1611689249-2463c0540415b4d8be5bf8d7c9050a3a (826751), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Решить при х > 0 уравнения Эйлера (184 — 207): хгу" + 2ху' — 12у = О. 185. 2хгу" — ху' — 2у = О. 187. хгу" — 2ху' — 4у = О. 189. 2хгу" — Зху' + Зу = О. 191. 2хгу" + 5ху' — 2у = О. 193. 4хгу" — 4ху' — 5у = — 4~(х. 195. хгу" — Зху' + 4у = 4хз. 184. 4хгу" — Зу = О, 186. ,г я + 5ху' + 8у = О. — бу=О.
188. хгу" 190. 15 + Зху' — Зу = — —. 2~/х х у 192. ,гу — 2у = -2хз. 194. 197. хгу" + Зху'+ у = —. хгу" + ху'+ у = 10хг. 196. 199. хгу" — 4ху'+ бу = 2хг — —. хгун + ху'+ у = — 2эш(!пх). + 2ху' — 2у = ш х. + ху' — 4у = — 9х 1пх. 198.
201. хгу" — бу = — 16хг(пх. 203. хгу" — 20у = 10хе. 200. г в 202. Операционным методом решить при 1 > 0 задачу Коши (172 — 183): З 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 227. 4х~ул — Зу = 5хв, у(1) = 1, у'(1) = 2. 228. х~у" + ху' — у = 2х, у(1) = О, у'(1) = 1. 229. угн + у' = 2х, у(0) = О, д'(0) = 1, у" (0) = 2. 230.
угэ — у' = 6 — Зх~, у(1) = у'(1) = О, у"(1) = 3. 231. уп' + 2д" + у = О, у(0) = у" (0) = О, у'(0) = 2, у'"(0) = -4 232. уга + 6у" + 11у' + бу = х~ + х + 1, у(0) = у'(0) = у" (0) = О. 233. угл — бу" + 11у' — бу = 1, у(0) = д'(0) = у" (0) = О.
234. у~ ~ — 2у"' + 2у" — 2у' + у = — + 4 сов х, у(0) = —, у'(0) = 1, д" (0) = О, 2 ' 2' у'"(0) = — 3. 235 у(в) + 2у(в~ 2у~ у 0 у(0) ул(0) у00(0) у(в)(0) 0 у~(0) 2 у"'(О) = 2, у00(0) = — 1, у09(О) = 11. д(в) д О у(0) 1 у~(0) ул(0) ул~(0) у(4) (0) у(5) (О) ( ~(О) = 00(О) = О. 237. Найти решение уравнения уьв — Зу' — 2д = хе *, ограниченное при х — > +со и удовлетворяющее условиям у(0) = 1, у'(0) = О. 238. Составить линейное однородное уравнение наименьшего порядка Ху = 0 с постоянными вещественными коэффициентами, имеющее решения у1(х) и ув(х), и решить неоднородное уравнение Ху = Х(х), если: а) у1(х) = в1пх, у2(х) = е *, Х(х) = х+ 2е *, б) у~(х) = х, ув(х) = е', Х(х) = 2вшх — 2, в) у1(х) = совх, ув(х) = е*, Х(х) = 2е* — х, г) у1(х) = х, ув(х) = е *, Х(х) = 2 — 2 сов х.
239. Доказать, что любое решение уравнения у — угу — 9дл~ + ул + 20у~ + 12 = 0 однозначно представимо в виде суммы решений уравнений угл — у"— — 5у' — Зу = 0 и у" — 4у = О. Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка 78 ряет уравнению у - Зу~и - ул~ + 7ул - 4у = О? Ответы к задачам 3 8 1. у = С1е*+ Свез*. 3. у = Сзе з*+ Сзе 5. у = С1е з'+ Све з* 2. у = С1ез + Сзез', 4.
