1611689570-2f7bf9f665e22b4e5993a1e15fa840d7 (826871), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Тогда самосопряженность этого оператора эквивалентна каждому из условий:1) T замкнут и ker(T ∗ ± iI) = {0};2) im(T ± iI) = H.Существенная самосопряженность T равносильна каждому из условий:3) ker(T ∗ ± iI) = {0};4) im(T ± iI) плотно в H.180ГЛАВА 8. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ СИММЕТРИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫРассмотрим вопрос самосопряженности операторов координаты и импульса.Пример 42 (Оператор координаты). Пусть H = L2 (R), и q̂f (x) = xf (x)для всякой f ∈ Dom q̂ = C0∞ .Найдем q̂ ∗ . Его область определения Dom q̂ ∗ состоит из таких ϕ ∈ H, чтодля всякой f ∈ Dom q̂ верно равенство:Z ∞Z ∞(q̂f, ϕ) =xf (x)ϕ(x) dx =f (x)q̂ ∗ ϕ(x) dx,∞откуда получаемZ∞∞f (x)(xϕ(x) − q̂ ∗ ϕ(x) dx = 0.∞Это равенство означает, что функция xϕ(x) − q̂ ∗ ϕ(x) лежит в (C0∞ )⊥ .
Таккак это ортогональное дополнение состоит только из нуля, то q̂ ∗ ϕ(x) = xϕ(x).И, кроме того, Dom q̂ ∗ = {f (x) ∈ L2 (R) : xf (x) ∈ L2 (R)} . Отсюда мы заключаем, в частности, что q̂ ⊂ q̂ ∗ , т. е. оператор q̂ – симметрический.Используя критерий существенной самосопряженности, покажем, чтоq̂ существенно самосопряжен.
Для этого найдем ядро операторов q̂ ∗ ± iI.Ищем f± ∈ Dom q̂ ∗ такие, что xf± (x) ± if± (x) = 0. Откуда очевидно получаем, что f± = 0.Другой способ показать, что q̂ существенно самосопряженный, — это,опять же опираясь на критерий, показать, что q̂ ∗ самосопряженный. Дляэтого нужно для всякой g ∈ L2 (R) найти функции f± ∈ Dom q̂ ∗ такие, чтоxf± (x) ± if (x) = g(x).∗Нетрудно видеть, что f± (x) = g(x)x±i действительно лежит в Dom q̂ .Ну и третьим подходом просто определим второй сопряженный оператор q̂ ∗∗ (напомним, что он определен, так как область определения Dom q̂ ∗всюду плотна).
Для всякой g ∈ Dom q̂ ∗∗ и ϕ ∈ Dom q̂ ∗ должно выполнятьсяравенство:Z ∞(q̂ ∗ ϕ, g) − (ϕ, q̂ ∗∗ g) =ϕ(x)(xg(x) − q̂ ∗∗ g(x) dx = 0.∞Как и в предыдущем случае, это равенство означает, что функция xg(x) −q̂ ∗∗ g(x) лежит в (Dom q̂ ∗ )⊥ . Последнее равно нулю, так как0 = (C0∞ )⊥ = (Dom q̂)⊥ ⊃ (Dom q̂ ∗ )⊥ .Таким образом, получаем, что q̂ ∗∗ g(x) = xg(x) = q̂ ∗ g(x) для всякойg ∈ Dom q̂ ∗∗ = {g(x) ∈ L2 (R) : xg(x) ∈ L2 (R)} = Dom q̂ ∗ .В итоге, тремя способами мы показали, что q̂ – существенно самосопряженный оператор ввиду того, что q̂ ⊂ q̂ ∗∗ = q̂ ∗ .
Заметим, что операторq̂ остался бы существенно самосопряженным, если бы мы увеличили егообласть определения до C0k , k ∈ N.8.4. СИММЕТРИЧЕСКИЕ И САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ181dПример 43 (Оператор импульса). Пусть H = L2 (R), и p̂f (x) = i dxf (x)∞для всякой f ∈ Dom p̂ = C0 .Заметим, что всякую функцию ϕ ∈ L2 (R) ⊂ L1,loc (R) можно рассматривать как регулярное распределение, которое как известно можно обобщенно дифференцировать. Используя это замечание, найдем p̂∗ и его областьопределения, состоящую из таких функций ϕ ∈ H, что для всякой f ∈ Dom p̂выполняется равенство:Z∞(p̂f, ϕ) =if 0 (x)ϕ dx = hiϕ, f 0 i = h−iDϕ, f i =∞= hiDϕ, f i = hp̂∗ ϕ, f i =Z∞f (x)p̂∗ ϕ dx.∞где Dϕ(x) – обобщенная производная функции ϕ(x).
Откуда заключаем,что функция iDϕ(x) − p̂∗ ϕ(x) = 0Таким образом, получаем, что p̂∗ ϕ(x) = iDϕ(x) для всякой ϕ(x) ∈ L2 (R),у которой обобщенная производная Dϕ(x) также из L2 (R). Такое множествофункций образует пространство Соболева W21 (R) (если, конечно, ввести дополнительную структуру). Так какC0∞ = Dom p̂ ⊂ Dom p̂∗ = W21 (R)и для всякой f ∈ C0∞ производные совпадают:f 0 (x) = Df (x), то операторимпульса p̂ – симметрический.Покажем теперь, что он существенно самосопряжен, для этого воспользуемся критерием.
