1611689249-2463c0540415b4d8be5bf8d7c9050a3a (826751), страница 2
Текст из файла (страница 2)
у = — х у х 34. у = — +х. У г х 35. у'=у — х . 3 37. у' = х + уг — 1. 36. у' = 2ху — 2. 38. у'=х'-уг — 1 39. Пусть задано уравнение у' = ~(х, у) с непрерывной функцией у(х, у) на всей плоскости (х,у). Показать, что если это уравнение имеет периодическое решение периода Т, то необходимо )'(х,у) является периодической функцией х периода Т. 40. Пусть у = <р(х) — решение уравнения у' = у(х,у) с непрерывной функцией 1(х, у) на всей плоскости (х, у).
Показать, что: а) при 1( — х, у) = -У(х,у) функция у = <р(-х) также решение уравнения, б) при У(х~ -У) = -Лх, у) функция у = -~р(х) также решение уравнения, в) при У(-х,-у) = г'(х,у) функция у = — <р(-х) также решение уравнения. 41. Пусть У(х,у) — непрерывно дифференцируемая функция на всей плоскости (х,у) и пусть у(х,у) — периодическая функция по х периодаТи ' )О. ду(х, у) Доказать, что уравнение у' = у(х,у) не может иметь более одного периодического решения.
Ответы к задачам 3 1 1. ху' — 2У = х. 3. У~г =4У. 6. Уг(у~+1) =1 7. (2 г — 1) у'= 2ху. 9 (хг + 2х 2) угг (х+ Цг 2. ху' — у = хг. 4. 2ху'г = 1. (1 хг) у~г хг 8. 4хзугг = 1 10. УУ = 1+ уг. Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 16. у" — 2у'+ у = О. 18. хг (уу" + у'г) = у(2ху' — у). 15. у" +у = О. 17. хгу" + ху' — у = О. й 2.
Уравнения с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории. Однородные уравнения Для решения уравнения с разделяющимися переменными Р(х, у)йх + Я(х, у)Ыу = О необходимо уравнение сначала умножить или разделить на такое выражение, чтобы в результате получилось уравнение, одна часть которого содержит только Их и некоторую функцию х, а другая часть содержит только пу и некоторую функцию у. При делении уравнения надо следить, чтобы не потерять решений уравнения. ПРимеР 1. Решить уравнение (х + 2) (1 + у ) Их + (х + 1)у~Ну = О.
Ь Разделив уравнение на (х+ 1) (1+ уг), получаем уравнение с разделенными переменными х+2 у — Ых+ пу = О. х+1 1+уг При делении на (х + 1) можно потерять решение х = — 1. Подстановка х = -1 в заданное уравнение показывает, что х = -1 действительно явля- ется решением уравнения. Далее имеем где С вЂ” произвольная постоянная. Найдя интегралы, получаем х + у + 1п !х + Ц вЂ” агс16 у = С. /~~2 11.
—, = сов у' !ху'! 13. (хг + е") у' = 2х. *-~ 'Т )у! 14 х (уг хг — 2х) у' = у (уг — хг). ~ 2. Уравнения с разделяющимися переменными Для получения ортогонапьных траекторий заданного семейства плоских кривых нужно сначала составить дифференциальное уравнение семейства кривых г'(х,у,у') = О. Затем заменить в этом уравнении у' на с 11 — —, ) . Это дает дифференциальное уравнение искомых ортогональных у траекторий. ПГИМЕГ 2.
Найти ортогональные траектории семейства кривых у = Фб (1п Сх). Ь Сначала составим дифференциальное уравнение заданного семейства кривых. Дифференцируя по х уравнение заданного семейства и исключая параметр С,получаем уравнение у = 1 1 1+ у' х. совз (1п Сх) х = — ~1+~б (1пСх)) = —. х / 11 Заменяя в этом уравнении у' на ~- —,~, находим дифференциальное уразу пение ортогональных траекторий -х = (1+ уз) у' Иу Заменив у' на — и решив полученное уравнение с разделенными переменах ными, находим уравнение ортогональных траекторий Зх~+2уз+бу = С.
