1611689570-2f7bf9f665e22b4e5993a1e15fa840d7 (826871), страница 24
Текст из файла (страница 24)
σp (A) ⊆ R.Далее, по теореме 62 получаемσr (A) = σp (A∗ ) \ σp (A)A=A∗=σp (A) \ σp (A)σp (A)⊆R=σp (A) \ σp (A) = ∅.Поскольку λ ∈ C \ R не является собственным числом (а также точкой остаточного спектра), то оператор (A − λI) обратим. ТогдаIm(y, x) kxk>0 Im(y, x) kykkxk(7.9.1)= ≤,k(A − λI)−1 yk2 = kxk2 = −Im λIm λ |Im λ|откуда следует, что такое λ ∈ ρ(A) и, следовательно, σ(A) ⊆ R.
Переписывая последнее неравенство в терминах резольвенты, получаем kRλ k ≤ 1/|Im λ|для любого λ ∈ C \ R.Осталось доказать ортогональность собственных чисел. Пусть Ax = λx, x 6= 0,Ay = µy, y 6= 0, и λ 6= µ, тогда поскольку одно из этих чисел точно не равнонулю (например, λ) получим(x, y) =11µ(Ax, y) = (x, Ay) = (x, y),λλλоткуда1−µ(x, y) = 0,λчто и требовалось.Пример 37. Пусть H = L2 ([0, 1]). Покажем, что спектр оператора координаты (будем обозначать его x̂)x̂f (x) = xf (x), f ∈ L2 ([0, 1])7.9. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ161состоит только из непрерывной части и равен отрезку [0, 1], т.е.σ(x̂) = σc (x̂) = [0, 1].Нетрудно проверить, что x̂ самосопряжен:1ZZ1f (x)xg(x) dx = (f, x̂g).xf (x)ḡ(x) dx =(x̂f, g) =00Следовательно, по теореме 63 остаточный спектр пуст.
Исследуем точечныйспектр. Решим уравнениеx̂f (x) = λf (x).Ясно, что это уравнение имеет лишь нулевое решение f = 0 для любого λ ∈ R. Таким образом, σp (x̂) = ∅. Пусть λ ∈ [0, 1]. Уравнениеx̂f (x) − λf (x) = I[λ−δ,λ+δ]∩[0,1]не разрешимо в L2 ([0, 1]), поскольку для его решения имеемkf k2 =Z011I[λ−δ,λ+δ]∩[0,1] dx ≤(x − λ)2Zλ+δλ−δdx= +∞.(x − λ)2Это означает, что все λ ∈ [0, 1] не являются регулярными значениями, и,следовательно, могут принадлежать, лишь непрерывному спектру оператора x̂. Все остальные λ являются регулярными значениями, поскольку2Zkf k =01|g|21dx ≤kgk2 < ∞.2|x − λ|inf x∈[0,1] |x − λ|27.9.2. Теорема о норме.Определение 88.
Пусть A ∈ B(H). Числоr(A) = sup |λ|λ∈σ(A)называется спектральным радиусом оператора A.Из леммы 4 нам известно, что r(A) ≤ kAk. Оказывается, что для самосопряженных операторов это неравенство становится равенством. Преждечем четко сформулировать и доказать это утверждение, запишем формулуБёрлинга–Гельфанда для спектрального радиуса произвольного ограниченного линейного оператора A:ppr(A) = inf n kAn k = lim n kAn k.(7.9.2)n≥1n→∞Доказательство этой формулы можно посмотреть, например, в [6, c.
215].162ГЛАВА 7. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫТеорема 64. Пусть A ∈ B(H) — самосопряженный оператор, тогдаr(A) = kAk = sup |(Ax, x)|.(7.9.3)kxk≤1Доказательство теоремы 64. Как видно нужно доказать два равенства.Начнем со второго. Положим µ = supkxk≤1 |(Ax, x)|. Ясно, что µ ≤ kAk. Следовательно, остается показать обратное неравенство. Нетрудно проверить,используя самосопряженность A, что для любых x, y ∈ H(A(x + y), x + y) − (A(x − y), x − y) = 4Re (Ax, y).Тогда,4Re (Ax, y) ≤ |(A(x + y), x + y)| + |(A(x − y), x − y)| ≤≤ µ(kx + yk2 + kx − yk2 )Полагая Ax 6= 0 и y =kxkkAxk Ax,(5.4.3)=2µ(kxk2 + kyk2 ).из последнего неравенства получимkAxk ≤ µkxk,откуда следует, что kAk ≤ µ.Для доказательства первого равенства сначала отметим, что kA2 k = kAk2 .Действительно,kA2 k = sup |(A2 x, x)| = sup |(Ax, Ax)| = kAk2 .kxk≤1kxk≤1kkДалее по индукции, заключаем, что kA2 k = kAk2 .
