1611689249-2463c0540415b4d8be5bf8d7c9050a3a (826751), страница 20
Текст из файла (страница 20)
х2 Пример 3. Найдя первый интеграл, решить систему при х > О, х > О х= — х', у = ху — 222, Е1 Перемножая крест-накрест первое и третье уравнения, получаем ат, = = — хх. Отбрасывая сМ, находим отсюда, что хх = С1. Значит, и = хх— первый интеграл. Из третьего уравнения находим х = С11+ С2. Тогда С х = . Подставляя найденные х, 2 во второе уравнение системы, 11+ 2 получаем уравнение для у: у = — 21С11+ С2)2. С11+ С2 Это линейное уравнение первого порядка, общим решением которого яв- ляется у = 1С12+ С2ПСз — С11 — 2С21). з 16. Первые интегралы 189 Пгимкг 4.
Найдя два независимые первые интегралы системы, решить при х > г > О, у > О систему х = хг+зг, у=у(х — ) г = 2хз. Ь Умножая крест-накрест первое н третье уравнения и отбрасывая Ю, получим уравнение 2хзйх = (хг+ хг)112, ;,г, 2 которое можно записать в виде 1( ~ — ) = дз. Отсюда — — з = С1. Значит, х з , 2 и1 = — — г — первый интеграл системы.
Вычтем из первого уравнения третье уравнение и рассмотрим полученное уравнение со вторым уравнением системы. Имеем с )г у = у(х — 2). Перемножая крест-накрест зти два уравнения, сокращая на х — з ~ О и отбрасывая 1й, получаем уй(х — з) = (х — з)ду. Отсюда х — х = Сгу и, х — г значит, иг = — — первый интеграл системы. Можно проверить, что у при х > з > О, у > О первые интегралы и1, иг являются независимыми. Подставляя х — х = Сгу во второе уравнение исходной системы, ног 1 ( х-.=Сгу, лучаем у = Сгу .
Отсюда у(1) = . Из системы 3 21 хг — х~ = С~в С2 2 С2 2 находим з = г, х = Сгу+ г . Подставляя в эти формулы С1 — 2Сгу ' С1 — 2Сгу выражение для у(1), получаем, что С2 з(1)— (Сз — Сг1) (С1 Сз — С1 Сг г — 2С2) ' (г)— С2(С1СЗ вЂ” С1 Сгз — С2) (Сз Сгз) (С1 Сз С1 Сгз — 2Сг) Найдя первый интеграл, решить системы (1 — 17) в указанных областях: 190 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений 6. х =х — ху, у = — х+ ху, (х > О, х+ у > 1) у у=-, (х>0, У>0). х = у — ху, 8.
у = -у+ ху, (у > О, х+ у > 1). х = — у, 9. Уг 10. у = —, (х > О, у ) О, ху < 2). уг у = У21 2=-2~, (у>0, 2>0). у = у~ 2 = х+ уг + 2, (у > 0). Найдя два независимые первые интегралы системы, решить системы (18— 26) в указанных областях: з. ( 5. ( (х+ у)2 у= У 2, (х>0, у>0) (. +У)г .г х= —, У 4. у=х, (х>0, у>0).
х = ху — хг, У=у х = 22 + 2уг, (х > О, у ) О, 2 > 0). х=1+ю, у У2езж 15. х = (1+ 2)2, (у > О, 2 > — 1). х = х(2У + 2), у = хе' + у, 2 = — (2у + з), (х > 0). г х=ху, у=хуг, (х>0, У>0). х — у у= —, (х>у>0). у Х вЂ” У х хг+ уг у= —, (х>0, у>0).
У Х2+ 2' 1 х= —, У у = —, (х > О, у > 0). у х' у = ху — 222 Й = х2, (х ) 0). х = (1 — х)4 1)з 2 = хзе Р, (х ) 1, 2 ) 0). З 16. Первые интегралы г „г 19. У=г, г= — у, (у>г>О). х = х(х+ у), у=-у( +у), г=-г(х — у), (х>0, у>0, г>0). 20. х = х(у — г), у = — у(у+ г) г = г(у+ г), (х > О, у > О, г > О).
