1611689249-2463c0540415b4d8be5bf8d7c9050a3a (826751), страница 16
Текст из файла (страница 16)
2 3 5 с -с 1 зс -зс 229. х = — в1сс+ — вЬЗс — — в1п2с, у = — (3е — е ) — — (5е — е )— 20 156 65 ' 40 312 2 — — Зс 1 гс — — (сов 2с+ сйп 2с), в = — е — —,е — — е + — (7 вш 2с — 9 сов 2с). 65 15 65 60 260 9 12. Линейные системы уравнений с переменными коэффициентами По заданной фундаментальной матрице Ф(х) линейной однородной системы у'(х) = А(х)у(х) с непрерывной на промежутке 1 и квадратной порядка и матрицсй А(х) всегда можно однозначно определить матрицу А(х), т.
е. построить линейную однородную систему. ПРИМЕР 1. По заданной фундаментальной матрице сов х вшх Ф(х) =, составить линейную однородную систему. — вшх совх ) Ь Неизвестная матрица А(х) находится из условия, что Ф(х) — решение матричного уравнения 1'(х) = А(х)У(х). Отсюда А(х) = Ф'(х) Ф '(х) = ( О 1'1 . Искомая система имеет вид о( / / Уг=Уг Уг=-Уг Формула Лиувилля-Остроградского позволяет по заданному решению линейной однородной системы найти общее решение втой системы. ПРимеР 2. Известно, что вектор-функция — решение системы )1! < Найти общее решение системы.
(1+ хг)уг —— — 2уг + 2хуг. с"с Пусть решением системы является вектор-функция с компонентами ус = сд(х), гуг = ф(х), причем ср(0) = 1, Ф(0) = О. По формуле ЛиувилляОстроградского имеем; сСг(х) х 1 0 с 7+($ е а — 1+х гас(х) 1 0 1 ~ 12. Линейные системы уравнений с переменными коэффициентами 151 Отсюда у(х) — хФ(х) = 1+ х~. Подставляя выражение для у(х) во второе уравнение системы, получаем задачу Коши для Ф(х) ф'(х) = — 2, ф(0) = О. Следовательно, ф(х) = — 2х,~р(х) = 1 — х~.
Тогда общее решение заданной системы имеет вид у = — х у~+угяпх, з Пгимег 3. Может ли система, 4, иметь два огра- ! .4 ч х ниченных на ( — со, +со) линейно независимые решения? Ь Ответ на поставленный вопрос отрицательный, поскольку допустив противное, получаем, что определитель Вронского этих решений является ограниченной на ( — оо, +со) функцией и отличен от нуля. С другой стороны первообразная следа матрицы системы 4 ( — х +е )Йх= — — +е — 1 х 4 о является неограниченной на ( — оо, +со) функцией. Это противоречит формуле Лиувилля-Остроградского. А 1.
Пусть задана линейная система у'(х) = ~р(х)Ау(х), где у(х) — непрерывная на промежутке Х функция и А — числовая квадратная матрица порядка и. Доказать, что замена 1 = ) р(~)й~ дает линейную систему у'(1) = Ау(1). 2. Пусть Ф(х) — фундаментальная матрица линейной системы г'(х) = В(х)х(х), где В(х) — квадратная порядка и и непрерывная на промежутке 1 матрица. Показать, что замена у(х) = Ф(х)х(х) в линейной системе у'(х) = А(х)у(х) с квадратной порядка н и непрерывной на 1 матрицей А(х) дает линейную систему вида я'(х) = Ф ~ (х) [А(х) — В(х)) Ф (х) г(х) . Глава 3.
Линейные системы дифференциальных уравнений 152 В задачах (3 — 9) исследовать линейную зависимость вектор-функций на ( — оо, +оо): 3. ( ),( ). 4.(),( ). 5е*( ), *( ). 1 ейп х союз х е" яЬх сйх 6. О, в)п 2х, — вш 2х 7. е', сЬх, вЬх 0 2 соа 2х — 2 соя 2х е" айх сЬх В задачах (10 — 18) по заданной фундаментальной матрице Ф(х) найти матрицу А(х) линейной однородной системы у'(х) = А(х)у(х). 11. Ф(х) = 10.
