1611689570-2f7bf9f665e22b4e5993a1e15fa840d7 (826871), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Далее,интегрируя по частям, получимZ +∞+∞22+2Az sin ze−Az dz =J(A) = e−Az sin z −∞{z 0 }|Z=0+∞= −2A−∞Z +∞222 +∞+2Acos zdze−Az =ze−Az d cos z = −2A z cos ze−Az 0−∞{z}|=0Z+∞= 2A2cos ze−Az dz − 4A2−∞Z+∞2z 2 cos ze−Az dz =−∞dJ(A),= 2AJ(A) + 4AdA2откуда(1 − 2A)J = 4A2 J 0 .Решая это простое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, получимce−1/4AJ(A) = √,Aгде c — некоторая константа, которую еще предстоит определить.
Вспоминая равенство Z +∞2a11pJ=√e−ay cos yxdy,|x|2π −∞2π|x|и подставляя после преобразований x = 0, получимrZ +∞2cπ√ =e−ay dy =,aa−∞44ГЛАВА 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕоткуда c =√πи21 −x2F+ [e−ay ](x) = √ e 4a .2aПоскольку легко проверить, что(2.4.3)F+ [f (y)](x) = F− [f (y)](−x),(2.4.4)то21 −x2(2.4.5)F− [e−ay ](x) = √ e 4a .2aОтметим также, что если a = 1/2, то формулы (2.4.3) и (2.4.5) становятсясовсем легко запоминаемымиF+ [e−2.5y22](x) = F− [e−y22](x) = e−x22.(2.4.6)Быстроубывающие функции2.5.1. Здесь мы рассмотрим класс функций в Rn , для которых можно определить преобразование Фурье, обладающее многими замечательными свойствами.Определение 21. Вектор α = (α1 , α2 , . .
. , αn ) с целочисленными координатами αk ∈ Z+ называется мультииндексом.С мультииндексами связаны следующие операции и обозначенияα + β = (α1 + β1 , α2 + β2 , . . . , αn + βn );α ≤ β ⇔ αk ≤ βk , 1 ≤ k ≤ n;α! = α1 !α2 ! · · · αn !;|α| = α1 + α2 + . . . + αn ;nnxα = x1 α1 x2 α2 · · · xαn , x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R ;Dα f (x) =∂ |α| f (x), f : Rn → C.n.
. . ∂xαnα21∂xα1 ∂x2Определение 22. Функция f : Rn → C, n ≥ 1, называется быстроубывающей, если1) f — бесконечно дифференцируемая функция, f ∈ C ∞ (Rn );2) для любых мультииндексов α, β существует константа c = c(α, β) > 0такая, чтоsup |xα Dβ f (x)| < c < ∞.x∈RnУсловие 2) эквивалентно2’) для любого мультииндекса α и любого p > 0 существует константа k = k(α, p) > 0 такая, что для всех x ∈ Rnqk|Dα f (x)| ≤,kxk=x21 + x22 + .
. . + x2n .1 + kxkp2.5. БЫСТРОУБЫВАЮЩИЕ ФУНКЦИИ45Множество быстроубывающих функций обозначают как S(Rn ).Лемма 3. Условия 2) и 2’) эквивалентны.Пример 5. Приведем примеры быстроубывающих функций.2221) Функция f (x) = e−a1 x1 −a2 x2 −...−an xn , x ∈ Rn , ak > 0, — быстроубывающая функция. Действительно, она бесконечно дифференцируема и длялюбого мультииндекса β производная Dβ f (x) = Pβ (x)f (x), где Pβ (x) некоторый полином.
Возьмем еще один мультииндекс — α. Поскольку xα Pβ (x)f (x) → 0при x → ∞, то найдется R > 0 такое, что|xα Pβ (x)f (x)| < 1 при всех kxk > R.Полагая M (α, β) = sup |xα Pβ (x)f (x)|, получимkxk≤Rsup |xα Dβ f (x)| ≤ max{M, 1} = c(α, β) < ∞.x∈Rn2) Всякая финитная функция в Rn является быстроубывающей. Чтобыэто понять, достаточно вспомнить определение.Определение 23. Пусть D ⊆ Rn — открытое множество.