21. х = хг у = 2у(у — ') г = -гг, (х > О, у > О, г > 0). 22. х = ху, х = хг, 23. 24. У=х+уг, У=-гг, (г>0). 25. 27. С помощью первого интеграла убедиться в том, что положение равновесия (О, 0) является центром для систем б) х = х~у+ у~, у = — ху — х Ответы к задачам 3 16 «22«««. С (««-С ), у = «22«««- С «««- С ~ + 1 1+С, С~(Сг — 2С~1) ~«у = (Сг — 2С~1) 1. х= 3. х = С~Сгес«с у Сгес«~ х=х у — х, 2 у= ху З=г, (х>0, у>0, г>0). у=у г = хе " + г, (у > 0).
х = х — Зх'г', У =Зх угг, г=г, (х>0, у>0, г>0), а) <х = — у — хуг, у=х+ху, х =хг у = 2хз — ху — г 4 ( >О) — с,з 1 с,с е '+ —, у=Сге'+ —. С2С, С,' С,' С вЂ” 1 С,— 1 (С1 — 1)Сге1Сз ')'+ 1 (С1 — 1)Сге1Сз ')'+ 1 У = С1— 6. Хее С вЂ” 1 С вЂ” 1 (С1 — 1)Сге11 Сз)з + 1 (С1 — 1)Сге0 Сз)1+ 1 21 21 8. Хее 1+Сг ' 1+Сг +Сг, У=С1 2+Сг. 2 ЕС,=,.С.Е, з = —.-'СС,,-С.. Сг с, /С вЂ” 2С,Е з = С вЂ” 2 1 1 1 У= 2= 1+ С1(С, — 1) С, — 1' 1 — Сг+ Сз(1 — Сг)' 1 — (С11+ Сг) + Сз, У = С11+ Сг, ЗС1 С11+ Сг у = (С11+ Сг)(Сз — Сззез — 2С21), з = С11+ Сг.
С1 1е+ 2 10. х= 12. х= 13. х= 2С1(С2 — С11)2 С1(1+ 1) — Сг (С )' 2С С (С вЂ” 1) — 1' С вЂ” С 1 з 15. х = 1+ С1(С2 — ЗС~11) з, у = — — 1н(С2 — ЗС1~1), 1 х = С1е — 12Сз — Сзе'-1-Сзе ') у = С2ез С1 2 = 2С1 С2е + Сзе 17. х = С1Сге' — Сггег', у = С2е', 2 = (С21+ Сз)е'. С2 — с — сз — -'ге -с,— — ге с с е сз, у = е сз ', з = Сзе . Сз 1 — (С1 — С2 — з|и2(1+ Сз)], У = ззеС1 зш(1+ Сз), 2 ~/С1 соз (1+ Сз). 192 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений 19З З 16.
Первые интегралы ~Щей ~/С~ (Сз — 1), у = ~(С~ Ч6 ъ/С~ (Сз — З), ип 2 ~/С~ (Сз — 1). Сз 2~/С~ — яп2~/Сз(Сз — г), у = ~/С~ ф6~(С~(Сз — З), С2 2~/Сз ~/С з с'в ~ГГз(Сз ~)' 21. х= 1 1 (Сз — 21)[Сг — 1п (Сз — 21)) ~(Гз — 2г С~е~", у = Сзе, з = Сзе — Сз. 1 С~ СзЗ+ Сз у = — (С~з+ СзНС~З+ Сг + Сз) 1 С~з+ Сз 24. х= 25.
х= 26. х= +Сз зс' 1+С (С +Сзез~)' 1 1 Сз 1 с — ' С(С ) С+(с — )' с — з (с — ) Глава 5 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА й 17. Линейные однородные уравнения Пусть й — непустая область пространства зтз. Линейное однородное урав- нение в частных производных первого порядка в области й имеет вид ди д ди а1(х, у, г) — + аг(х,у, х) — + аз(х, у, з) — = О. (1) дх ' ' ду ' ' дх В уравнении (1) коэффициенты а1(х, у, г), аз(х, у, з) и аз(х, у, з) заданные непрерывно дифференцируемые функции в области й, а и = и(х, у, х) — искомая непрерывно дифференцируемая в 11 функция.
Автономная система уравнений хЯ = а1(х, у, з), у(~) = з(,у, ), х(1) = аз(х,у,з) (2) и(х, у, х) = г'[и1(х, у, г), из (х, у, г)], где г [им из] — произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Если Я обозначает заданную уравнением д(х, у, г) = О гладкую поверхность в области й и у(х, у, х) — заданная на Я гладкая функция, то задача нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному усло- вию иЬ=Их у ) называется характеристической системой для уравнения (1). Чтобы ре- шить уравнение (1), необходимо сначала найти два независимых первых интеграла характеристической системы (2) и1(х,у,х), из(х,у,х).