Ф(х) = 13. Ф(х) = 12. Ф(х) = 1е совх — вшх1 1 сЬх айх ~ ехвшх соах ) ~ вЬх сЬх 16. Ф(х) =, х ) О. 17. Ф(х) =,, х ) О. х х /* 11 2х ~' ~хз 2х(' 18. Ф(х) = В задачах (19 — 23) по заданному решению у(х) линейной однородной си- стемы найти фундаментальную матрицу Ф(х) этой системы: 19.
у(х) = г 1 8. 1 1 д ,.2 2 хв хз~х~ 9. хз ., х~х(, 1 х /х! 0 ,з у, = (2х у~ — 2хуз), 1 ьх4 уз —— (2ху1+ 2х уз). з 4 3 12. Линейные системы уравнений с переменными коэффициентами 153 1 ( у~+ут) 1+ хв 1 1+ х~ ( — у1 -ь ху2). у1 = — (2х + 1) у1 + 2ут, у! = ( — 2хх — 2х + 1)уо + (2х + 1)у..
у~~ — — (1 — 2х) у~ — 2уо, у(~ = (2х' — 2х — 1)у~ + (2х — 1)уз. у~ = 20. у(х) = / ув = ех 21. у(х) = ) ех(1+ х)/ 22. у(х) = ( — Йпх ~ ( у~ — — у~ совках+ (япхсовх — 1)у2, 23. у(х) = 2. сов х ) ' '~ уо = (в(их сов х + 1)у~ + уг вш х. 24. Пусть квадратная порядка и матрица А(х) непрерывна на проме.кутке 1 и при всех х е 1 перестановочна со своей первообразной, х х т. е.
А(х) )' А(~)д( = ) А(~)ов, . А(х), где хе е 1. Доказать, что хо хо тогда фундаментальной матрнцей Ф(х) линейной однородной системы у'(х) = А(х)у(х) является матрица / А(Онс Ф(х)=е о 25. Пусть квадратная порядка и и непрерывная на промежутке 1 матрица А(х) = Н1(х)Н ~, где,1(х) — жорданова и непрерывна на 1 матрица, а Н вЂ” числовая певырождепная порядка и матрица. Доказать, что матрица А(х) перестановочна со своей первообразной на промежутке 1 и что на 1 фундаментальной матрицей системы у'(х) = А(х)у(х) является матрица 1 ~(сйс Ф(х) = Не*а Н, хо Е 1. у ( = (2х — 1)уо + уа, у2 = -у~ + (2 + 1)ут 27.
у', = — (1+ 2х)у~ + уо, Уз — — — 10 + (1 — 2х)Ув. Используя результат предыдущей задачи, в задачах (26 — 37) найти фун- даментальные матрицы Ф(х) линейных однородных систем, 154 ~ у' = (совх — 2)у1 + 4уг, У~2 — — ( — ЗУ1 + Здг) сов х. < У1~ — — (2х + 1) у1 + уг, у~~ — — — у1+ (2х — 1)уг. 28. У~1 = — (2 + зш х) У1 + 4уг, У2 У1 У2 8П1 Х у' = (2+соох)У1+уг, дг — — - У1 + (сов х — 1) уг. 30. у ', = У18шх — уг сов х, Уг = — У1 сов х+ угзшх. 2 | | ~~ ~ ~ ~ ~ с ~ 1 у', = (1 — 81пх)у1 + уг 92 У1 (1+ 8'пх)уг. 32. У1 = У181пх+ угсоох, Уг — У1 сов х + уг 8ш х. с У1 = У1 совх — У281пх, У2 У1$1пх+У2совх.
34. у', = -2ху2, уг = — 2ху1. У1 Зх г дг = Зх У1. 2 36. 40. 1 —,~ аяг ° Ю 1=1 1 1пп — 1п ! с(еС Ф (х) ) 2-~8- т, Ответы к задачам 3 12 4. Линейно зависимы. 6. Линейно зависимы. Линейно независимы. Линейно независимы. Линейно зависимы. Линейно независимы. 38 39 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений М~~ет ли система у, = +(1+х) „, у 1 ~ ~ 4 У1 з 1+ хг два ограниченных на ( — оо, 0) линейно независимые решения? У1 Может ли система у1 = — хуг, уг — — у1 88х + Зуг иметь два х2 ограниченных на ( — 1, 1) линейно независимые решения? Пусть Ф(х) — фундаментальная матрица линейной системы у'(х) = А(х)у(х), где А(х) — квадратная порядка п матрица с непрерывными на ( — со, +со) злементами аг (х), причем а; (х+и) = а; (х), ю ( а0(х)ах = ац, 1, У = 1, г1, ю ) О. Доказать, что о 8.
