1611689249-2463c0540415b4d8be5bf8d7c9050a3a (826751), страница 11
Текст из файла (страница 11)
у = 2х — 1пх. 228. у = х1пх. 230. у = хз + 2 — Зе* 227. у = х~. 229. у = х~+ япх. 231. у = хсозх+ япх. 88 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка $ 9. Методы решения линейных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами Для получения общего решения линейного неоднородного уравнения второго порядка с переменными коэффициентами наиболее часто применяется следующий метод. Сначала путем подбора находят какое-нибудь решение соответствующего линейного однородного уравнения н с помощью формулы Лиувилля-Остроградского получают общее решение линейного однородного уравнения.
Затем методом вариации постоянных находят общее решение заданного линейного неоднородного уравнения. Пгимкг 1. Найти общее решение уравнения ху" — (1+ х)у'+ 2(1 — х)у = 9х~е~*, х ) О. Ь Рассмотрим однородное уравнение ху" — (1+ х)у'+ 2(1 — х)у = О и попробуем найти его решение вида ее*. Подставив е * в это уравнение, находим а = 2. Следовательно, ег — решение. Запишем формулу Лиувилля-Остроградского для однородного уравнения: ег" у = Се 1 * = Схе*.
2ег* у' Отсюда ег*у' — 2ег*у = Схе . При делении обеих частей этого уравнения на е4* получаем уравнение (г,) =Схе з* Отсюда находим общее решение однородного уравнения у = С1ег*+ Сг(1+ Зх)е где С1 и Сг — произвольные постоянные. Чтобы найти общее решение заданного уравнения, применим метод вариации постоянных. Ищем решение неоднородного уравнения в таком же виде, как общее решение однородного уравнения, но считаем С| и Сг 89 3 9. Линейные уравнения второго порядка не произвольными постоянными, а некоторыми непрерывно дифференцируемымн функциями.
Для их нахождения составляем линейную систему уравнений для С' (х) и С2(х) следующего вида; с С~4(х)е~*+ С2(х)(1+ Зх)е = О, 2С',(х)е2'+ С2(х)(2 — Зх)е * = 9хе2*. Из этой системы находим, что С~ (х) = 1+ Зх, С2(х) = — еэ . Следовательно, С4(х) = А+ х+ — х2, С2(х) =  — -ез*, где А н  — произвольные постоянные. Таким образом, общее решение заданного уравнения имеет вид З / 1 у = е2* А+ х+ -х2 ~ + (1+ Зх)е * ~ — -ез* г З ~З г 13 г.
= Ае2х + В(1+ Зх)е-х + х2 е2х (,2 3) Другим распространенным методом решения линейных уравнений с переменными коэффициентами является метод замены переменных. Пгимнр 2. Найти общее решение уравнения 1 4 л 3 1 2е* 4 +2 3 е* — 1 1 с помощью замены х = — —.
Ь После замены уравнение принимает вид -с е Ун У= е-4 Решая это уравнение методом вариации постоянных, находим, что у(1) = е ~А — -е + — 1п — ) + е (В+ — 1п(1 — е )), с ~ 1 -с 1 е ~ -с ~ 2 2 1 — е ) (, 2 1 где А и  — произвольные постоянные. Полагая г = — —, после приведения х подобных членов отсюда получаем общее решение заданного уравнения 1 1 /13 У=Ае *+Ве — — — — е *+зЬ~-)1п~1 — е *). 2 2х х Найти общее решение уравнений (1 — 66): 8 9. Линейные уравнения второго порядка 24.
хв(х — 1)у" + 2ху' — 2у = х~е~. 25. ху" + (2 — 2х)у' + (х — 2)у = е~~, х > О. 2 (1 2) в 1 2 ! (1 ) (1 с )е х + 1 2 27. х(х + 1)у" + 2у' — у = (х + 1) е~*, х > О. х+ 1' 28. х(Зх + 2) у" + 3 (2 — Зх~) у' — 18(х + 1)у = (Зх + 2)~, * > О. 29. 2х(х + 2)у" + (8 — хв) д' — (х + 4)у = (х + 2)~, х > О. 2 30. х(Зх — 2)у" + 3 (Зхв — 2) у'+ 18(х — 1)у = (Зх — 2)~, * > —.
3 31. (1пх)у — — у + — у = 1п х. и 1 > 1 2 х хв 3 32. 2хд" — (х + 2)у' + у =, х > О. х+2' ЗЗ. ху" — (4х — 2)у'+ 4(х — 1)у = ее*сов х, 34. хву" + х( — 2 + х 18 х) у' + (2 — х 18 х) у = хзе' сов х, О ( х ( —. 2 35. (1 — х)у" + (2 — 4х)у' — 4ху = е в е1пх. 36. (х+ 1)д" + (х — 1)у' — 2у = е *(а+ 1)~. 2 37. (2х — х~) у" + 2у' — — д = (2 — х) хе 38.