Тогда применяя формулу (7.9.2), получаемqqpkkr(A) = lim n kAn k = lim 2 kA2k k = lim 2 kAk2k = kAk.n→∞k→∞k→∞7.9.3. Теорема об инвариантных подпространствах.Определение 89. Подпространство E гильбертового пространства H называется инвариантным подпространством оператора A ∈ B(H), если AE ⊆ E.Теорема 65. Пусть E ⊆ H — инвариантное подпространство самосопряженного оператора A ∈ B(H). Тогда его ортогональное дополнение E ⊥также инвариантно относительно A.Доказательство теоремы 65.
Нужно доказать, что для всех x ∈ E ⊥ следует, что Ax ∈ E ⊥ , т.е. (Ax, y) = 0 для всех y ∈ E. Это вытекает из цепочкиравенствA=A∗(Ax, y) = (x, A∗ y) = (x, Ay) = 0.Последнее равенство верно, поскольку x ∈ E ⊥ , a Ay ∈ E.7.10. КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ7.10163Компактные операторы7.10.1. Напомним определение компактного множества.Определение 90. Множество E ⊂ H называется компактным, если излюбого его открытого покрытия можно извлечь конечное подпокрытие. Эквивалентно: для любой последовательности {xn }n∈N ⊂ E найдется сходящаяся подпоследовательность {xnk }k∈N ⊂ E. Множество называется предкомпактным, или относительно компактным, если его замыкание компактно.Центральным в этом параграфе является понятие компактного оператора.Определение 91.
Пусть H1 и H2 — гильбертовы пространства. ОператорA ∈ L(H1 , H2 ) называется компактным, если он всякое ограниченное в H1подмножество переводит в относительно компактное подмножество в H2 .Эквивалентно: для любой ограниченной последовательности {xn }n∈N ⊂ H1найдется сходящаяся подпоследовательность {Axnk }k∈N ⊂ H2 . Множествовсех компактных операторов A ∈ L(H1 , H2 ) обозначается как K(H1 , H2 ).7.10.2.
Простейшие свойства компактных операторов.1◦ . Каждый компактный оператор является ограниченным, т.е.K(H1 , H2 ) ⊂ B(H1 , H2 ).Доказательство. Пусть A — компактный оператор. Нужно показать, чтодля любого ограниченного множества E ⊂ H1 его образ AE будет ограниченным в H2 . Предположим, что найдется ограниченное множество Eтакое, что AE неограничено, т.е.sup kAxk = ∞.x∈EТогда найдется (ограниченная) последовательность {xn }n∈N ⊂ E такая, чтоlim kAxn k = ∞.n→∞C другой стороны, ввиду компактности оператора A, найдется подпоследовательность {xnk }k∈N такая, что Axnk сходится при k → ∞.
Следовательно,lim kAxnk k < ∞.k→∞Противоречие.2◦ . Пусть A ∈ K(H1 , H2 ), B ∈ B(H2 , H3 ) и C ∈ B(H3 , H1 ), тогдаAC ∈ K(H3 , H1 ), BA ∈ K(H1 , H3 ),т.е. умножение компактного оператора справа или слева на ограниченныйоператор дает снова компактный оператор.164ГЛАВА 7. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫДоказательство. Возьмем ограниченную последовательность {xn }n∈N ⊂ H3 ,т.е.sup kxn k < ∞.n∈NПоскольку C — ограниченный оператор, то {Cxn }n∈N ⊂ H1 — также ограниченная последовательность:sup kCxn k < kCk sup kxn k < ∞.n∈Nn∈NВвиду компактности оператора A найдется подпоследовательность {Cxnk }k∈Nтакая, что A(Cxnk ) = (AC)xnk сходится при k → ∞. Что и означает компактность оператора AC.Рассмотрим теперь ограниченную последовательность {yn }n∈N ⊂ H1 .
Ввиду компактности оператора A найдется подпоследовательность {ynk }k∈Nтакая, что Aynk сходится при k → ∞. Из-за ограниченности оператора B,следовательно, сходится и B(Aynk ) = (BA)ynk . Это в точности означает, чтоBA компактен.7.10.3. Примеры компактных операторов.Определение 92.
Оператор A ∈ B(H1 , H2 ) называется оператором конечного ранга, если его образ конечномерен, т.е. dim im A < ∞.1). Операторы конечного ранга являются компактными операторами.Доказательство. По классическому критерию в конечномерном пространстве множество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. Следовательно, ограниченность и относительная компактность вконечномерном пространстве эквивалентна. Поскольку оператор конечногоранга ограничен, то он переводит ограниченное множество в ограниченноемножество (в конечномерном образе оператора), что, как мы уже отметили,влечет относительную компактность.
