференцирование свертки.
Для любых f, g ∈ S(Rn ) и любогомультииндекса αDα (f ∗ g) = (Dα f ∗ g) = (f ∗ Dα g).(2.7.5)Доказательство. Первое свойство следует из линейности интеграла и существования свертки для каждого слагаемого. Для второго имеемZ(f ∗ g)(x) =f (x − y)g(y)dyx−y=zZf (z)g(x − z)dz = (g ∗ f )(x).=RnRnАссоциативность доказывается аналогично с помощью соответствующихзамен переменных.
Для дифференцирования имеемαD (f ∗ g)(x) = DαZZf (x − y)g(y)dy =RnDα f (x − y)g(y)dy = (Dα f ∗ g)(x).RnВторая формула следует из коммутативности свертки.2.7.2. Свертка и преобразование ФурьеПоскольку свертка двух быстро убывающих функций абсолютно интегрируема, то мы можем определить преобразование Фурье от такой свертки.Для любых f, g ∈ S(Rn ) справедливо равенствоF± [(f ∗ g)(y)](x) = (2π)n/2 F± [f (y)](x) · F± [g(y)](x).(2.7.6)2.8. РАВЕНСТВО ПАРСЕВАЛЯ53Доказательство. Имеем−n/2ZZf (y − z)g(z)dz e∓i(y,x) dy =Z ZT.??−n/2∓i(y,x)= (2π)f (y − z)edy g(z)dz =RnRnZ Zy−z=u−n/2∓i(z+u,x)= (2π)f (u)edu g(z)dz =RnRnZZ= (2π)−n/2f (u)e∓i(u,x) du ·g(z)e∓i(z,x) dz =F± [(f ∗ g)(y)](x) = (2π)RnRnRn= (2π)n/2RnF± [f (u)](x) · F± [g(z)](x).Следствием доказанной формулы является формула для преобразования Фурье от произведения быстроубывающих функций.
Напомним, чтопо свойству 5◦ быстроубывающих функций произведение быстроубывающих функций снова быстроубывающая функция иF± [(f · g)(y)](x) = (2π)−n/2 (F± [f (y)] ∗ F± [g(y)])(x).(2.7.7)Доказательство. Заменим в формуле (2.7.6) функции f (x) и g(x) на ихпреобразования Фурье — F± [f (y)](x) и F± [g(y)](x) соответственно. Далееприменим формулу обращения и, навесив преобразование Фурье к получившемуся равенству, получим требуемое равенство.Упражнение 11. Используя формулу (2.7.6) докажите, что свертка быстроубывающих функций снова быстроубывающая функция.В связи с этим упражнением отметим в заключение, что к дополнениюк уже обсуждавшимся свойствам пространства S(Rn ), оно замкнуто относительно взятия преобразования Фурье и операции свертки.2.8Равенство ПарсеваляЛек(2.8.1) цRnRnRnиДоказательство. Докажем равенство для обратного преобразования Фу- ярье, для прямого доказательство аналогично.
Покажем сначала, что для 8любых f, g ∈ S(Rn )ZZfˆ(x)g(x)dx =f (x)ĝ(x)dx.(2.8.2)Для любых f, g ∈ S(Rn ) справедливо равенство ПарсеваляZZZˆf (x)ĝ(x)dx =fˇ(x)ǧ(x)dx.f (x)g(x)dx =RnRn54ГЛАВА 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕДействительно,ZZfˆ(x)g(x)dx =Rnf (y)e−i(y,x) dy g(x)dx =RnZZ(2π)−n/2g(x)e−i(x,y) dx f (y)dy =(2π)−n/2RnZT.??=ZRnRnf (x)ĝ(x)dx.RnДалее, легко проверить, что справедливы также формулыfˆ(x) = fˇ (x), fˇ(x) = fˆ (x)(2.8.3)Применяя обе формулы, а также формулу обращения, получимZZZZ(2.6.7)(2.8.2)(2.8.3)fˆˇ(x)g(x)dx =f (x)g(x)dx =fˇ(x)ĝ(x)dx =fˇ(x)ǧ(x)dx.Rn2.9RnRnRnФормула ПуассонаТеорема 14. Для любой f ∈ S(R) справедлива формула Пуассона√2π+∞X+∞Xf (2πn) =n=−∞fˆ(n).(2.9.1)n=−∞Доказательство теоремы 14.