(х — 1)~у" — (х~ — 1) у'+ (х+ 1)у = (х — 1)з(Зх — 2)е' . 39. (х + 1)ву" — 2 (тв + Зх + 2) у' + 2(х + 2)у = — 2х(х + 1)~ее"'. 40. х(х+ 1)~у" + 2(х+ 1)у' — 2у = (х+1) Г, х > О. 41. ху" + 2(х + 1)у' + (х + 2)у = 2 сЬ х, х > О. (х 1)гуе 2х(х 1)у + 2хд (х 1)» 1 43. 2ху" + (4х+ 1)у'+ (2х+ 1)у = — е *1пх. 44. 3ху" + (бх + 1) у' + (Зх + 1) у = хее *. 45. хв(1пх — 1)д" — ху'+ у = х(1пх — 1)~. 92 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка 46.
ху" — (4х + 2)у'+ (4х + 4)у = хаев*, х > О. 47. у — Зус18х+ —,— 2 у=2вш х,О<х<я. л ! (,вьп х у 21пх 48. (х 1п х) у" + (1п х + 1) у' — =, х > 1. х1пх х .г 49. (1 + х ) у" + ху' — у = 50. хуун Ь х(х — 2)у' -~- (2 — х)у х4е-х 51. ху" — 2(х+ 1)у'+ (х+ 2)у = Зхе*. 52. х(х — 1)у" + (4х — 2)у' + 2у = е *. 53. х(х + 1)у" + (4х + 2) у' + 2у = б(х + 1).
54. (х — 1)у" — 2ху' + (х + 1)у = Зе*. 55. ху" — 2(4х — 1)у'+ 8(2х — 1)у = 2е~~. б 56. (2х + З)у" — 2у' — — у = З(2х + З)~. 57. (2х+ 1)у" — 2у' — (2х+ 3)у = З(2х+ 1)в ет. 41 3 58. 2ху" — (х + 4)у' + 1 + — / у = х~. х~ 59. ху" + (2х — 1)у'+ (х — 1)у = 8х~е', х > О. 60. х(х — 1)ву" — 2(х — 1)у' + 2у = х(х — 1)зе *, х > 1. 61. (х — 2)у" — (4х — 7)у'+ (4х — б)у = 4х(х — 2)зев*, х > 2. 62. хз(х + 1)у" + х (хв — 2х — 2) у' — 2 (хе — х — 1) у = хз(х + 1)з, х > О, 63 хзув х(х .1 3)у~ ~ (2х Ь 3)у — х4 64. хв(х — 3)у" — х~(х — 2)у'+ 2 (х~ — Зх + 3) у = (х — 3)з.
65. хв(х — 1)у" + х (2 — 4х + х~) у' — 2(х — 1)~у = хз(х — 1)~. 66. х~(х — 4)у" — хв(х — 2) у' + 2х (хз — 5х + 8) у = (х — 4), х > О. 67. Найти общее решение уравнения, если известны два его решения у~(х) и уг(х): 2 9. Линейные уравнения второго порядка яшх 7Г а) у" — у' 18 х + 2У = 218 х+ —, О < х < —, сояя х' 2' Уг = ГКх, Уг = Фйх+ 2яшх.
б) У +4ху'+ (4х + 2) у = (4хг+4х+3) е' 7 УГ = е*, уг = е* + е * . в) ху" — (2х+1)у'+ (х+ 1)у ( ц гх х > О УГ = его у2 = его е*. г) ху" + 2У' — ху = 2 — хг, х > О, е* УГ = х, уг = х + —. х д) х(2х + 1)у" + 2(х + 1)у' — 2У = Зхг + 3х + 1 х > О, — 2 1 2 (х + 1), у2 = — (х — 1). 2 ' 2 68. Составить и решить линейное дифференциальное уравнение второго порядка, если известны его правая часть Дх) и фундаментальная система решений у1(х) и уг(х) соответствующего линейного однородного уравнения: а) ~(х) = 1 — х, УГ = х, уг = хг + 1.
б)Дх)=1 уГ=х,уг=хг — 1. в) Г(х) = соя2х, У7 = я1пгх, уг = соягх. 69. Решить уравнение (1 — х ) у" — ху'+ у = — ь/1 — хг, О < х < 1, х 7Г с помощью замены х = соя Г О < 2 < —. 2 70. Решить уравнение ! 4я ЗГ 2Е* ху +2ху — у= е* — 1 1 с помощью замены х = — —. 71. Решить уравнение 2ху" +у' = 2(у+ ФЬх) гг с помощью замены х = —, Г > О. 4' Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка 72. Решить уравнение у" +у'Цх = 4(у+сових) совгх, 0 < х <— 2 с помощью замены ~ = ыпх.
