1611689249-2463c0540415b4d8be5bf8d7c9050a3a (826751), страница 6
Текст из файла (страница 6)
21. Найти значения вещественных параметров а,,9 и линии на плоскости, в каждой точке которых нарушается единственность решения урав- пения: а) у' = у'*(1 — у)Д, 6) у~ = у' 1п~ —, в) у' 1п у = у'"(1 — у)Д. У 22. При каких начальных данных хо, уе, у~ задача Коши у" = 1(х, у, у'), у(хо) = уо, у'(хо) = у~ имеет единственное решение, если: а) /(х,у,у') = — (у'+ ~/у — 1), 6) ~(х,у,у') = —, 1п(ху — 1), х уу в) Дх,у,у') = —,фу — х, г) ~(х,у,у') = — (сову'+ хз1пу'), х д) Дх У у~) — (х ~~/~7:" у) е) 1(х У У~) — хзев .1 в1п ( Г з) з у х 23.
Показать, что уравнение у" = 3(у') т при начальных условиях у(0) = = у'(0) = 0 имеет два решения. Почему зто не противоречит теореме существования и единственности решения задачи Коши? 24. Показать, что уравнение у" = 2~/)у'~ при начальных условиях у(0) = = у'(0) = 0 имеет два решения. Почему зто не противоречит теореме существования и единственности решения задачи Коши? 25. Могут ли две интегральные кривые уравнения пересекаться в неко- торой точке (хо, уо): а) для уравнения у' = хз + уз? 6) для уравнения у" = хз ~- уз? 26.
Могут ли две интегральные кривые уравнения касаться друг друга в некоторой точке (ха,уо): а) для уравнения у' = х~+ у~? 6) для уравнения у" = х~+ уз? в) для уравнения угл = х~ + уз? 27. Сколько существует решений уравнения У1"1 = х~ + у~ при и = 1, 2, 3, удовлетворяющих одновременно двум условиям у(0) = 1, у'(0) = О? ~ 5.
Исследование задачи Коши 41 28. При каких и Е Ф уравнение УОО = дх,у), где 1(х,у) и д1(х, у) непрерывны на всей плоскости В(г „р могут иметь среди своих решений две функции: а) уг = х, уг = х + х ? 6) уг = 1 — соа х, уг = -х ? г 1 г 2 29. Найти производную по параметру Л при Л = 0 от решения у = ~р(х, Л) задачи Коши: а) у' = у + Л(хг + уг), у(0) = О, б) у' = -у + Л(х + уг), у(0) = О, в) у~ = 2У + Л(уг хг) у(0) = О, г) у' = — Зу + Л(уг х) у(0) = 0 д) у' = у — уг + Л(х + уг), у(0) = О, е) у' = уг — у + Л(у4 — х), у(0) = О, ж) у' = 2ху+Л(уо+2х), у(0) = О, з) у' = — 2ху+ Л(уг — 2х), у(0) = О. 30. Найти ' ' при уо = 0 от решения у = ~р(х,хо уо) задачи ду(х, ха, уо) дуа Коши У' = 1(х, У), У(хо) = Уо, если: а) у' = 2У+ хгуг — уг у(0) = уо б) у' = у+ 2хуг + уа у(0) = уо в) у' = -2у+ 2х у + у, у(0) = уо, г) у' = — у — у — х у, у(0) = уо дср(х, О, 0) 31.
Показать, что ' ' = О для решения у = ср(х,хо,О) задачи Коши дхо у' = 1(х, у) у(хо) = О, если: а) у' = у + х(уз + уг), у(0) = О, б) у' = — у+ 2х(уз — уг)> у(0) = О, в) ! 2 .( г + 4) (О) О ,) г 2 .г ( г + 2 ) (0) О 32. Найти с точностью до 0(х, Лг) решение задачи Коши: а) у' = 2ху + Л(2х + уг), у(0) = О, б) у' = — 2ху+ Л(уг — 2х), у(0) = О, в) у' = уг + у + Л(1 + х), у(0) = О, г) у' = уг — у + Лх, у(0) = О, д) у' = — уг + у+ Лх, у(0) = О, е) у' = — уг — у+ Лх, у(0) = О.