А Однородные уравнения Р(х, у)Их+ Я(х, у)ду = 0 решаются с помощью замены у = х л, приводящей их к уравнениям с разделяющимися пере- менными. ПРимеР 3. Решить уравнение 2худх = (хз + у~) с1у. Ь Замена у = хх приводит заданное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными х (1 + х~) сЬ + х (г~ — 1) дх = О. Заметим, что х = О,х1 — решения этого уравнения. Тогда из замены следует, что у = 0 и у = хх — решения исходного уравнения. При х ~ О, ~1 уравнение с разделяющимися переменными можно записать в виде сЬ / 2х 11 — + ~ — — — ~ сЬ = О. ~х2 Глава 1.
Дифференциальные уравнения первого порядка 12 Решив это уравнение и использовав замену х = —, получаем решения р х' заданного уравнении: х — у =Су, у=О. А Уравнение вида (а1х+ 51 у+ с1)йх+ (агх + бгу+ сг)Ну = 0 в том случае, когда прямые а1х+61у+с1 = 0 и агх+Ьгу+сг = 0 пересекаются, приводится к однородному уравнению с помощью переноса начала координат в точку пересечения прямых.
Решить уравнения (1 — 23): 8. х (1 — у') у' = у (1+ у'). 10. х(р + 1)ду = (1 — уг) йх. 15. хг (хг + 4) у' = совг у. 17. (1+ сов х)уу = (1+ у ) зшх. 19. х(1+ у)у'+ (~/х+ 1пх) (1+уг) = О. 20. (х — 1)ур'» (хг» 1) (у+1)г = 0 21. хгДх+ (1+х~) /Т вЂ” 2ус~у = О. ,яп х . г 22. у'Л вЂ” х~ + х (1 + е") = О.
23. у' +е "Л+еР =О, сов х С помощью линейной замены переменных привести уравнения к уравне- нию с разделяющимися переменными и решить их (24 — 27): 24. (2х+у+ 2)йх — (4х+ 2у+ 9)Иу = О. 25. (4 — х — 2у)с7х — 2(1+ х+ 2у)Ну = О. 26. (2у — х + 1)йх + (4у — 2х + б)ду = О. уг 3. хр'совр+ япу = янгу. 5. 2худх = (1 — хг) с1у. 7. рр'совх = (1 — у) вшх. 9. (хг — 1) р~1х = х (хг »- 1) ~1у, г 11. ху'+уг ~ — — Зх =О. ~х 13.
(х + 1) р' + у(у + 1) = О. 2. (хг + х) у' — (2х + 1)у = О. 4. у' сов х + у(1 + у) яп х = О. 6 хзу,1р = (х 1)<1х 12. (1 — г) уу'+ х = О. 14 (1+ рг) у,1х х(1+2уг) 1р у) 18г х сааб у 18. де*Ну+ хек Нх = О. з 2. Уравнения с разделяющимися переменными 13 (у — Зх+ 2)йх+ (Зх — у — 1)г1У = О. Найти решение уравнений, удовлетворяющее заданному начальному усло- вию (28 — 39): 28 2У(1+рг) сЬ+х(Зуг+у+ 3) Иу = О, у(1) = 1. 29. х(2у — 1)у' + 4уг = О, у( — 1) = -1. 30.
х(1+ у)у' = уг, у(1) = 1. Зх(х + 1)у' = (х + 2)у, у(1) = — 1 31. (у + 2)у' = аш 2х, у(0) = 1. 32. 33. (е*+ 1) у'+ (е * — 1) у = О, р(0) 4 34. (хг + х) у' — (хг + х+ 1) у = О, у(1) = —. 35. (хз + х) у' — (Зхг — 1) у = О, р(-1) = — 4. 1 36. у' + Зуг = Зу, у(0) = —.
37. у = (у + У4) 1ь х у(0) = 1 ху'+ у(1+ у) а1пх = О, у(0) = 1. 2У' = (уг — 2у) е*, у(0) = 1. 38. 39. Найти ортогональные траектории для заданных семейств плоских кривых (40 — 50): е* = С (1 — е а). уг — Се ~*+а). 2х + у — 1 = Сег" *. 50. Найти ортогональные траектории семейства эллипсов, имеющих общую большую ось. 51.
