1611689249-2463c0540415b4d8be5bf8d7c9050a3a (826751), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Перейти к полярным координатам. 92. Составить дифференциальное уравнение семейства окружностей, имеющих центр на прямой у = х и проходящих через начало координат. Ответы к задачам 3 2 2. у = С (х~+х). 1. у (1+ Се*) = 1, у = О. 3. х вш у = С(1 — вш у). 5. (х~ — 1) у = С. 7. (у — 1)е" = Ссовх. 9 ув С(хв 1)ве в х О С сов х 4. у = у= 1. 1 — С сов х' 1 2 6. у = — — — + С, х = О. хв 8. х (ув + 1) = Су, у = О. 10. х(у — 1) = С, у = — 1.
12.у + — =С. г 1 — хв 1 1 11. — + — =С вЂ” Зх,у=О. у х 14. хв = Сув (1 + ув) у = О. 13. (х + 1)у = С(у + 1), у = -1. 1 1 х гг 15. в8 у = — — — — агс$8 — + С, у = — + Йгг, Й Е Е. 4х 8 2 ' 2 л 16. !и( сову! — с18 х — х = С, у = — + Ьг, Й Е Я. 2 1Т. (1+ уз) (1+совх)в = С. 18. е * + 2(х+ 1)е = С. 19. 4~/х+ !и~х+ 2агс18у+!п(1+ ув) = С. 90. Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих под углом у = — параболы с общей вершиной и общей осью.
4 В 2. Уравнения с разделяющимися переменными хг г 20. — +х+1п(х — 1)г+1п~р+1~+ — = С, у= — 1. 2 1+у 24. у + 2х + 4 = Се* г". 26. 2у — х + 2 = Се*+г". 27. 2у — 6х + 1 = Сег" г* х 1 30. 1п — + — = 1. р р 32. уг + 4у+ сов 2х = 6. хе* 34. р = х+1 36. у= 1 1+е в* 38. у(2ео ' 1) — 1 зт. ует — ж = ь*. Гет вт 39. у(1+ео ) — 2 40. хг = Се" 42.
хе" +т" = С. 44. х = -у — -у + С. 1г 1з 2 3 60. у = Се ят. цт — ДТ- тЫт = с. 23. 2~/1+ ет — — = С, 1 в1пх 25 (х+2р)г Зх+4у= С 29. 1п (хвуг) -~- — -1- 1 = О. 1 р 31. 2. ' + (х + 1)у' = О. е* 33. р= (1 + е*) 41. хг+ Суг = С. в т 43. Сетя +г" = сов х. т 2 45. ег" И ° в!пх = С. 47. хг+ 1п(хг) +4(у — е ") = С. 49. (у — 1)е"+1~ = С. 51.
хг+уг = 2пг1пСх. 53. 1' т' + Х е = О, т = Се и. 57. у = хес* 59. у+ ~/хг + рг = Схг, х = О. 1 22. — агсв1пх +р — 1п(1+ е") = С. 2 28. 1пхг+ 31пу+ агс1цр = —. 4 46. е" — у + х = С. 48. (р+ 2)ге* "= С. 50. (2х + р)г — бх+ 2у = С. 52. хг + уг + 2Ьг 1п Ср = О. 54.
1 т'+ т = О, г = Св!п~р. 58. Сх = (у — х)ге*. 19 З 3. Линейные уравнения первого порядка 'й' 3. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли и уравнения Риккати Для нахождения общего решения линейного неоднородного уравнения у'+ а(х)у = Дх) необходимо сначала найти общее решение соответствующего линейного однородного уравнения, а затем применить метод вариации постоянной. ПРИМЕР 1. Найти общее решение уравнения ху =у — 2х. / 2 Ь Найдем общее решение линейного однородного уравнения ху' = у.
Для Иу этого, положив у' = — и разделив переменные, получаем уравнение пх При делении переменных потеряно решение у = О. Отсюда находим общее решение однородного уравнения у = Сх, где С вЂ” произвольная постоян- ная. Для получения общего решения заданного уравнения применим метод вариации постоянной, т. е. ищем решение заданного уравнения в виде у = С(х) х, где С(х) — неизвестная пока непрерывно дифференцируемая функция. Для определения функции С(х) подставим у = С(х) .