у = С1е х+ Свез~. 6. у = ез*(Сз сов 2х+ Сз в1п2х). 7. у = е~*(С~ совЗх+ СзвшЗх). 8. у = е (С1 сояЗх+ СзвшЗх). 9. у = е *(С1 сов 2х+ Сзв1п2х). 10. у =- е (С1 совх+ Сзвшх). 12. у = ез*(С,х + Сз). 14. у = С1е ~*+ Сзе "+ Сзе*. 11. у = ез*(С1х+ Сз). 13. у = е~*(С1х+ Сз). 15. у = С1е з* + Сзе ' + Сзе*. 16. у = С1е* + Сзе~* + Сзе~'". 18. у = е з' (С1х + Сз) + Сзе'. 17. у = Сзе ~' + е *(Сзх+ Сз). 19. у = Сзех+ е*(Сзсов2х+ Сзв1п2х). 20.
у = С1е +Сзсов2х+ Сзвш2х. 21. у = С1е х+ е *(Сзсовх+ Сзв1пх). 22. у = Сз совх+ Сзвшх+ Сзе*. 23. у = Сз е * + Сз + е'(Сз сов х + С4 в1 п х). 24. у = С1 + Сзе* + Сзе~* + С4ез* 25. у = С1 + е'(Сзх + Сз) + С4е~'. 26 У = С1е *+ езх(Сзх+ Сз) + Сзез~ 27. у = Сзе я*+ е *(Сзх~+ Сзх+ С4). 28. у = е *(Сз х + Сз) + Сз сов х + С4 в)п х. 29.
у = С1 сов х + Сз в1п х + е*(Сз х + С4) . 240. Верно ли, что каждое решение уравнения у" — у' — 2у = 0 удовлетво- 79 З 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 30. у = е (С4х+ Сг) + е (Свх+ С4). 31. у = С4 + е гх(Сгхг + Свх + С4) 32. у = С1 сов х + Сг яп х + Сзе вх + С4е . 33. у = С1е х + Сгех + Свег* + С4евх 34. у = С1 сов х + Сг яп х + Св сов 2х + С4 впп 2х. 35. у = (С1 х + Сг) сов 2х + (Свх + С4) яп 2х. 36. у = С~ сов х+ Сг вптх+ Сз совх~/2+ С4 в1пх~/2.
37. у = (С1х+ Сг) совЗх+ (Свх+ С4) япЗх. е *(С1х + Сгх+ Св). 2 2х 1ех + С2е2х + х2е2х 2 (С1 + Сгх)е + — е 12 38. у= 39. у= 40. у= 3 41. у = С1е х+ Сгегх+ х+ — хг е * 2 7'1 42. у = С1ег*+ Сге в + Зхг — х+ — ) е 6) х 43. у = С4е х+ Сге — -ех(совх+ 2в1пх). 5 /, х х~ 2 ев ~С1 яп — + Сг сов — ) — — ех(япх+ 2 сов х).
2 2) 5 1 егх(С + Сгх + *') + -(2*'+ 4х + 3), 8 44. у= 45. у= — 2х 47. у = С4 сов2х+ Сгяп2х+ -(2х+ 1)е ге+ — хсов2х. 4 4 48. у = С1е эх+ Сгех+ — (2х + х)е вх — — (2совх — япх). 2 5 1 — Зх 49. у = С1 сов Зх + Сг япЗх + — (Зх + 1)е * — — х яп Зх. 9 2 46. у = С1е ге+ Сгех — -(Зх + 2х)е гх — — (Зяпх+ совх).
