1611689570-2f7bf9f665e22b4e5993a1e15fa840d7 (826871), страница 14
Текст из файла (страница 14)
N = (Fn , k · kp ), n ∈ N, p ∈ [1, +∞), где норма определяется равенствамиkxkp =nX! p1p|xk |при p 6= ∞ иk=1kxk∞ = max |xk |.1≤k≤n2). Нормированным пространством будет N = (`2 , k · k2 ), где `2 есть линейное пространство последовательностей (или бесконечномерных векторов)x = (x1 , x2 , .
. .), xk ∈ F,у которых∞Xk=1|xk |2 < ∞;96 ГЛАВА 5. ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМа норма k · k2 есть бесконечномерный аналог евклидовой нормы из предыдущего примера:! 21∞X2kxk2 =|xk |.k=1Покажем, что это, действительно, бесконечномерное линейное нормированное пространство. Пусть x, y ∈ `2 , тогда x + y ∈ `2 :∞X|xk + yk |2 =k=1==≤∞X(xk + yk )(xk + yk ) =k=1∞Xk=1∞Xk=1∞X|xk |2 +|xk |2 +|xk |2 +∞Xk=1∞Xk=1∞X|yk |2 +∞X∞X|yk |2 + 2Re(xk yk ) ≤k=1|yk |2 + 2k=1k=1∞2ab≤|a|2 +|b|2 X∞X|xk ||yk | ≤k=1|xk |2 +≤(xk yk + xk yk ) =k=1∞X|yk |2 +|xk |2 +k=1k=1k=1∞X∞X|yk |2 < ∞.k=1Вектораek = (0, 0, . . .
,1|{z}, . . .), k ∈ Nk−ое местоявляются линейно независимыми, поэтому dim `2 = ∞.Первое и третье свойства нормы легко проверяются, а неравенство треугольника будет доказано позже.3). Пусть X — (открытое) подмножество в Rn . Тогда N = (C k (X), k · k),где C k (X) — линейное пространство функций, имеющих непрерывные производные до порядка k ∈ N включительно, а норма определяется равенством|α|=kXkf k =sup |Dα f (x)|.|α|=0Лекция14x∈XНаличие нормы позволяет определять такие понятие как предел, сходимость, фундаментальность, полнота, замкнутость, открытость и сепарабельность. Начнем по порядку.Определение 51. Пусть N = (X, k · k) – линейное нормированное пространство.
Говорят, что последовательность xn ∈ X сходится к x0 ∈ X приn → ∞, если kxn − x0 k сходится к нулю при n → ∞. При этом пишутk·kxn → x0 ,5.2. НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО97или как обычно, если ясно о какой норме идет речьlim xn = x0 .n→∞k·k2Пример 24. Пусть N = (`2 , k · k2 ) и xn = (1, 21 , 13 , . . . , n1 , 0, 0, . . .), тогда xn → x0 ,где x0 = (1, 21 , 13 , .
. .).11, n+2, . . .), поэтомуДействительно, x0 − xn = (0, 0, . . . , 0, n+1kx0 −xn k22=∞Xk=n+11→ 0 при n → ∞k2как хвост сходящегося ряда.Определение 52. Последовательность {xn }n∈N линейного нормированного пространства называется фундаментальной, если для любого ε > 0 найдется номер n0 = n0 (ε) ∈ N такой, что для всех n, m > n0 следует kxn − xm k < ε.Легко понять, что всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной, обратное не верно.Определение 53. Если в линейном нормированном пространстве всякаяфундаментальная последовательность сходится, то такое пространство называется полным. В честь С.
Банаха его еще называют банаховым.Обычный критерий Коши сходимости вещественных (комплексных) последовательностей показывает нам, что (F, | · |) является банаховым пространством. Приведем пример не полного нормированного пространства,показывающий, что такие пространства являются как бы "дырявыми" .Пример 25. Пусть N = (cf in , k · k∞ ), где cf in есть линейное пространствопоследовательностей (или бесконечномерных векторов)x = (x1 , x2 , . .
.), xk ∈ F,у которых лишь конечное число не нулевых координат xk , а норма k · k∞определяется простым равенствомkxk∞ = sup |xn |.n∈NРассмотрим последовательность xn как из примера 24. Покажем, что онафундаментальна, но не сходится. Для любого малого ε > 0 имеемkxn − xm k∞ =для всех m, n >h1ε−1i1<εmin{n, m} + 1. Предположим, что у этой последовательности естьпредел x0 = (ξ1 , ξ2 , . . .) ∈ cf in . Тогда имеемlim kxn − x0 k∞ = lim sup{|1 − ξ1 |, |1/2 − ξ2 |, .
. . , |1/n − ξn |, |ξk |, k > n} =n→∞n→∞= sup |1/n − ξn | = 0,n≥198 ГЛАВА 5. ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМоткуда следует, что ξn = 1/n для всех n ≥ 1. Но такого не должно быть, поскольку у x0 лишь конечное число ненулевых координат ξn . Таким образомна месте предела lim xn в пространстве cf in стоит "дырка" .Определение 54. Пусть N = (X, k · k) – линейное нормированное пространство и Y ⊆ X.
Точка x0 ∈ X называется предельной точкой множества Y , если найдется последовательность xn ∈ Y сходящаяся к x0 .Определение 55. Пусть N = (X, k · k) – линейное нормированное пространство. Множество Y ⊆ X называется замкнутым, если оно содержитвсе свои предельные точки. Другими словами, если xn ∈ Y сходится, то еепредел x0 также лежит в Y.Множество Y ⊆ X называется открытым, если его дополнение X \ Yзамкнуто.
