1611689249-2463c0540415b4d8be5bf8d7c9050a3a (826751), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Дифференциальные уравнения высшего порядка 6 = О, с = 1. Таким образом, у1 (х) = — сов 2х + хе* — решение исходного уравнения. Общее решение заданного уравнения у(х) = уо(х) + у1(х). А Другим методом решения линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами является метод вариации постоянных. Примкр 3. Методом вариации постоянных решить уравнение 1 у +у= созз х Ь Поскольку характеристическое уравнение Л2 + 1 = О имеет корни Л1 = = — ю', Лз = з, то общее решение линейного однородного уравнения у" +у = О имеет вид у = С~ созх+ Сявшх, где С1 и Св — произвольные постоянные.
Общее решение заданного уравнения ищем в виде у = С1(х) сов х+ Сз(х) в1пх, где С1(х) и Ся(х) — неизвестные пока непрерывно дифференцируемые функции. Согласно методу вариации постоянных для их нахождения составим систему уравнений Е С',(х) созх+ С~я(х) вшх = О, — С1 (х) в1П х + Сз(х) соз х = 1 1 совах' 1, в1пх Отсюда находим, что С,'(х) =, Сз(х) = — . Интегрируя, сов х' сов~ х получаем Г сЬ ГсозЫх ~ Йв1пх 1 з1пх+1 +А, / совх ./ соззх / 1 — вш х 2 в1пх — 1 1' в1пхйх Г дсозх 1 Сз(х) = — ~ +В, ./ созз х ./ созях созх где А и  — произвольные постоянные.
Подставляя найденные значения С1(х) и Сз(х) в выражение для у, найдем общее решение заданного уравнения 1 вшх+ 1 у = А сов х + В з1п х + — 1п, соз х — 1й' х. А 2 вша — 1 З 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Еще один метод решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами основан на использовании преобразования Лапласа. Этод метод называют операционным.
Пгимкг 4. Операционным методом решить задачу Коши ул — 4у'+ Зу = 2(е + е~~), 1) О, у(0) = — 1, у'(0) = 1. Будем считать, что при 1 < 0 у(й) = 0 и правая часть уравнения тождественный нуль. Тогда так продолженные на всю числовую ось 1 Е ( — оо, +оо) решение и правая часть уравнения являются оригиналами. Если у(Ф) ге У(р), то в силу свойств преобразования Лапласа и начальных условий у'(1) ге рУ(р) + 1, у"(Ф) ье р~У(р) + р — 1. Продолженная нулем при ~ < 0 правая часть уравнения имеет своим преобразованием Лапласа ( 1 1 функцию 2 — + — ~. Переходя в исходном уравнении к преобра~р-1 р-ЗГ' зованию Лапласа, т.
е. умножая его на е г' и интегрируя по ~ от нуля до бесконечности, получаем алгебраическое уравнение для нахождения У(р) р У(р) +р — 1 — 4[рУ(р) + Ц+ ЗУ(р) = 2 ~ +— 2 / '1р-1 р-З Если считать комплексный параметр р таким, что Пер ) 3, то из алгебраического уравнения находим 1 ~ 2 2 У(р) — — + р+ 5 (р -1)(р - З) (р -1 р - З Разложим правую часть на простые дроби А В С Р У(")-р — +(,- ) +,— +(,- ) Приравнивая выражения для У(р), находим А= — 2, В= — 1, С=1, Р=1. Переходя к оригиналам, получаем искомое решение у(1) = (Ф + 1) е — (1 + 2) е'.
Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка 70 Уравнение Эйлера авх~у" + а~ху'+ агу = ~(х), х > О, заменой х = е' сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами. Пгимкг 5. Решить при х > 0 уравнение Эйлера х у — хд — Зу = 4х'. д,, „з Ь Если положить х = е~, то у' = е ~у~, у" = е э~(у~", — у',). Подставляя выражения для х, у', у" в заданное уравнение, получаем у" — 2у' — Зу = 4ев~. Характеристическое уравнение Л~ — 2Л вЂ” 3 = 0 имеет корни Л~ = — 1, Лз = 3.
Следовательно, общее решение полученного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид у(1) = С~е '+ Сзе '+ аде'', где С~ и Сз — произвольные постоянные, а коэффициент а находится подстановкой функции пеев' в уравнение. Подстановка в уравнение дает а = 1. Сделав обратную замену 1 =!пх, получаем общее решение задан- ного уравнения Эйлера у(х) = — + Сзх + х 1пх. 3 3 т, Решить линейные однородные уравнения (1 — 38): 2. у" — бу'+ 8у = О.
1. у" — 4д'+ Зу = О. 3. у" -<- Зу' + 2у = О. 5. у" + 5д'+ бу = — О. 7. у" — бу'+ 18у = О. 9. у" + 2у' + 5у = О. 11. д" — 4у' + 4у = О. 13. у" — 8у'+ Гбд = О. 15. у"'+ Зу" — у' — Зд = О. 4. у" — у' — 2у = О. 6. у" — 4у' + 8у = О. 8. у" — 2д'+ 10у = О. 10. у" + 2у' + 2у = О. 12. у" — бу'+ 9у = О.