Общим решением уравнения (1) называется 3 17. Линейные однородные уравнения называется задачей Коши для уравнения (1). Чтобы решить задачу Коши (1), (3), необходимо из системы уравнений д(х,у,х) = О, и1(х,у,х) = См иг(х, у, х) = Сг выразить х, у, х через иы иг и подставить найденные выражения для х, у, х в начальную функцию р(х, у, х).
В найденное таким образом выражение вида Ф(имиг) подставляем и1(х,у,г) и иг(х,у,х). Тогда функция и = Ф[и1(х, у, х), иг(х, у, х)] является искомым решением задачи Коши (1), (3). Пгимкг 1. При х > О, х > О найти общее решение уравнения гди г гди г з ди Зхух — + Зу х — — (2х +ух ) — = О дх ду дю и решить для этого уравнения задачу Коши с начальным условием и = 1 = х + хх при у = —. х Ь Найдем независимые первые интегралы характеристической системы для заданного уравнения х(г) = Зхух, уИ) = Зу' ' г(1) = — (2хг + ухз) Перемножив крест-накрест первых два уравнения этой системы, имеем Зу з х(1) = Зхух у(1) Сократив на Зухг и отбросив Ж, получаем унх = хну.
Отсюда у = С1 х и, значит, и, = — — первый интеграл. у х Подставив найденное значение у = С1х в первое и третье уравнения характеристической системы, имеем < х = ЗС1хгхг, х = — (2хг+ С ххз) 196 Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных Перемножая крест-накрест эти уравнения, сокращая на х и отбрасывая й, получаем — (2х + С1 г~)йх = ЗС1хх~(Ь. Полагая С333 = 1, отсюда для ~ находим линейное уравнение первого порядка ~й — = — — — 2, Нх х общим решением которого служит ~ = — — х. Подставляя С13 вместо ~ С2 3 и — вместо Сы находим еще один первын интеграл и2 = х + уг . у 2 3 х Общим решением заданного уравнения является и=У( —,х +ух), где Р(им и2) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
Чтобы решить задачу Коши, рассматриваем систему уравнений 1 у= у и1 = —, х' иг = х + ух . Из этой системы уравнений находим, что 3 В2 х +хе и1 Следовательно, решением задачи Коши является .3 ц = — (х + ува) = — + хз". у у Пгимьг 2. При х ( О, х ) О найти общее решение уравнения ди 3 2 дц 3 ху — + (2х у+ у ) — — (х+ 2х г+ ув) — = О дх ду д. 197 З 17. Линейные однородные уравнения и решить для этого уравнения задачу Коши с начальным условием и =— у х при 2х + ух = О. Ь Составляем характеристическую систему х(г) = ху, у(1) = 2х у+ у, х(~) = — (х+ 2х~х+ ух). Перемножая крест-накрест первые два уравнения системы, сокращая на у и отбрасывая Ж, получаем для у линейное уравнение первого порядка хну = (2ха + у)с~х, общим решением которого является у = С~х + хз. Значит, первым интегралом является и1 = — — х .
У г х 1 Умножая первое уравнение характеристической системы на —, второе у уравнение на — и складывая полученные выражения с третьим уравнением, находим, ~то х — + — у+в=О. у у Отбрасывая сИ, отсюда Нх+ Ыу+ У~Ь = О или Нх+ с1(ух) = О. Следовательно, х+ух = Сг, значит, иг = х+ух — первый интеграл характеристической системы. Общим решением заданного уравнения является и=Р~ — — х,х+ух), ~У г х где Г(иы иг) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Для решения задачи Коши составляем систему уравнений 2х + ух = О, у и1 = — — х, х иг = х+ ух. Из этой системы находим, что У г — = и1+иг х 198 Глава 5.
Дифференциальные уравнения в частных производных Следовательно, решением задачи Коши является и = — — х + (х+ уз) = — + 2хух+ у х . У г у г г х х Найти общее решение уравнения и решить задачу Коши с указанным на- чальным условием (1 — 100): ди 1 ди 4 г ди 2х — хг 1. х — — — у — +(х+х у ) — =О,и= при ху = — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