Эквивалентное определение: с каждой точкой y ∈ Y в этом множестве содержится открытый шар с центром в y подходящего радиуса ε > 0 :B(y, ε) = {x ∈ X : kx − yk < ε} ⊂ Y.Пример 26. Множество многочленов P [0, 1] не является замкнутым подпространством в пространстве непрерывных функций C[0, 1] с равномернойнормойkf k = max |f (x)|x∈[0,1].Нужно показать, что это множество не замкнуто, т. е. найдется сходящаяся последовательность многочленов, пределом которой не будет многоn2член. Возьмем pn (x) = 1 + x + x2 + · · · + xn! .
По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа получим: n+1 c xe emax |e − pn (x)| ≤ max max ≤→ 0.(n + 1)!x∈[0,1]c∈[0,1] x∈[0,1] (n + 1)!xТаким образом, ex есть предельная точка множества P [0, 1]. На самомделе (как следует из теоремы Вейерштрасса (см. теорему 11)), замыканиемножества P [0, 1] в C[0, 1] есть все пространство C[0, 1].Определение 56.
Нормированное пространство N = (X, k · k) называетсясепарабельным, если найдется множество Y ⊆ X, которое является счетными всюду плотным, т.е. его замыкание совпадает со всем X.Пример 27. Пространство непрерывных функций C[a, b] – сепарабельное банахово пространство. По теореме Вейерштрасса всякая непрерывная функция может быть приближена равномерно многочленами. Поэтомусчетным всюду плотным множеством в C[a, b] будут опять многочлены срациональными коэффициентами. Доказательство полноты можно посмотреть, например, в [P12, c. 32].5.3.
ЛЕБЕГОВСКИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА5.399Лебеговские функциональные пространства5.3.1. Пусть G –измеримое по Лебегу подмножество Rn . Лебеговским функциональным пространством Lp (G), p ≥ 1 будем называть множество вещественнозначных (комплекснозначных) функций f , определенных на G иZ|f |p dx < ∞.XФункции, совпадающие на множестве меры ноль, будем считать одинаковыми (это задает отношение эквивалентности ∼). Факторизуя Lp (G) потакому отношению эквивалентности, получим новое пространствоLp (G) = Lp (G)/ ∼.Таким образом, элементами этого нового пространства являются не функции, а классы (эквивалентности) функций.
К примеру, в пространстве Lp ([0, 1])тождественная единица и функция Дирихле1, x 6∈ Q,χ(x) =0, x ∈ Q.лежат в одном классе, поскольку мера Лебега рациональных чисел Q равнанулю.Норму класса мы будем определять через норму любого его представителя. Нормой является функционалZkf kp = p1.|f |p dx(5.3.1)GПервые два свойства легко проверяются. Однако, нужно подчеркнуть,что равенство нулю нормы влечет равенство нулю функции только почтивсюду, но это как раз и определяет нулевой класс функций в Lp (G). Неравенство треугольника для этой нормы называется неравенством Минковского.5.3.2. Неравенство МинковскогоДля любых f, g ∈ Lp (G) справедливо неравенство МинковскогоZ|f (x) + g(x)|p dx1/pGZ≤1/p Z1/p|f (x)|p dx+|g(x)|p dx.GG(5.3.2)Доказательство опирается на неравенство Гельдера, которое в свою очередь есть следствие неравенства Юнга — поэтому начнем по-порядку.1.
Докажем сначала неравенство Юнга: для любых a, b ≥ 0ab ≤где p, q > 1 и 1/p + 1/q = 1.apbq+ ,pq(5.3.3)100ГЛАВА 5. ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМДоказательство. Ясно, что если одно из чисел a или b равно нулю,то неравенство Юнга очевидно выполняется. Предположим, что и a > 0, иb > 0.Рассмотрим функцию y = xp−1 . Посмотрев на график этой функции,заметим, что неравенство Юнга – это соотношение между площадью прямоугольника, равной ab, с одной стороны, а с другой — площадью P подграфика рассматриваемой функции и площадью S подграфика обратной кней: ab ≤ S + P .Действительно,Z aapxp−1 dx =P =,p0ZpaS=y 1/(p−1) dy =0(p − 1)b p−1.ppОстается лишь заметить, что p−1= q.
2. Докажем теперь неравенство Гельдера для интегралов: для любыхf ∈ Lp (G) и g ∈ Lq (G) при 1/p + 1/q = 1ZZ|f (x)|p|f (x)g(x)| dx ≤G1/p Z1/q·|g(x)|q.G(5.3.4)GВ терминах норм это неравенство имеет видkf gk1 ≤ kf kp kgkq .(5.3.5)Доказательство. ПоложимA = kf kp , B = kgkq .Ясно, что если одно из этих чисел равно нулю, то неравенство Гельдераочевидно выполняется. Предположим, что A > 0 и B > 0. Применяя неравенство Юнга (5.3.3) для чиселa=|g(x)||f (x)|, b=,ABполучаем|f (x)g(x)||f (x)|p|g(x)|q≤+.ABpApqB qИнтегрируя это неравенство, имеемkf kppkgkqqkf gk11 1≤+= + = 1.pqABpAqBp qОстается только умножить получившееся соотношение на AB.3. Теперь приступим к доказательству непосредственно самого неравенства Минковского.5.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