Приведением к виду ва + а(х)г = „((х) решить уравнения (73--76): 73. хгу" +ху'+ хг — — у = 2х)е'. 4) 74. у" + — у + д = 2. 76 (1+ хг) ' д" + 2х (1+ х') у'+ у = 1+ х' 6, /12 76. у" — — у' + ( — + 1 д = О. х х 77. Пусть функция р(х) определена и непрерывна при х > 0 и пусть у~(х), уг(х) — решения уравнения у" + р(х)д = О, причем 11п> у,,(х) = О, х — >.еос производные у,'(х) ограничены при х > О, 1 = 1, 2. Доказать, что у>(х) и уг(х) линейно зависимы при х > О.
78. Пусть у>(х), уг(х) — два линейно независимые решения уравнения уйй+р>(х)у(" '1+ +р„(х)у = О. Указать подстановку, приводящую к линейному уравнению порядка и, — 2. 79. Пусть решение у(х) уравнения хгд" + ху' + (хг — нг) у = О, и > О, х > О, положительно при малых х > 0 и у(+0) = О, Доказать, что точка первого положительного максимума этого решения находится от нуля на расстоянии, которое не меньше чем и. 80. Пусть а(х) — непрерывная функция при х > О.
Доказать, что если уравнение да+ а(х)у = 0 имеет решение у(х) такое, что 1пп у'(х) = = +ос, то оно имеет также нетривиальное решение, стремящееся к нулю прн х — > +со. 81. Пусть функции а(х) и 6(х) непрерывны на всей оси, причем а(х)— нечетная, а (>(х) — четная. Доказать, что решение уравнения у"+ +а(х)у'+ 6(х)у = О, удовлетворяющее условию д'(0) = О, есть четная функция. 95 9 9.
Линейные уравнения второго порядка 82. Пусть функция 9(х) непрерывна на всей оси и периодична с периодом 1. Доказать, что если нетривиальное решение уравнения ул+ д(х)9 = = О, удовлетворяет условиям у(0) = у(1) = О, то у(х+ 1) = Су(х), С = сопя~. 83. Найти два линейно независимые решения в виде степенного ряда уравнения у" + 4ху = О. 84. а) Найти решение уравнения хул — у' — 4хзу = 0 в виде степенного ряда при условиях 9(0) = 1, у" (0) = О. Определить радиус сходимости ряда. ! б) Решить уравнение у — — — 4х 9 = О. л У х УКАзАние. Найти сумму ряда в п. а). 85. а) Найти решение уравнения хд" — 29'+ 9х59 = 0 в виде степенного ряда при условиях 9(0) = О, у'л(0) = 6.
Определить радиус сходимости ряда. б) Решить уравнение ув — — у'+ 9х4у = О. х УКАЗАНИЕ. Найти сумму ряда в и. а). 86. Проинтегрировать при х > 0 с помощью ряда по степеням х уравнение 4ху" + 2у'+ 9 = О. УКАЗАНИЕ. Для отыскания решения уравнения, линейно независимо- го в решением, представимым степенным рядом, сделать в уравнении замену у = ~ух.
г. 87. Найти при 0 < х < 1 общее решение уравнения 2х(1 — х)ул + (1— — х)у + Зу = 0 в виде ряда по степеням х. УКАзАние. Воспользоваться указанием к задаче 86. 88. а) Найти при 0 < х < ~/2 решение уравнения (2х+ х ) у" — у' — 6ху = 0 в виде степенного ряда по х. Определить радиус сходимости ряда.
б) Найти общее решение заданного уравнения в виде ряда по степеням Ответы к задачам 8 9 С1(х+1) +Сгх +х 1пх — -х-. з з 3 2 г~ х ( Сг — — + — !и — + (х + 2) (Сг — !п (х + 4) ). 2х 8 х+4/ С1 ех + Сгхг + хз + 2х + 2. 2. у= 3. у= 4. у= С х+С хг!пх+хг!пгх — хг+хг!пзх. С1 1 — + Сг(х + 1) — — (и!п х + 2 соз х) — 2 з!п х. х х Сз х + Сг 1п х + х — — х !п х. .2 ! 2 2 С1 (1 + х) + Сгех — (1 + х) !п (1 + х) — 1. С1х+ Сгхе + х — — х е 2х 2 ! 2х 2 ) С1е гх+ Сг (4хг+1) + 8хз — 2х+ 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