Линейно независимы. 1+хг 1 х в 12. Линейные системы уравнений с переменными коэффициентами 155 1 +х4 2х 2хв 1 1 1 0'( (' сов~ х в)п х сов х — 1 ) 1 — х 2/ ~ япх сов х + 1 япв х - < ) - <-.—. —:.) - <-: —;-') - <; — —.) 19.. 20. 21. 22.
е*(1+х) хе */ ) е *(1 — х) — хе* .2 1 х х 27. е * . 28. е* 29. е""х е(сох х — 1) — х 1+ 2х/ — х 1+2х/ )х+1 х /х+1 — х 1 — х) ~ — х 1 — х сЬ (яп х) — вЬ (яп х) 33 е сов х — вЬ (япх) сЬ (япх) сЬ (1 — сов х) — вЬ (1 — сов х) 34. е""* — вЬ (1 — сов х) сЬ (1 — сов х) сЬ (япх) вЬ (япх) 35. е вЬ (яп х) сЬ (в|п х) 36. Не может. 38. 39. Не может, Глава 4 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ й 13.
Поведение фазовых траекторий в окрестности грубых положений равновесия Для автономной системы второго порядка х = 11(х,у), у =.('е(х,у), с непрерывно дифференцируемыми (~(х, у), (з(х,у) в некоторой области С с В~ положение равновесия (амат) называется грубым положением 1*,в) равновесия, если матрица линеаризованной в точке (ам аз) системы имеет такие собственные значения Лы Лг, для которых Л1 ~ Лг и ВеЛ1 ~ О, В.еЛ ~ О. В окрестности грубого положения равновесия автономной системы поведение фазовых траекторий качественно одинаково с поведением фазовых траекторий линеаризованной в этой точке системы.
ПРИМЕР 1. Найти положения равновесия, определить их характер и нарисовать фазовые траектории линеаризованпых систем в окрестности положений равновесия для автономной системы х=х — у у=х +у — 2. с1 Приравнивая правые части системы нулю, находим положения равновесия (1, 1) и (1, — 1). Рассмотрим сначала точку (1, 1). Для дальнейшего удобно ее преобразовать в начало координат. С этой целью сделаем замену переменных з 13.
Траектории в окрестности грубых положений равновесия 157 т — 1 = и, у — 1 = в в заданной системе. Система примет вид < и =и — 2о — и, 2 6 = 2и+ 2е+ из+ оз, для которой точка (О, 0) — положение равновесия. Линеаризованная в точ- ке (О, 0) система имеет вид с и = и — 2с, б = 2и + 2о. Находим собственные значения матрицы этой системы из уравнения 1 — Л вЂ” 2 2 2 — Л =Л вЂ” ЗЛ+6=0. 1 Так как собственные значения Лцз = — (З~г~/Г5), то положение равновесия 2 является неустойчивым фокусом.
Следовательно, кроме положения равновесия (0,0), остальными траекториями являются спирали. Для определения направления движения по спиралям при 1 — > +со достаточно найти вектор фазовой скорости а линеаризованной системы в какой-нибудь точке. Например, в точке (1,0) вектор скорости а имеет координаты (1,2), Следовательно, при 1 -+ +ос движение по спиралям направлено против часовой стрелки. Поведение фазовых траекторий в этом случае схемати- чески показано на следующем рисунке. 158 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений Для другого положения равновесия (1, — 1) замена переменных х — 1 = = и, у + 1 = о дает систему вида б = и+2о — ю~, б = 2н - 2о -~- пв Ч- ов Линеаризация этой системы в точке (0,0) имеет вид и = и+2ю, б = 2и — 2и. Собственные значения матрицы этой системы (2 -2) находим из уравнения 1 — Л 2 =Л +Л вЂ” 6=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