Функция f : D → Cназывается финитной в D, если она бесконечно дифференцируема и ее носитель suppf = cl{x ∈ D : f (x 6= 0)} является компактным подмножествомв D. Множество финитных функций обозначают как C0∞ (D).Примером финитной функции может служить(−1e ε2 −kx−x0 k2 , kx − x0 k ≤ ε,ωx0 ,ε (x) =0,kx − x0 k > ε,поскольку supp ωx0 ,ε есть замкнутый шар в Rn с центром в x0 и радиуса ε.А бесконечная дифференцируемость — это следствие бесконечной дифференцируемости для функции f (x) = e−1/x H(x), где1, x > 0,H(x) =(2.5.1)0, x < 0,а значение H(0) не столь важно и в разных ситуациях полагают равнымлибо 1, либо 1/2.Определение 24. Функция H(x) называется функцией Хевисайда, илифункцией скачка.2.5.2. Свойства быстроубывающих функций1◦ . Для любых f, g ∈ S(Rn ) и любых a, b ∈ Caf + bg ∈ S(Rn ).46ГЛАВА 2.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕДоказательство. Ясно, что af + bg ∈ C ∞ (Rn ). Второе свойство из определения S(Rn ) следует из цепочки неравенств: для любых мультииндексов αиβsup |xα Dβ (af (x) + bg(x))| = sup |axα Dβ f (x) + bxα Dβ g(x)| ≤x∈Rnx∈Rn≤ sup (|axα Dβ f (x)| + |bxα Dβ g(x)|) ≤x∈Rn≤ |a| sup |xα Dβ f (x)| + |b| sup |xα Dβ g(x)| ≤x∈Rnx∈Rn≤ |a|c(α, β, f ) + |b|c(α, β, g) < ∞.Таким образом, мы доказали, что S(Rn ) — линейное пространство.2◦ . Для любой f ∈ S(Rn ) и любого мультииндекса γ производнаяDγ f (x) ∈ S(Rn ).Доказательство. Ясно, что Dγ f ∈ C ∞ (Rn ). Второе свойство из определения S(Rn ) следует из цепочки неравенств: для любых мультииндексов αиβsup |xα Dβ (Dγ f (x))|(2.5.2)sup |xα Dβ+γ f (x)| < c(α, β + γ) < ∞.=x∈Rnx∈RnУпражнение 6.
Покажите, что для любых мультииндексов α и β верноравенствоDα (Dβ f (x)) = Dα+β f (x).(2.5.2)3◦ . Для любой f ∈ S(Rn ) и любого мультииндекса γxγ f (x) ∈ S(Rn ).Доказательство. Ясно, что xγ f (x) ∈ C ∞ (Rn ). Второе свойство из определения S(Rn ) следует из цепочки неравенств: для любых мультииндексов αиβX(2.5.4)sup |xα Dβ (xγ f (x))| = sup |xαCβδ Dδ xγ Dβ−δ f (x)| =x∈Rnx∈Rn(2.5.3)=sup |xx∈Rn≤X0≤δ≤βδ≤γ<X0≤δ≤βδ≤γ0≤δ≤βαXδ!Cβδ Cγδ xγ−δ Dβ−δ f (x)| ≤0≤δ≤βδ≤γδ!Cβδ Cγδ sup |xα+γ−δ Dβ−δ f (x)| <x∈Rnδ!Cβδ Cγδ c(α + γ − δ, β − δ) < ∞.2.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В S(RN )Здесь мы использовали легко проверяемое равенство γ!γ−δ, если δ ≤ γ,δ γ(γ−δ)! xD x =0,иначе.47(2.5.3)Упражнение 7.
Докажите многомерный аналог формулы ЛейбницаXDβ (f (x)g(x)) =Cβδ Dδ f (x)Dβ−δ g(x),(2.5.4)0≤δ≤βгдеCβδ =nYβ!=Cβδkk .δ!(β − δ)!k=14◦ . Для любой f ∈ S(Rn ) и любого полинома Pm (x) степени m в RnPm (x)f (x) ∈ S(Rn ).PДоказательство. Поскольку Pm (x) = 0≤|α|≤m cα xα , cα ∈ C, то это свойство есть следствие свойств 1◦ и 3◦ .Упражнение 8. Докажите, что верно следующее свойство в S(Rn ).5◦ . Для любых f, g ∈ S(Rn )f (x)g(x) ∈ S(Rn ).Резюмируя сказанное, можно утверждать, что пространство S(Rn ) быстроубывающих функций замкнуто относительно следующих операций: сложения, умножения, умножения на полином и дифференцирования.2.6Преобразование Фурье для быстроубывающих функцийЛ2.6.1. По аналогии с преобразованием Фурье для абсолютно интегрируемых екусочно гладких функций определим его для быстроубывающих функций.