Рассмотрим функциюF (x) =√2π+∞Xf (2πn + x)n=−∞вещественного переменного x. Поскольку+∞X|f (2πn + x)| ≤n=−∞+∞Xk(p)1+|2πn+ x|p ,n=−∞то функция F определена для всех x ∈ R, более того эта функция непрерывно дифференцируема и 2π-периодична. Действительно,F (x + 2π) =√2π+∞Xf (2πn + x + 2π) =n=−∞n+1=m=√2π√+∞X2πf (2π(n + 1) + x) =n=−∞+∞Xf (2πm + x) = F (x)m=−∞иF 0 (x) =√2π+∞+∞X√d Xf 0 (2πn + x).f (2πn + x) = 2πdx n=−∞n=−∞2.9. ФОРМУЛА ПУАССОНА55Справедливость последнего равенства будет доказана, если мы покажем,что ряд из производных сходится равномерно в окрестности каждой точки x ∈ R.
Докажем равномерную сходимость на отрезке [−2π, 2π] — этогобудет достаточно. По определению быстроубывающей функции найдетсяконстанта k > 0 такая, что+∞X+∞Xk=1+(2πn+ x)2n=−∞|f 0 (2πn + x)| ≤n=−∞+∞Xkkk++=221+x1 + (2πn + x)1 + (2πn − x)2n=1=+∞X+∞X2kk≤k+< 3k +< ∞.2 (n − 1)22 n21+(2π)2πn=1n=2По признаку Вейерштрасса ряд из производных сходится равномерно на[−2π, 2π] и, следовательно, F (x) непрерывно дифференцируема. Поэтомудля каждого x ∈ R она представляется своим рядом Фурье в комплекснойформе (1.4.2):F (x) =+∞Xcn einx .n=−∞Подставляя в это равенство значение x = 0, получаем√2π+∞Xf (2πn) =n=−∞+∞Xcn .n=−∞Таким образом, для завершения доказательства остается показать, что cn = fˆ(n).Имеем!Z π √+∞X1cn =2πf (2πn + x) e−inx dx =2π −πn=−∞+∞X Z π1равн.сх.= √f (2πn + x)e−inx dx =2π n=−∞ −π+∞ Z π+2πnX21x+2πn=y√=f (y)e−iny e|i2πndy ={z}2π n=−∞ −π+2πn=1|{z}R=1=√2πZRRf (y)e−iny dy = fˆ(n).56ГЛАВА 2.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ2.10Теорема Котельникова–ШеннонаТеорема 15. Пусть f ∈ S(R) и ее преобразование Фурье fˆ(x) зануляетсявне некоторого интервала [−a, a], a > 0, тогда для любого x ∈ R+∞Xf (x) =n=−∞где sinc(x) =sin xxf πn asinc(ax − πn),— функция отсчетов.Доказательство теоремы 15. ИмеемZZ a11(2.6.7) ˇiyxˆˆf (x) = f (x) = √f (y)e dy = √fˆ(y)eiyx dy =2π R2π −aZ aZ a X+∞+∞X−iπny−iπny11(1.4.3)T.4iyxa= √e dy = √cne a eiyx dy =cn e2π −a n=−∞2π n=−∞−a+∞+∞XXsin(ax − πn)2acn1√√ sinc(ax − πn).cn 2a==ax−πn2π n=−∞2πn=−∞Здесь мы воспользовались разложением гладкой функции fˆ(x) в комплекс- √ n = f πn :ный ряд Фурье на отрезке [−a, a].
Остается только показать, что 2aca2π2acn√2π2.11(1.4.4)=2a 1√2π 2aZa πn iπnxˇ πnfˆ(x)e a dx = fˆ=f.aa−aРешение уравнения теплопроводностиРассмотрим задачу о распределении температуры в пространстве без источников тепла или холода. Обозначим через u(x, t) : Rn × R+ → R — температуру в точке x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , n ≥ 1 в момент времени t ≥ 0. Известно,что закон изменения температуры определяется уравнением теплопроводности и начальным распределением температуры: nP ∂2u ∂u22=a4u=a, a > 0;∂t∂x2k(2.11.1)k=1u(x, 0) = f (x).Предположим, что f достаточно хорошая (гладкая и абсолютно интегрируемая), чтобы можно было применить преобразование Фурье по переменной x ∈ Rn .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
