1611689249-2463c0540415b4d8be5bf8d7c9050a3a (826751), страница 4
Текст из файла (страница 4)
3 ~ 16. у=с— 17, ху — уз = С. 18. х = Сез" — е". С 1пзх 19. у = — + —. хз хз С вЂ” сов х зшх — 1 22. у= — +х . С 4 хз 21. у = Се* + 2х. С 1 24. у= — +-. хз х С х 23. у= — +-. ха 3 С 1 26. у = — + 1+ —. х хз 25. у = Схз 4хз Ответы к задачам 3 3 1. у = Се *+ е*. 3. ху = С + 1п ~у), у = О. 6. у = Сх+ хз. 8. у = Сх + х 1п )х(, х = О. 16. х = Су + уз, у = О.
12. у = (С+ х') е*. 27 З 4. Уравнения в полных дифференциалах З 4. Уравнении в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Замена переменных Дифференциальное уравнение Р(х,у)дх + 9(х,у)ду = О, заданное в области В, называется уравнением в полных дифференциалах, если найдется такая непрерывно дифференцируемая в Х> функция и(х,у), что Ии(х, у) = Р(х, у)Нх + Я(х, у)с1у. Для такого уравнения решения задаются формулой и(х, у) = С, где С вЂ” произвольная постоянная. Функция и(х, у) ди ди находится из системы уравнений — = Р(х, у), — = Фх, у) дх ' ' ду дЯ дР Если Π— односвязная область и —, — — непрерывны в 11, то до- дх' ду статочным условием того, что уравнение является уравнением в полных дЯ дР дифференциалах, служит равенство — = —. дх ду' ПРИМЕР 1.
Решить уравнение (Зх~ + у — 1) Йх + (х + Зу~ — 1) ду = О. Ь Заданное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, дЯ дР поскольку оно задано на всей плоскости (х,у) и — = — = 1. Функцию дх ду и(х, у) находим из системы уравнений — =Зх +у — 1, ди д ди х — = х+ Зу — 1. ду Из первого уравнения получаем и(х, у) = хз+х(у — 1)+~р(у), где ~р(у)— произвольная непрерывно дифференцируемая функция у. Подставляя выражение для и(х,у) во второе уравнение системы, получаем уравнение ~р'(у) = Зух — 1. Отсюда находим ~р(у), а, значит, и функцию и(х,у). В данном примере можно взять и(х, у) = ха + уз + ху — х — у. Следовательно, решения заданного уравнения задаются формулой х' +ху+у — х — у=С.
,з з Если уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, то можно пытаться найти его интегрирующий множитель. Общего метода отыскания интегрирующего множителя не существуег. В некоторых 28 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка случаях удается решить уравнение, применяя метод выделения полных дифференциалов некоторых выражений и замену переменных. Пгимкр 2. Решить уравнение (у — 4ху ) сЬ = (2х~у~ + х) Ну.
сз Заметим сначала, что у = 0 — решение уравнения. Пусть у ~ О. Урав- пение запишем в следующем виде ус1х — тс1у = 2уз (тзс1у + 2хус1х) . Если разделить уравнение на у~, то уравнение примет вид И( — ) =2Ш( у). Получили уравнение в полных дифференциалах, из которого находим, что х = 2хзу~ + Су, где С вЂ” произвольная постоянная.
Отметим, что 1 интегрирующим множителем заданного уравнения служит функция —. у2' Таким образом, все множество решений заданного уравнения описывается формулами х = 2х~у~ + Су, у = О. А Решить уравнения (1 — 18): 1. (1 — Зх~ — у) Нх = (х — Зу ) Ну. 2.
(уз — 2тз) сЬ + 2хус(у = О. 3. [(т — у)з — х) с1т + [у — (х — у)з) с1у = О. 4. (у — абп т) сЬ + (х + е") с1у = О. 5. (у — х)с(х + (х + 2езв) Ыу = О. 6. (х + у)с(у = (2ез* — у) сЬ, 7. (у + вш х) с(х + (х + сов у) с1у = О. 8. (2х+ уз) с1х+ ЗхуЧу = О.