9 2 3 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 72. у = Сзе * + Сз + Свез* — — е з'. 10 73. у = Сзе + Сз + Сзе — -х — -х. — Х з* 1з 6 9 1 74. у = Сз е* + Сз сов х + Сз яп х — -х(яп х + сов х). 2 т, 1 Сз + Сз яп 2т + Сз сов 2т + — + — вЬ 2х. 8 32 х 1 Сз + Сз вЬ 2х + Сз сЬ 2х — — — — вш 2х. 8 32 х 1 Сз + Сз яп4х + Сз сов 4х — — + — вЬ4х. 32 256 т 1 Сз + Сз вЬ 2х + Сз сЬ 2х + — — — яп 4х. 32 256 (Сз + Сзх)е + Сзе — — е х2 6 1 Сз+ Сзсовт+ Сзяпт+ х — -хяпх. 2 Сз+ Сзсовт+ Сзвшт+ 4т+ ез*.
76. у= 78. у= 79. у= 80. у= 82. у= 1 з 2 Сз + е*(Сз сов 2х + Сз яп 2х) + е + — х + — х. 2 5 Сз + Сз сов т + Сз вш х + 2е* сов х + х сов х. 83. у= 84. у= 85. у = Сзе *+ Сз+ Сзе4з — совх+ хе *. 86. у = Сзе в*+ Сз+ Свез*+совх+ х. 87. у = Сз е з* + Сз + Сзе* + хе*. 88.
у = Сз + Сзсов2х+ Сзяп2х — хсов2х. 89. у = Сз + е *(Сз+ Сзх) — 2совх+ т. 90. у = Сзе ~*+Сз+ Сзе +е *совт. 91. у = Сзе *+ Сз+ Сзе в*+ хе *. 92. у = Сз совх+ Сзвшх+ Свез*+ хсовх. /1 75. у = Сз + е*(Сз сов х + Сз яп т) + 2 сов х + яп т + х ( -х + 1 1,2 83 З 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 114. у = 115. у = 116. у= 117. у = 118. у = Сзе х+ Сгсоях+ Сзвшх+ (хг+ 2х)е ' + 4. 119. у = Сзех + Сг соя 2х+ Сзвш2х — х(2соя2х+ я1п2х) — 5. 120. у = 125. у = 126.
у = 127. у = 128. у = 129. у = 1ЗО. у= 1З1. у= / 141 132. у = С1 + Сгх + Сзев + С4е з + (х — —,) ех + х (х — 12). 3) 133. у = Сз+ Сгх+ Сзегх+ С4е гх+ — хяп2х. 2 121. у = 122. у = 123. у = 124. у = 1 2 4, 1 С4+ е х(Сгсов2х+ Сзвзп2х) + — хг — — х+ 2яш2х+ — соя2х. 5 25 2 Сз+ (Сг+ Сзх)ех+ х + 4х+ соях. С1 + Сгх + Сзе + х + — х + яш 2х + сов 2х. г. з 2 С4 ех + Сг сов х + Сз яш х + (хг — 2х)ех — 4. ех(С1 + Сгх) + е х(Сз + С4х) +хг+ 5. 1 С4е + Сге + Сз взпх + С4 сов х — — е сов х. 5 (Сз + Сгх) соя х + (Сз + С4х) яп х + взп 2х.
+ хг — 4. (С4 + Сгх) соя 2х + (Сз + С4х) яш 2х + х — 1 + езп х. 4 (Сз + С2х) соязх+ (Сз+ С4х) еипзх+ совх — х + —. 9 г 4 (Сз + Сгх) соя 5х+ (Сз + С4х) яш5х+ соях+ х 25 2х С4 + Сгх + е (Сз соя х + С4 езпх) + х (3 + х) + -е 4 1 (Сз + Сгх) соях+ (Сз+ С4х) яшх+ х+ — сов 2х. 9 1 С4 + С2х + Сзе 4х + С4е4х — хг — — соя 4х.