кОпределение 25. Пусть f : Rn → C — быстро убывающая функция, тогда цопределены два отображения F+ и F− , переводящие функцию f в функ- ияции fˆ и fˇ соответственно, где7Z1−i(y,x)f (y)edyF+ [f (y)](x) = fˆ(x) =(2π)n/2 Rnназывается прямым преобразованием Фурье функции f, аZ1F− [f (y)](x) = fˇ(x) =f (y)ei(y,x) dy(2π)n/2 Rn48ГЛАВА 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕназывается обратным преобразованием Фурье функции f.
Здесь (y, x) обозначает скалярное произведение векторов y, x ∈ Rn , т.е.(y, x) = y1 x1 + y2 x2 + . . . + yn xn .Проверим, что интегралы, стоящие в определении функций fˆ и fˇ, сходящиеся. Действительно, по пункту 2’) определения быстро убывающихфункций для любого p > 0 существует константа k > 0 такая, чтоZZkdy±i(y,x).|f (y)e|dy ≤pRnRn 1 + kykПри подходящем выборе p (p > n) этот интеграл сходится.2.6.2.
Свойства преобразования Фурье быстроубывающих функций1 Для любых f, g ∈ S(Rn ) и любых a, b ∈ C.F± [af (y) + bg(y)](x) = aF± [f (y)](x) + bF± [g(y)](x).(2.6.1)Доказательство. Следует из свойства 1◦ быстроубывающих функций и линейности интеграла.2 Для любой f ∈ S(Rn ) и любого мультииндекса α.F± [y α f (y)](x) = (±i)|α| Dα F± [f (y)](x).(2.6.2)Доказательство.
ИмеемZZDα F± [f (y)](x) = (2π)−n/2 Dαf (y)e∓i(y,x) dy = (2π)−n/2f (y)Dα e∓i(y,x) dy =nnRZ R−n/2α ∓i(y,x)|α|= (2π)f (y)(∓iy) edy = (∓i) F± [y α f (y)](x).RnПоскольку |f (y)y α e∓i(y,x) | ≤ |f (y)y α |, а y α f (y) абсолютно интегрируемая (так как по свойству 3◦ быстроубывающих функций она быстроубывающая), то дифференцирование под знаком интеграла было законно.3 Для любой f ∈ S(Rn ) и любого мультииндекса α.F± [Dα f (y)](x) = (±ix)α F± [f (y)](x).(2.6.3)Доказательство.
ИмеемF± [Dα f (y)](x) = (2π)−n/2ZDα f (y)e∓i(y,x) dy =ZZα1∂(D(0,α2 ,...,αn ) f (y))e∓i(y,x) dy1 dy2 . . . dyn .= (2π)−n/2α1 |{z}∂yn−1RRRn:=g(y)2.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В S(RN )49Рассматривая внутренний интеграл и интегрируя по частям α1 -раз, получаем α1 −1ZZ∂ α1∂∓i(y,x)∓i(y,x)g(y)edy1 =g(y) =edα1∂y α1 −1R ∂yR+∞ Z∂ α1 −1∂ α1 −1= e∓i(y,x)g(y)g(y)(∓ix1 )e∓i(y,x) dy1 =−α−1α1 −11∂y∂yR−∞|{z}=0ZZα1 −разα1α1∓i(y,x)α1= (−1) (∓ix1 )g(y)edy1 = (±ix1 )g(y)e∓i(y,x) dy1 .RRВнеинтегральные члены занулялись, поскольку по свойству 2◦ быстроубывающих функций g — быстроубывающая. Подставляя полученное выражение обратно в n-кратный интеграл, меняя интегрирование местами,проделываем тоже самое по переменной y2 , потом по y3 и т.д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