Что и требовалось доказать.2). Тождественный оператор I ∈ B(H) компактен тогда и только тогда,когда пространство H конечномерно.Доказательство. Если dim H < ∞, то I является оператором конечногоранга, и по предыдущему примеру — является компактным оператором. Если же H бесконечномерно, то найдется счетная ортонормированная система{en }n∈N ⊂ H.
В частности, это ограниченная последовательность: ken k = 1.Если бы I был компактным оператором, то нашлась бы подпоследовательность {enk }k∈N такая, что Ienk = enk сходится при k → ∞. Но такого неможет быть, поскольку enk не фундаментальна:kenk − enm k2 = 2.7.10. КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ1657.10.4.
Замкнутость множества компактных операторов. Следующая теорема является важным инструментом построения компактныхоператоров.Теорема 66. Множество компактных операторов K(H1 , H2 ) замкнуто внормированном пространстве B(H1 , H2 ) ограниченных операторов. Другими словами, если An — сходящаяся (в операторной норме) последовательность компактных операторов, то ее предел A является компактнымоператором.Доказательство теоремы 66.
Зафиксируем ограниченную последовательность {xn }n∈N ⊂ H1 . Поскольку оператор A1 компактен, то существует подпоследовательность {xn1k }k∈N последовательности {xn }n∈N такая, что A1 xn1kсходится при k → ∞. Далее, поскольку оператор A2 компактен, то из последовательности {xn1k }k∈N можно выделить подпоследовательность {xn2k }k∈Nтакую, что A2 xn2k сходится при k → ∞. Продолжая этот процесс, мы получим систему последовательностей {xnm}k,m∈N ⊂ H1 обладающих свойстваkми:1) для каждого m ∈ N последовательность {xnm+1 }k∈N является подпослеkдовательностью {xnm}k∈N ;k2) для каждого m ∈ N последовательность Am xnmсходится при k → ∞.kРассмотрим новую подпоследовательность {yk }k∈N последовательности{xn }n∈N :yk = xnkk , k ∈ N.Ясно, что для каждого m ∈ N последовательность {yk }k≥m является подпоследовательностью {xnm}k≥m , и поэтому последовательность Am yk схоkдится при k → ∞.
Обозначим ее предел как zm , m ∈ N.Покажем, что последовательность {zm }m∈N фундаментальна в H2 и,следовательно, сходится. Во первых отметим, что supk∈N kyk k = c0 < ∞.Во вторых, поскольку последовательность операторов Am сходится, то онафундаментальна, т.е. для любого ε > 0 найдется номер m0 = m0 (ε) ∈ N такой, что для всех m1 , m2 ≥ m0kAm1 − Am2 k <ε.3c0Далее, найдется такой номер k0 = k0 (m1 , m2 , ε) ∈ N такой, что для всехk ≥ k0εεkAm1 yk − zm1 k < , kAm2 yk − zm2 k < .33Соединяя эти выкладки, получаем для любых m1 , m2 ≥ m0kzm1 − zm2 k ≤ kzm1 − Am1 yk k + kAm1 − Am2 kkyk k + kAm2 yk − zm2 k ≤ε ε ε≤ + + = ε.3 3 3Здесь мы выбирали k ≥ k0 (m1 , m2 , ε).166ГЛАВА 7. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫТаким образом, последовательность zm сходится при m → ∞, скажем кz ∈ H2 .
Нам осталось сделать последний шаг: показать, что Ayk сходится кz при k → ∞. Выбирая по ε > 0 номер m достаточно большим, а по ним иномер k достаточно большим, можно сделать нормуkAyk − zk ≤ kAyk − Am yk k + kAm yk − zm k + kzm − zkсколь угодно малой.Используя теорему 66 и единственный (пока) пример компактного оператора (оператор конечного ранга!), решите следующую задачу.Упражнение 29.
Пусть {en }n∈N — ортонормированный базис в гильбертовом пространстве H и последовательность {λn }n∈N ⊂ C, сходящаяся кнулю при n → ∞. Покажите, что операторA=∞Xλn |en >< en |n=1является компактным.7.10.5. Эквивалентное определение компактного оператора. Теорема 66 дает основу для эквивалентного определения компактного оператора, действующего в гильбертовом пространстве.Теорема 67. Пусть H сепарабельное гильбертово пространство. Оператор A ∈ L(H) является компактным тогда и только тогда, когда он является пределом последовательности операторов конечного ранга.Доказательство теоремы 67.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
