1611689249-2463c0540415b4d8be5bf8d7c9050a3a (826751)
Текст из файла
УДК 517.9 ББК 517.2 Р69 Под редакцией В. К. Романко Ромаиио В. К. Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению / В. К. Романко, Н. Х. Агаханов, В. В. Власов, Л. И. Коваленко.— Мс ЮНИМЕДИАСТАЙЛ, 2002. — 256 сс ил. 1ВВ1ь1 5-93208-120-1 Р69 УДК 517.9 ББК 517,2 Серия «Технический университет» Учебное издание Романко Василий Кириллович Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному начислению Художественный редактор Н. Лозинская Технический редактор Т. Блеицееа Оригинал-макет подготовлен в пакете Ь~ТБХ 2 с использованием кириллических шрифтов семейства ЕН Гарнитура Сопзршег Могшего Лицензия на издательскую деятельность 1Чг 066140 от 12 октября 1998 г. Подписано в печать 13.03.02.
Формат 70х100'/». Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 20,64. Тирюк 5000 экз. Заказ 1374 ООО Издательство «Лаборатория Базовых Знаний» Адрес для переписки: 103473, Москва, а/я 9 Телефон (095)955-0398. Е-пза11: 1Ьхфайаэп Гигиеническое заключение 77.99.2.953, П.9816.3.00 от 22.03.2000 г.
Отпечатано с готовых диапозитивов в полиграфической фирме «Полиграфист». 160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3. Ос Романко В. К., Агаханов Н.Х., Власов В.В., Коваленко Л.И., 2002 Ос ЮНИМЕДИАСТАЙЛ, 2002 1ЯВ1ь15-93208-120-1 Задачник обеспечивает практические занятия по курсу «Дифференциальные уравнения и вариационные исчисления».
В начале кюкдого параграфа приводятся решения типовых задач. Ко всем задачам даны ответы. Для студентов физико-математических, инженерно-физических и экономических специальностей. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 19 24 52 62 уравнения Ответы к задачам 3 7 э 8. Методы решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
Уравнения Эйлера. Ответы к задачам 38. 3 9. Методы решения линейных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами . Ответы к задачам 39. Э 10. Теорема Штурма. Граничные задачи ............................ Ответы к задачам 310 .. Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений 3 11. Методы решения линейных систем уравнений с постоянными ко- 65 78 88 96 101 107 109 Э 1. Составление уравнений заданного семейства плоских кривых. Приближенное изображение интегральных кривых уравнений...
6 Ответы к задачам $1 9 3 2. Уравнения с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории. Однородные уравнения .. 10 Ответы к задачам $2 16 э 3. Линейные уравнения первою порядка. Уравнения Бернулли н уравнения Риккати . Ответы к задачам 3 3 .. 3 4. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
Замена переменных 27 Ответы к задачам 34. 31 3 5. Исследование задачи Коши 32 Ответы к задачам э 5. 42 э 6. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Особые решения Ответы к задачам 36........................".."..." """"" Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка 3 7. Основные типы уравнений, допускающие понижение порядка эффициентами Ответы к задачам 3 11 3 12. Линейные системы уравнений с переменными коэффициентами .. Ответы к задачам 3 12 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений 3 13. Поведение фазовых траекторий в окрестности грубых положений 109 127 150 154 156 156 164 3 14 ний равновесия и на всей фазовой плоскости ..................... Ответы к задачам 3 14 3 15.
Устойчивость по Ляпунову положений равновесия................ Ответы к задачам э 15 $ 16. Первые интегралы. Ответы к задачам 3 16............................................ Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных 173 177 180 185 186 191 317 518 Глава 6. Элементы вариационного исчисления 253 255 256 Список литературы 319 3 20 521 322 равновесия Ответы к задачам $ 13................
Поведение фазовых траекторий в окрестности негрубых положе- первого порядка Линейные однородные уравнения...... Ответы к задачам 3 17 Квазилинейные н нелинейные уравнения .. Ответы к задачам 3 18...................... Простейшая варнационная задача. Ответы к задачам 319 .. Обобщения простейшей вариационной задачи....,................
Ответы к задачам и. 1 3 20. Ответы к задачам и. 2 3 20. Ответы к задачам и. 3 3 20. Изопериметрическая задача. Ответы к задачам 3 21 Достаточные условия строгого слабого локального экстремума в простейшей вариационной задаче .. Ответы к задачам 3 22 194 194 204 211 218 220 220 234 237 241 245 248 248 252 ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящий сборник составлен на основании многолетнего опыта преподавания курса обыкновенных дифференциальных уравнений в Московском физико-техническом институте (государственном университете). В сборнике содержится большое число оригинальных задач, составленных преподавателями кафедры высшей математики МФТИ. Значительная часть задач сборника подготовлена авторами. Н.
Х. Агаханов укомплектовал задачами зб и з13 сборника, В.В. Власов совместно с В.К. Романко подобрали задачи З8 и з11 сборника, Л.И. Коваленко составила задачи з 7 и совместно с В.К. Романко подобрала задачи 82 — 4 и З9 сборника. Подбор задач остальных параграфов сборника и общая редакция сборника осуществлены В. К. Романко. В начале каждого параграфа сборника помещены примеры решений типовых задач. Начало решения задачи отмечается значком Ь, а конец решения — значком А.