33. Пусть у = ср(х, Л) решение задачи Коши у' = у+вшу, у(0) = Л. Найти дср(х 0) дгфх, 0) дЛ дЛг 34. Пусть у = у(х, Л) решение задачи Коши у' = Л(1 — х)+у-уг, у(0) = О. др(х, О) д' р(х, О) дЛ дЛг 35. Пусть у = ср(х,о, д) решение задачи Коши у" = ау — уг, у(0) = 1, 42 ДО (х,1,0) ар(х,1,0) 36. Пусть у = ~р(х, сх, р) решение задачи Коши у" = у+ 3 вшу, у(0) = а, ду(х, О, 0) д~р(х, О, 0) 37. Пусть у(х) при х )~ 0 удовлетворяет уравнению у' = 1+ х+ 100 ь4пу и начальному условию у(0) = О.
Доказать, что у(х) > 0 для всех х > О. 38. Функция у(х) при х > 0 удовлетворяет уравнению у' = 2+ хг+ ебпз у и начальному условию у(0) = О. Имеет ли нули у(х) при х > О? 39. Функция у(х) при х > 0 удовлетворяет уравнению у' = х + сову. Имеет ли у(х) асимптоту при х 4 +со? 1 40. Функция у(х) при х > 0 удовлетворяет уравнению у' = х + + у2' Существует ли конечный 1пп у(х)? х-~+оо 1 41. Доказать, что каждое решение уравнения у' = 2 г определено 2+ 2 при — оо < х < +ос и имеет конечные пределы при х 4 — оо и при х — 4 +ос.
Ответы к задачам 3 5 1. а) Да. 6) Да. в) Нет. 3. а) Да. 6) Да. в) Нет. в) уо(х) -= хз хз 2хг г) уо(х) : — О, у4(х) = †, уг(х) = — —— 3' 1 /2~' 2 12. а) )у(х) — уз(х)! < — ~-) ех . 4! (,3) 10. а) у=х+ 11. а) уо(х) —= 6) уо(х) вз Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка е-х 6) у ех в) у х+ех г) у е2х хг 2 .4 .5 1, уг(х) = 1+х — —, уг(х) = 1+ х+ — — — — — . 2' 2 4 20 х4 х4 хО О, у1(х) = †, уг(х) = — + — . 4 ' 4 144 .г хг 8хз х5 1, у1(х) = 1 + 2х + †, уг(х) = 1 + — + — + х +— 2' 2 3 10 3 5.
Исследование задачи Коши е б) ~у(х) — уз(х)( < —, . 16. у = 2(х — 1)е* + х + 2. 17. у = 2соях+ вшх — е . 18 у (е2 + е — 2х) 5 2 19. у = 4е2*+ соях+ 2в1пх. 20. а) Вся плоскость (х, у), 6) у ф х. в) х ~ О, у > — х. г) х ~ — у, у > О. д) х ф О, у ф й~г, Л Е Я. е) у > х . ж) у ~ 1. 21. а) а < 1, у = 0 и д < 1, у = 1. 6) о < 1, у = 0 и ~д < 1, у = 1. в) а<1,у=Оир<2,у=1. 22. а) хо ~ О, уо ф 1, у1 — любое.
6) хоуо > 1, уо ~ О, у1 ~ О. в) уоФхо,у110.г) хо — любое,уафО,у1 >О. д) хо -- любое, уо ~ 0 у1 Ф уо. е) х2о ~ ум уо — любое, 25. а) Нет. 6) Да. 26. а) Да. 6) Нет, в) Да. 27. При и = 1 нет решений, при п = 2 одно решение, при и = 3 бесконечно много решений. 28. а)п>3,6)п>5. 29. ) д~о(х,О) = 2 ' — 2 — 2 — 2 б) дУ(х,О) ал " * ' ал ду(х,О) 1 2* 1 ( г в) = — -е *+ — ~х~ + х+ -~. дЛ 4 2 1, 2~ ду(х,О) 1 -з* х 1 дл 9 3 9 ар(х, о) ., а~(*, о) ар(х, О),, д р(х, О) ал ' ал 30. а) е2', 6) е, в) е 2*, г) е *. 44 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 32. а) у = Л(е* — 1) + 0(х, Л2), б) у = Л(е * — 1) + 0(х, Л2), в) у = Л(2е* — х — 2) + Лз[4е2*+ 2е*(3 — 2х — х2) — х2 — бх — 10]+ 0(х, Лз), г) у = Л(е *+х — 1)+Л2[(хз — 2х — 4)е * — е з*+хз — 4х+5]+0(х, Лз), д) у = Л(е* — х — 1)+Л [(х +2х — 4)е* — е ~*+хз+4х+5]+0(х, Л ), е) у = Л(е *+х — 1)+Л2[(4+2х — х2)е *+с з* — хз+4х — 5]+0(х, Лз).