16 Сзе + Сге + Сзсов2х+ С4я1п2х+ — е + — хсоя2х. -х х 2х 4 2 1 С1 + Сгх + Сз сов х + С4 вап х + х(х + в1пх) ° 3 — 2х С4 сов х + Сг я1п х + Сзе г + С4е 2 + х соя х — -е 5 85 3 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 156. у = Сс + Сгег* + 4хг ~Д. 157. у = е*(Сс сов Зх+ Сг япЗх) + е*(1п/сов Зх!сов Зх+ ЗхяпЗх). 158. у = ег'(Сс соз2х+ Сгзш2х) + 9хг~ссх. 1 1+ сов х Сс сов х+ Сг япх+ 2 — — 1п сов х. 2 1 — сов х Ссе г*+ Сгег'+4хг /х 159. у = 160. у = 161. у = е г*(Сс + Сгх) + е г ](х+ 1) 1п]х+ Ц вЂ” х]. 162.
у = Ссе з*+ Сг+1п ~х~. 163. у = ег*(Сс + Сгх) + ег*[2х агсс8 х — 1п (1 + хг)]. 164. у = Ссе *+ Сг+ 9хг~/х. 165. у = е *(Сс соз х + Сг вш х) + е *(1п ~ зш х ~ яп х — х соз х) . Сс соз (х~Г2) + Сг вш (х~/2) + вш хг. 1 е *(Сссов2х+Сгяп2х)+е * хяп2х+ — 1п~соз2х~соз2х 2 169.
у = Сс е ~~г + Сге*Уг + сов хг. 166. у = 167. у = е *(Сс + Сгх) +х1пх 168. у = 170. у= 171. у = Сс + Сгег*+х1пх. Сс + Сге* + 1п )х). 1 с Зс 4гс — е — — е + — е 6 2 3 1 173. у = — — е '+ ег' — -(1 + 2С)е'. 4 4 172. у = 174. у = — е'+ — е~~+ ~ — +1 е '. 175. у = Зе в'+ (с — 4)е гс.
5 с,5 1 в~ 177. у = 1+ сг+ — с ) е '. 6 ) 176. у = (сг+ 1)ес. 178 у (2+с)е-с+севс 179. у = сов С + (2С вЂ” 1) яп Ф. — (созс+ 2япс) + ~с — — ) е 4 / 4~ 5 5) 1 — — с) созЗс+ ~с+ — ) вш31. 2) ~, 2) 180. у = 181. у = 182. у = (1+ с) яп2с — Ссоз2с. 183. у = (1+ с)(сов с+ япс). 87 9 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 218. у = (х + З)ее* + Зе * — соз х. 217. у = (х+ 6)е з* — 4е *+ сов 2х. 1, 1 219.
у = — соз 1 яп х — — х соз (х — 1). 220. у = (х+1) з1п х+ сов х 1п ~ соз х~. 2 2 221. у = (1 — х+ х1пх)е *. 222. у = (1 — х+ х1пх)е*. 223. у = хе+ 5+ ( — х — — ) е* — ~ — х+ -/ е *. (4 2) (~4 2/ 1 224. у = — 1пх. хз 225. у = — х (х — 1). 1 6 35 4 1 з 1 з 4 232. у= — — -х+ тх + — е * — е * — — е 54 9 6 2 27 233. у = — ( — 9хз — 42х + 108е* — 54ез* + 14е~* — 68) . 54 234. у = хсозх+ —. 2 9 3 в 235.
у = е — е *+ — х сов х+ — (х — 3) япх. 8 8 1 х х 1 1 236. у = — сЬ вЂ” соз — + — сох+ — созх. 2 ~/2 ~/2 4 4 , 2'~ 237. у = (1+ х) 1 — — ) е *. ) 238. а) у"'+ у" + у'+ у = О, у = С~ созх+ Сзяпх+ Сзе *+ х — 1+ хе *, 6) уси — у" = О, у = С~ + Свх+ Сзе*+ япх+ созх — х~, в) уси — у" + у' — у = О, у = С~ соз х + Сз япх + Сзе* + х + 1+ хе, г) у"'+ у" = О, у = С~ + Сзх+ Сзе *+ япх+ созх+ х~. 240. Да. 226.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