В конце каждого параграфа приведены ответы к задачам параграфа. В сборнике предлагается большое количество задач по основным темам программы курса обыкновенных дифференциальных уравнений. Это позволяет использовать сборник преподавателями для аудиторной работы, для домашних заданий, для составления контрольных работ, а студентами для самостоятельной работы. Авторы сборника выражают глубокую благодарность коллективу кафедры высшей математики МФТИ, чья многолетняя творческая деятельность способствовала появлению этого сборника.
Авторы сборника особенно благодарны профессору Г. Н. Яковлеву и профессору М. И. Шабунину за помощь при написании сборника. Глава 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА й 1. Составление уравнений заданного семейства плоских кривых. Приближенное изображение интегральных кривых уравнений Пусть семейство плоских непрерывно дифференцируемых кривых задано уравнением Ф(х,у, С) = О, где у . неявная функция х прн каждом значении параметра С. Если система уравнений дФ дФ вЂ” + — у' = О, дх ду Ф(х,у,С) = О позволяет исключить параметр С, то получается дифференциальное уравнение заданного семейства кривых.
В случае, когда семейство кривых задано уравнением Ф(х, у, Сы Сз) = = О, зависящим от двух параметров С1 н Сз, исключение параметров С,, Сз и получение дифференциального уравнения семейства кривых достигается с помощью нахождения второй производной от Ф по х. Пгимвг 1. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых фу=Се *.
Ь Продифференцируем по х заданное соотношение, считая у неявной функцией х: у .г = — 2хСе " . соаз у Подставляя сюда найденное из заданного соотношения С = е" ф д, полу- чаем искомое уравнение у'+ хвш2у = О. А Чтобы приближенно построить интегральные кривые дифференциального уравнения у' = ~(х,у), необходимо рассмотреть несколько изоклин 3 1.
Составление уравнений заданного семейства плоских кривых 7 уравнения и найти линии, на которых могут находиться точки экстремума и точки перегиба интегральных кривых. Пгимкг 2. Построить приближенно интегральные кривые уравнения у =у — Зх. Ь Правая часть уравнения удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши на всей плоскости (х,у). Поэтому интегральные кривые не могут ни пересекаться, ни касаться. Изоклины уравнения имеют вид у — Зх = к, где к = сопв1.
При )с = О изоклина у = Зх делит плоскость на две части. Слева от прямой у = Зх у' ) О н, значит, интегральные кривые там возрастают, а справа от прямой у = Зх у' ( О и, значит, интегральные кривые там убывают. Следовательно, на прямой у = Зх находятся точки максимума интегральных кривых. Возьмем еще две изоклины.
Изоклина у = Зх+ 1 пересекает интегральные кривые в точках, в которых касательные к ним образуют с осью Ох углы —. Изоклина у = Зх — 1 пересекает интегральные кривые в точках, в 4 Зя которых касательные к ним образуют с осью Ох углы —. 4 Из уравнения найдем у" = у' — 3 = у — Зх — 3. Прямая у = Зх+ 3 делит плоскость на две части. Слева от прямой у = Зх + 3 у" > О и, Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка значит, интегральные кривые выпуклые вниз, а справа от этой прямой у" < 0 и, значит, интегральные кривые выпуклые вверх.
Прямая у = Зх+3 является интегральной кривой, в чем можно убедиться подстановкой в уравнение. Поэтому интегральные кривые не пересекают эту прямую и, следовательно, они не имеют точек перегиба. Проведенное исследование позволяет приближенно построить интегральные кривые заданного уравнения (см. рис.). А Составить дифференциальные уравнения семейства кривых (1 — 18): 1. у = Сх~ — х.
3. у = (х — С)~. С)э+уз — 1 7. 2хэ+ Суэ = 1 2 8. (у — С)э = —. х 9. хэ+ 2х — (у — С)~ = 2. 10. у =18(х+ С). 11. Сх = эшСУ. 13. х = (С+ у)е". 15. у = Асов(х+ ~р). 17. у = — + Сэх. Сь Построить приближенно интегральные кривые уравнений (19 — 38): ю у 19. у' = х — 1 20. 1 — х 21. у' = 22. у — 1' 1 — у 24. у' = 26. у' = х(у+ 1). 28.
у 2У+х 30. у' = 2х — 2У вЂ” 1. 23. у' = 25. у' = 27. у' = 29. у' = (х — 1)у. 2х+ у х — 2У 2х+ 2у+ 1. 2 у х2+Сх 4. (у — С)~ = 2х. 6 хэ+(У С)г 1 12. Су = 18Сх. 14. Уэ + 2Сху + х~ + 2х = О. 16. у = (С~ + Сэх)е*. 18. Уэ = С~хэ+ Сэх. у у = х+1 +1 У 1 — у г 1. Составление уравнений заданного семейства плоских кривых 9 32. у' = у — хг + 2х. 31. у' = у — х — 2х — 2. г 33.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