Выясним, из чего состоит ядро ker(p̂∗ ± iI).Имеем(p̂∗ ± iI)f = iDf (x) ± if (x) = 0,т. е. нужно решить дифференциальное уравнение в обобщенных функциях:Df (x) = ±f (x).Ясно, что классическое решение такого дифференциального уравнения естьфункция f0± (x) = ce±x . Покажем, что решение в обобщенных функцияхточно такое же. Действительно, пусть f± (x) – решение уравнения, тогдарассмотрим обобщенную функцию g± (x) = e∓x f± (x) (ясно, что эта обобщенная функция определена, так как e∓x ∈ C ∞ (R)) и покажем, что Dg± (x) =0:hDg± , ϕi = −hg± , ϕ0 i = −he∓x f± (x), ϕ0 i = −hf± (x), e∓x ϕ0 i= −hf± (x), (e∓x ϕ)0 ± e∓x i = −hf± (x), (e∓x ϕ)0 i∓ hf± (x), e∓x i = hDf± (x), e∓x ϕi ∓ hf± (x), e∓x i= ±hf± (x), e∓x ϕi ∓ hf± (x), e∓x i = 0.Нам уже известно, что g± есть постоянное регулярное распределение(обобщенная функция).
Таким образом, f± (x) = f0± (x).182ГЛАВА 8. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ СИММЕТРИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫНам нужно, чтобы это решение лежало в L2 (R), но это возможно толькопри c = 0. Следовательно, мы показали, что ker(T ∗ ± iI) = {0} и T –существенно самосопряженный оператор.Глава 9Интегральные уравненияПочему изучаются интегральные операторы? Традиционным ответом является такой: интегральные уравнения имеют важные приложения запределами математики (и непосредственно сами и через дифференциальные уравнения), а также такой: с точки зрения чистой математики ониявляются непосредственным аналитическим обобщением понятий и методов классической алгебраической теории и линейных уравненийП.
Халмош, В.Сандер9.1Интегральные уравнения Фредгольма и ВольтерраЛекции по этой теме полностью соответствуют пособию [AK93].183184ГЛАВА 9. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯОглавление1 Ряды Фурье1.1 Разложение периодической функции в ряд Фурье . . .1.2 Функции с произвольным периодом . . . . . . . . . . .1.3 Разложение на интервале . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4 Комплексная форма ряда Фурье .
. . . . . . . . . . . .1.5 Теорема о представимости рядом Фурье . . . . . . . . .1.6 Дифференцирование ряда Фурье . . . . . . . . . . . . .1.7 Приближение тригонометрическими многочленами . .1.8 Равномерная сходимость ряда Фурье . . . . . . . . . . .1.9 Равенство Ляпунова . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .1.10 Скорость сходимости ряда Фурье . . . . . . . . . . . . .1.11 Явление Гиббса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.12 Решение задачи Дирихле в круге . . . . . . . . . . . . .1.13 Суммирование рядов Фурье по методу Чезаро–Фейера1.14 Теоремы Вейерштрасса .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................346710121819212224252831322 Преобразование Фурье2.1 Интеграл Фурье как предельная форма ряда Фурье2.2 Теорема о представимости интегралом Фурье . . . .2.3 Интеграл Фурье на полупрямой . . . . . . . . . . . .2.4 Интеграл Фурье в комплексной форме . . . . .
. . .2.5 Быстроубывающие функции . . . . . . . . . . . . . .2.6 Преобразование Фурье в S(Rn ) . . . . . . . . . . . .2.7 Свертка функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.8 Равенство Парсеваля . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.9 Формула Пуассона . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .2.10 Теорема Котельникова–Шеннона . . . . . . . . . . .2.11 Решение уравнения теплопроводности . . . . . . . .2.12 Понятие о дискретном преобразовании Фурье . . .................................................37373840414447515354565657........................3 Преобразование Лапласа593.1 Оригиналы и изображения . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 593.2 Простейшие свойства преобразования Лапласа . . . . . . . . . 603.3 Аналитичность, формула обращения . . . . . . . . . . . . . . . 62185186ОГЛАВЛЕНИЕ3.43.53.63.7Изображение производных и интегралов . . . . . . . .Дифференцирование и интегрирование изображенийСвертка оригиналов и теорема Бореля . . . . . . . .
.Применение преобразования Лапласа . . . . . . . . .4 Обобщенные функции4.1 Основные и обобщенные функции . . .4.2 Сходимость обобщенных функций . . .4.3 Операции с обобщенными функциями .4.4 Свертка обобщенных функций . . . . .4.5 Фундаментальное решение . . . . . . .
.4.6 Обобщенные функции медленного роста....................62646566..................................................................696972747880855 Пространства со скалярным произведением5.1 Векторное пространство . . . . . . . . . . . .5.2 Нормированное пространство . . . . . . . . .5.3 Лебеговские функциональные пространства .5.4 Скалярное произведение и его свойства . .
.5.5 Ортогонализация Грама–Шмидта . . . . . . .5.6 Проектирование . . . . . . . . . . . . . . . . .5.7 Ортонормированный базис . . . . . . . . . . .5.8 Изоморфизм гильбертовых пространств . . .................................................................................93939599102104106109114............6 Ортогональные многочлены1176.1 Свойства общих ортогональных многочленов .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