д~р(х,О) ( а, ) д у(х,О) дЛ ' длз 34. ' =х, ' = — 4е*+2х +4х+4. ал *' ал дср(х, 1, 0) др(х, 1, 0) ~И,О, 0) „4 аж(*Л,О) до ' дд 4 38. Нет. 39. Нет. 40. Нет. 3 6. 5'равнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Особые решения Основным методом решений таких уравнений является метод введения параметра. Кандидаты в особые решения находятся с помощью дискриминантных кривых, а затем для них проверяется определение особых решений. Пгимкг. Найти все решения, исследовать особые решения и нарисовать качественную картину поведения интегральных кривых уравнения х~[(у~)~ — у~] + 2хуу + у~ = О.
Ь Введем параметр р = у'. Тогда заданное уравнение эквивалентно системе уравнений / у =Р1 х2[р~ — р] + 2хур+ ув = О. 45 з 6. Уравнения первого порядка. Особые решения Разрешив второе уравнение системы относительно у, получаем, что р = — хр х х.„/р, где р > О. Найдя отсюда Иу и подставив его в равенство пу = рпх, получаем уравнение (2,/р ~ 1) (2рдх + хор) = О. 1 Первая скобка может обращаться в нуль лишь при /р = —. Подставив 2 1 1 ~/р = — в формулу для у, получаем решение у = — х.
При этом было 2 4 учтено, что в формуле для у нужно брать только знак «плюс». Приравнивая нулю выражение второй скобки, получаем уравнение с разделяющимися переменными. Все его решения задаются формулой С рх~ = С, где С > О. Подставляя р = — в формулу для у, в которой ~.2 С берегся только знак «плюс», получаем решение у = — — + ~(С э1япх, где х х ~ О, С > О.
Кроме того, при р = О имеем решение у = О. Дискриминантные кривые находятся из системы уравнений < у= — хрхх /р, 1 О= — хх —, 2,/р ' где второе уравнение получается дифференцированием по р первого урав- 1 пения. Исключая из этой системы параметр р, находим, что у = -х задает дискриминантную кривую. Это единственный кандидат в особые решения 1 нашего уравнения. Поскольку у = — х — решение уравнения, то остается 4 для него проверить выполнение определения особого решения.
Для этого составляем систему уравнений относительно С: 1 С вЂ” х = — — + ~/С э~р~ х, х уЕ О, 4 х 1 С 2 Легко видеть что найденное из второго уравнения С = — х удовле- 4 творяет и первому уравнению при х ф О. Следовательно, оба луча прямой 1 у = — х, получаемые при х ~ О, являются особыми решениями заданного уравйения. Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 46 Качественная картина поведения интегральных кривых уравнения показана на рисунке.
Из рисунка, в частности, видно, как из найденных решений уравнения можно получать составные решения уравнения. А 2. у'г + 2х у' — 4х у = О. 1. у'з — 4хуу'+ 8уг = О. 3, 8ху'з = у(12у'~ — 9). б. хзР+ хгуу + 1 4. хгу'г — 4х(у + 2) у' + 4у(у + 2) = О. г ~ 5 6. у'г — Зхузу'+ 9уз = О.
8 угуа+2хуу' уг+1 О 10. ху'г — 2уу'+ 2у = О. 7 у'з Зхгу~+ 4ху = О 9.у =1п —, у у' — 1 11 хзу г 4хгуу + 4хуг + 4у~ О 12 8угу~з Зу+ б(х — 2)у' = О 14. хзугу~г 2хгузу~ + хуз + 2уу~ О 16. у'г — 8ху'+ 8хг + 4у = О. 18. 2угу'г — 2ху'г + 4уу'+ 1 = О. 29 х4у~г+ху + у О 22. (1 — хг)у'г + 2хуу' + хг = О, 24 уу'~уу' 1) х уг 13. бху'г + 1 = уу'11 + уу').
15. — у — у +у=2х — 3. гг ! 4 17 у'г+хугу'+уз = О 19. у'г — 2уу'+ 4ег' = О. 21 4у'г+ Зхзу~ 9х4у 23. у = у + -(х — 1п у ). 1 ! 2 Найти все решения, исследовать особые решения и нарисовать качественную картину поведения интегральных кривых уравнений (1 — бб): 48 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Ответы к задачам 3 6 1. у = С(х — С)2, 27у = 4хг — особое решение. 2. у = Сх + С, у = — — х — особое решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