9. (у — 2х) Нт + (2ху — е1пу)с1у = О. 10. (у — Зх + 1) с1х + (х + 1п у)с1у = О. 11. (уз +1пт) с1х+ (2ху — 1пу)с1у = О. 12. (ех+ у) с(х+ (т+ 2усовуз) с(у = 0 20 З 4. Уравнения в полных дифференциалах з, ХЗ. (1 ~ З '1, р) а* »- (зр' ~- — ) ар = О. у 14. 2х — дх+ 2у+ Иу = О. /у 1~ /х 1 15. ( — + — ~ йх — '( — + — + 2у Ну = О.
(,хг у,) (,уг х 16. е* (1 — — ) дх + (1 + е*) с~у = О. 17. 3 г 4 18 Найдя интегрирующий множитель или сделав подходящую замену пере- менных, решить уравнения (19 — 60): 2ху~1х+ (уг хг) ф О 20. 2худх = (хг — 2уз) 4У. 21. (у — Зх'у') 4х — (х+ х'у') йу = О. 22. 23. (2хуг + у) 4х — (хгу + 2х) Иу = О.
24. УЬ= (х-2У')ау. хзоу + 2 (у — хг) удх = О. 25. угпх (2у ех) ф 26. угох = х(2У вЂ” х)ЫУ. 30. хгс(у = (ху — 2хгуг) с(х. 31. х4У = у(2+ Зху)дх. 32. 27. 28. 29. У вЂ” 4х + [1 + 1и (ху))йу = О, х > О, у > О. х (3~/х - у — 2х) йх = (3,/х - у — 2У) г1У. хну = у (1 — уе*) Их. у = — +2х. у г,~„( у+ з),1 31 З 4. Уравнения в полных дифференциалах 57. 2хузДх+ хгугДу (1 уг) Ду 58.
(2хуг — у) сЬ + (уг 1п у + х — у) Иу = О. 50 хгуу~+хз (хг+уг) 60. 4хгуг(Ь+ хз(2у — 1)сну = О. 61. Найти интегральную кривую уравнения (1 — хгу) дх+хг(у — х)Ыу = О, 1 пересекающую прямую х = — под прямым углом. 2 Ответы к задачам 3 4 '3 2уг + х О х 2 3 3 3. 2(у — х)з = 3 (уг — хг) + С.
4. ху+ сов х+ е" = С. 10. х(у + 1) — хз + у(1п у — 1) = С. 12. е~+ху+ япуг = С. 11. хуг+ х(1пх — 1) +у(1 — 1пу) = С. г 14.х +у + — =С. з1п у х 31 + .+ 3 х у г 15. — — — — у =С. у х 16. у+ хе* = С. г 18. х+ — — — = С. уз 25. хг — 2у1п~х~=Су,х=О,у=О. 26.у е *=у+С. 28. у = Сх+хз. 30. уг — ху = Сх, х = О.
27. х = уе* + Су, х = О, у = О. хг 29. — +2х=С,у=О. 5. хг+ С = 2ху+ 2ег". 7. ху — сов х + вшу = С. хуг — хг+ сову = С. 17. у1п(ху) = С. 19. хг + уг = Су, у = О. хг уг 2(х — у)з + С 23. х+ *'у' = Су', у = О. уз+ 2ху = 2ег" + С. з у = — — х,х=О. х 20. '=Су-у',у=О. 22. х — хзуг = Су, у = О 24. х = Су — уг, у = О. 32 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 32 хзу+хг = Су у =О 34. хгу4 (7х+ 4уз) — С ! 36.хуе зю =С,х=О,у=О. 37. хг = Су ° ез*з, х = О, у = 0 х +2ху 39, =С,у=-1.