40. у = С(х+ 1)е *. 42. (Се * — 1) у = 2. 44. у (1 + Се ) = 1. 41. Уг Сех +а 43. р = Са1пх — 2. 45. у = Ссоах+ 2. 47. 1+ е" = С(1+хг). 49. ху = Се". Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 14 52. Найти ортогональные траектории семейства гипербол, имеющих общую мнимую ось. 53. Семейство кривых задано в полярных координатах уравнением г(<р) = СД~р), где ~(у) — непрерывно дифференцируемая функция. Составить дифференциальное уравнение ортогональных траекторий.
Найти ортогональные траектории семейства кривых г = Се~. 54. Семейство кривых в полярных координатах задается уравнением г'(д) = гУ(1а), где Ду) — непрерывная функция. Составить дифференциальное уравнение семейства ортогональных траекторий. Найти ортогональные траектории семейства кривых г = С сов у. 55. Доказать, что решение задачи Коши существует и единственно при любых начальных данных для уравнения у' = а(х) 6(у), где а(х), 6(у) заданные и непрерывные соответственно на интервалах (а, 6), ( у, б) функции, причем 6(у) Ф О.
56. Пусть функции 1 (х), д(у) непрерывны на всей числовой оси, причем Щх)! <,, 0 < д(у) < В(1+ )у!), А где А, В, е — положительные постоянные. Доказать, что прн любых хо, уо существует единственное, определен- ное при -оо < х < +со решение уравнения у'=П ) д(у) удовлетворяющее условию у(хо) = уо и имеющее конечные 1пп у(х), 1пп у(х). ж-++Оо г г 58.
ху' = х+у Решить уравнения (57 — 78): 57. ху' = у (1+ 1п — ). 50. хну = (у+,/~+ уг) пх. 61. хну = (у — ~/хг+ уг) Их. 60. хубх (хг уг) бу 62. (х + 2у) 4х + уеду = О. 3 2. Уравнения с разделяющимися переменными 15 (яр+у)у =у. 64. (2х + у)у' = х + 2у. 66. (х + 2у)у'+ р = О. 68. хгр' = 2уг — ху. 70. 2хуу'+ хг — рг = О. 63. (хз + уз) у! хгу (у — х)у' = х+ у. хгу' = уз+ 2ху. 69.
(Зхйр — уйх) (хг + уг) + хгуйу — хуго = О. (х + у + 1)пх + (х — у + 3) Йу = О. (2х — у — 2)(Ь + (х + у — 4)ф = О. 73. (х + 2у — 5)дх + (у — х — 4)ду = О. (х — 1)у'+ Зх + 2у + 3 = О. 76. (х + р — 2)у' + х — у = О. 78. (х + 2у)у' + 2х + 5у — 1 = О. (2х + у — З)у' + р + 1 = О. Решить уравнения, приведя их с помощью замены вида у = в"" к однород- ным уравнениям (84 — 87): 85. (Зхгуг + 1) у' + Зхуз = 0 з 87. у' = х + —.
у (4хг + у4) ду — 2худх = 0 г у =4х г р х4 84. 86. 88. Найти интегральные кривые уравнения хр' = 2 (р+ /рг — х4) проходящие через а) точку (2,5), б) точку (1, 1). Найти ортогональные траектории семейства окружностей, проходящих через начэло координат, центры которых лежат на оси абсцисс. 89.
Найти решения уравнений, удовлетворяющие заданному начальному условию (79 — 83): 79, р' =, у(1) = О. 80. у' = .; у(1) = О. х — 2у' х+ 2у' 81. (уг — Зхг) р' + ху = О, р(1) = ъ/6. 82. хур' = (х — 2у)г, у(1) = 2. 83. (х — у) у' = 4ху, у( — 1) = 2. Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 91. а) Составить дифференциальное уравнение ортогональных траекторий семейства кривых (х~+у~) = а ху. б) Найти ортогональные траектории семейства кривых (х +у) =аху. УкАзлннк.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