х в исходное уравнение. Имеем х[С'(х) . х+ С(х)] = С(х) х — 2хз, С'(х) = — 2, С(х) = -2х+ А, где А — произвольная постоянная. Следовательно, общее решение задан- ного уравнения имеет вид у = Ах — 2х~. Уравнение Бернулли у'+а(х)у = о(х)у'" заменой х = у' приводится к линейному уравнению. Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 20 Пгимкг 2. Решить уравнение ху'+ 4У = Зхуг. Ь Очевидно, что у = 0 — решение. При у ф О, разделив уравнение на рг 1 и положив г = —, получаем линейное уравнение хх' — 4х+ Зх = О. Решив у это уравнение методом вариации постоянной, находим л = Сх4 + х, где 4 С вЂ” произвольная постоянная.
Следовательно, р = 0 и — = Сх + х — все у множество решений заданного уравнения. А Если известно какое-нибудь решение уе(х) уравнения Риккати у'+ а(х)уг + Ь(х)у+ с(х) = О, то заменой у = х + уе(х) оно сводится к уравнению Бернулли. х 1 у= + —. С+ хг х Найти общее решение уравнений (1 — 31): 2. хр' = р — 2хг. 1. р' + у = 2е*. 3.
Угс(х + (ху — 1)ф = О. 5. х (4 — хг) у' = 2хгу + 1. /3 4. 2усЬ + ~ — — х Ыу = О. у 6. ху' = хг + у. 8. (х+ у)Нх = хйу. 10. УсЬ вЂ” (х + уг) сну = О. 12. р' = р+ 2хе*. 7. р = — — х. / у х 9 2хзу~ 2хгу 3 11. Уйх = (Зх — уг) ду. 13. (х+ угсовр) Йу = рйх. 1 14 ху~ хе+ х 15. у = — — 2х. У х 16. х4<1У = (2 — хзу) с1х. Пгимкг 3. Решить уравнение хгу'+ 2хгуг — 5ху+ 4 = О. 1 Ь Проверкой можно убедиться, что уо(х) = — является решением заданх 1 ного уравнения.
После замены у = х+ — получаем уравнение Бернулли х г ~ г 1 И х' = — — 2х . Замена и = — при х ~ 0 дает линейное уравнение и'+ — = 2. х х. Метод вариации постоянной для этого уравнения дает решение С и = — + х, где С вЂ” произвольная постоянная. Отсюда получаем решение х заданного уравнения Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 22 51. ху' — у + 2хуг 1п х = О. 53 2хгу~ + ху = 2уз 55.
у — — =у. у г х 57 у' — у+ 2хуз О 59 ху~ у+ 4уз О 61. ху'+ Зу = 4 у . 63. у(у + 1)Их + (х + 1)ду = О. 64. у' соз х + у ь4п х + Зу соа х = О. 66. у(4хуг — 3) Нх+ 2Ыу = О. 68 у<1х+ (2хгу Зх) ф 0 70 узах + (хз 1п у — хуг) Ну = О. 72. (у' — 1) Ь вЂ” у (х+ (у' — 1),Д] 1у = О. 73. Найти решение уравнения 4хуу' — Зуг + хг = О, удовлетворяющее начальному условию у(1) = 1. 74. Найти интегральную кривую уравнения удх — 4 (х+ уг~/х) ду = О, проходящую через точку (О, 1). 75. Найти интегральную кривую уравнения Нх — ху (1+ хуг) Иу = О, пе- ресекающую биссектрисы обоих координатных углов при х = 1.
Уравнения задач (76 — 81) искусственным приемом решаются короче, чем методом сведения к линейному уравнению. 77 хзу~ хгу уз 79. 4ху'+ 4хуг = 4у — уг. 76. ху' — у + хуг = 0 78. уйх — х (хуг+ 1) ду = О. 80. Найти решение уравнения а1п х(у'з1пх — усоах) = угсозх, удовле- творяющее условию у (-1 = 1. ~2/ 81.