1+у 40. — + — = С, х = О, у = О. 1 у хгу х ! 41. ху = Се*~з, х = О, у = О. 42. ху — 1п )у~ = С, х = О, у = О. ! 44. ху = Се*Р, х = О, у = О. 43. хе" = С~/х~ + уг, у = О. 46. хуг = Се*з, х = О. ! 51. у = Схе*Р, х = О, у = О. 53. хбуза С (1+ 5хуз) 55 (4зу+ З)С = (2 — хг) х = 0 х 58, хг+ у(1пу — 1) — 1пу — — = С. у ! 60.
х у ей = С, у = О. б7. у = С (хг + 1) уг + С. 59. (хг+уз) (Сх+ 2) =* 2 61. у = х+ хг + 8+ —. 9 5. Исследование задачи Коши Важную роль в исследовании задачи Коши играет условие Липшица. Говорят, что функция 1(х,у) удовлетворяет условию Липшица по у равномерно по х в некоторой области С плоскости Вг(„1, если найдется такое число Ь > О, называемое постоянной Липшица, что для любых 31. х — хгу=Су,у=О.
хг х 33. — — — = С. 2 у хз Зх7 35. — + — =С,у=О. уб уз 45. у = — +С, х = О. .г+ г хз 2 3 47. — — — =Су,у=О. х у 49. уе*з = Схг, х = О. 38. 1п ~ — + агсзб — = С, х = О, у = О. !уз у 48 хех С (у+,/у2 + уг) г хг ! 50.уге*" =С,х=О. 52. (ху)ы = С(11хуг — 1) . 54. Су(ху+ 1) = у+ 1. 56. е* = хг + С. 8 5. Исследование задачи Коши (х, У1) Е С и (х, уз) Е С выполняется неравенство Следующий пример дает удобные для практики достаточные условия на ~(х,у), обеспечивающие выполнение условия Липшица по у равномерно по х на компакте (ограниченной замкнутой области) плоскости В( „р д?(х,у) ПРимеР 1.
Доказать, что если функции 1(х,у) и непрерывны в области С плоскости В~ р то Дх, у) удовлетворяет условию Лившица по у равномерно по х на каждом компакте К С С. Ь Рассуждаем от противного. Пусть утверждение неверно. Тогда найдутся компакт Ке С С и последовательности (Ь„)„'~ ы Ь„> О, Чп Е ?У, ((х„,у'„))~, С Ко, ((х„,у„"))„, С Ке такие, что Щх„,У„') — 1(х„,У„")) > Ь„(У,', — У'„'1 Так как Ке — компакт, то из последовательностей точек (х„,у„') и (х„,у,",) можно выбрать сходящиеся подпоследовательности (х„„у„'„) -+ — ~ (хо, уе) Е Ко, (х,ц,у,",,) — ~ (хо, уел) Е Ке при й -+ оо.
Рассмотрим функцию ~(х, у') — ~(х, у") ~Я|У ~У ! = и У7-У у — у'~ в достаточно малой окрестности точки (хе У' У"). Если у' ~ уп, из непрерывности ?'(х, у) следует ограниченность функции г'(х, у', у") в этой д1(х, у) окрестности. Если же у' = у,", = уе, то из непрерывности ' следу дует выполнение условия Липшица по у равномерно по х в окрестности точки (хо,уо), что означает ограниченность г'(х,у',у") и в этом случае. Но ограниченность г(х,у',у") противоречит нашему предположению о компакте Ке при достаточно больших пы Это доказывает утверждение примера 1. А ПРимеР 2. Выполнено ли условие Липшица по у равномерно по х для функции ~(х, у) в полукруге х~ + у~ < В~, у > О, В > О, если: а) Дх,у) = х~э1пх+ уз, б) Дх,у) = х+ ~у~, в) Дх,у) = х+ /у? 34 Глава 1.
Дифференциальные уравнения первого порядка 6 В случае а) для любых двух точек (х, у~) и (х, уг) из полукруга имеем: ]~(хру1) — г (х, уг)] = ]у~ — уг] = ]У1 — уг] ]у1 + У1уг + уг] ~~ < -(уг+ угг)]уг — уг] < 311г]у, — уг].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