Найти решение уравнения соагх(у'созх+ уьйпх) + угьйпх = О, удовлетворяющее условию у(0) = 1. 65. 5ху4у' = уз+ 4, 67. 8у'+ Зхгу (уг — 4) = О. 69 ЗхгЫ (хз+ у+ 1) Ыу = 0 71. удх + (4хз — х) ду = О. 52. 2ху' + 2хуз = у 54. ху'+ 4у = Зхуг. 56. ху' = 2у — 4хгуг. 58. ху'+ Зхуг = 2у. 60. у'+ у18х+ 4угашх = О. 62. ху'+ 2хуг = Зу. 23 2 3. Линейные уравнения первого порядка С помощью подбора какого-либо решения найти общее решение уравнений (82 — 95): у' = уг — 2ху + хг. 88. у' + е хуг + у = Зе*. 90. у' = уг — 2уяпх+ сов х+ япг х. 92. у'+ уг — 2усовх+ япх+ соэг х = О. х'у' — бху+ х'у'+ 8 = О. (Зх'+ 2у) (1+ у) йх + (2х — х') гу = О.
95. Доказать, что уравнение у' = Йу + ((х), где Й = сопатку~ О, г (х)— непрерывная и периодическая функция, имеет только одно периоди- ческое решение. Найти его. 96. Доказать, что у уравнения ху' + ау = Дх), х > О, где а = сопв1 ~ О, ,1(х) — непрерывная ограниченная функция, существует только одно решение, ограниченное при х > О. Доказать, что у уравнения ху'+ ау = ~(х), 0 < х < а, где а = = сопвФ > О, а > О, 1".(х) — непрерывная функция при 0 < х < а и 1пп У(х) = 13, существует только одно решение, ограниченное при х-~+О О < х < а и имеющее предел прн х -~ +О. Найти этот предел.
98. Доказать, что у уравнения у' = а(х)у + Ь(х), 0 < х < +оо, где а(х), Ь(х) — непрерывные при 0 < х < +оо функции, Ь(х) — ограничена, а(х) > ае = сопвФ > О, существует только одно решение, ограниченное при О < х < +со. 99. Пусть а(х), Ь(х) — непрерывные при 0 ~ (х < +оо функции, имеющие конечные 1пп а(х) = А > О, 1пп Ь(х) = В. Доказать, что х-++оо х->-~-оо существует единственное решение уе(х) уравнения у' = а(х)у + Ь(х), 0 < х < +со, имеющее конечный предел при х -+ +ос. 100.
82. 84. 86. 2хгу( + х2у2 + 4 — 2ху 4у = у + —. 4 х2 ' хгу' = хгуг+ Зху+ 3. 83. хгу' + хгуг + 2ху = 2. 85. ху' = уг + 2(х -1- 1)у + хг + х. 87 хгу уг+ 2ху — 2хг 89 у~ уг 2ху+ хг — 3 91. у' — ехуг + Зу = е Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Найти 1пп уо(х). У-Ф+00 УклзАник. Рассмотреть ограниченное решение и доказать, что оно имеет конечный предел при х -+ +ос. Можно воспользоваться правилом Лопиталя. 101. Пусть а(х), Ь(х) — непрерывные при О < х < +оо функции, причем существует конечный 1пп а(х) = А ) О и 1пп хЬ(х) = 1.
Пусть уе(х) — решение уравнения у' = а(х)у+ Ь(х), О < х < +со, имеющее конечный предел при х -+ +оо. Найти 1пп уе(х). 2. у = Сх — 2хз. 1 4. х = С /у + —. у С+ 1п)х) 5. у= 4 — хз 1 9. у = Сх + —. 2х2 11. х = Суз + уз, у = О, 13. х = у(С+ вшу), у = О. 1 14. у = Сх+ хз+ —. 2х С 1 16.у= — — —,х=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