14. у"'+ 4у" — у' — 4д = О. 16. угл — 7д" + 14у' — 8д = О. 71 З 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами у"'+ 4у" + 5у'+ 2у = О. 18. у"'+ Зу" — 4у = О. 20. у'"+ у" + 4у'+ 4у = О. 22. у"' — у" + у' — у = О. 24. у~~ — 7у"'+ 14у" — 8у' = О. 26. у~~ — бу"' + 9у" + 4у' — 12у = О. 17. у'" — Зу" + 7у' — 5у = О. 19.
у"' + Зу" + 4у' + 2у = О. 21. у~~ — у"'+ 2у' = О. 23. у~~ — 5у"'+ 7у" — Зу' = О. 25. — 2у"'+2у" — 2у'+ у = 0 30 уги — 2у" + у = 0 29. у~~ + бу"' + 12у" + 8у' = О. 32. уеи+ 2у"' — 2у" + 2у' — Зу = О. 31. уп' — 5у"'+ 5у" + 5у' — бу = О. 34. у~" + 5у" + 4у = О. 33. у~и + 8у!! + 16у = О.
36. уе" + Зу" + 2у = О, 38. у"'+ Зу" + Зу'+ у = О. 35. у!~ + 18у" + 81у =- О. Решить линейные неоднородные уравнения (39 — 151): Зу'+ 2у = (1+ х)ег*. 40. у" + 2у'+ у = хге *. 39. 42. у" + у' — бу = — 18хге у' — 2у = -9хе *. уа 41. 44. у" — у'+ — у = е*э!пх. 2 ун у = ее сов х. 43.
— 4у'+4у = хг+ 2ег*. 46. у" +у' — 2у = 2хе ге+ 5эшх. + 4у = 4хе г* — в!п2х. 48. у" + 2у' — Зу = 2соэх — 8хе э*. +9у = 6хе г* — ЗсоэЗх. 50. у" + бу'+ 9у = Збхег*. 45. уя уа — 4у'+ 4у = 32хе г* у 52. у" + у' = (5 — 2х)е — 10э)п2х. 51. у' = (4х+ З)е* — 2соах. 54. у" — 4у' = — 8ег*соэ2х — 8х+2.
у 53. 56. у" + 4у'+ 4у = 2е 4у' + 13у = — 9 соэ 2х — 8 эш 2х. у 55. 2у'+ 5у = 4совх+ 2эшх. 8у'+ 20у = — 2е~"(2 сов х+ вшх). 59. у" + у' — 6у = — 5е э'. !/а уа 58. 61. у" — 7у'+ 12у = — ее*. ул 2у' + у = 2е*. 60. у~~ + 5у"' + 9у" + 7у' + 2у = О. 28. у~~ + 2у"' + 2у" + 2у' + у = О. Глава 2.
Дифференциальные уравнения высшего порядка 72 62. у" — 2у'+Зу = 4совх — 2в1пх+4е~*. 63. у" +2у' — Зу = (2 — 8х)е ~~. 64. у" — у' — 12у = е г'(7соях — бв1пх) — 7е з'. 65. у" +4у = 2соз2х — 8хвш2х. 66. у" + 4у = 2созгх. 75. угз — 2у" + 2у' = 5 соз х + 2х. 76. у"' + 4у' = сЬг х. 83. уев — 2у" +5у' = 5х+4е*. 84.
у"'+у' = — 2е*(совх+Звшх) — 2совх. 85. угв — Зу" — 4у' = — Зсозх — бвшх+ 5е *. 87. у"'+ у" — 2у' = Зе'. 86. угв — у" — бу' = созх+ 7вшх — б. 89. у"'+ 2у" + у' = 4созх+ 1. 88. уса + 4у' = 8сов2х. 90. уев — 4у' = 2е (Зсовх+вшх). 91. у"'+ бу" + 5у' = — 4е *. 92. у"' — Зу" +у' — Зу = бзшх — 2совх. 93. у"' — 4у" + у' — 4у = 2совх — 8вшх.
94. у'"+4у" +5у'+ 2у = е г '. 95. у"'+4у" +4у' = — 4е г . 96. усл — Зу" +4у = беги 98. усл — 8у" + 19у' — 12у = 2ев* — 8совх — Збзшх. 67. у" +1бу = 2зшгх. 69. у" + 2у' + у = хе *. 71. у" + у = 2вшх в1п2х. 73. уеа — 2у" — Зу' = х + 1. 77. угв — 4у' = сов х. 79. угз — 1бу' = вшг 2х. 81.
у"'+у' = 1+зшх. 99. у"'+ у" = е *+ 2соях. 101. у"' — 2у" = ег'. 103. угн + у" — 2у' = 2 — х. 105. уга — 2у" + 2у' = 4х+ сова. 68. у" — 5у'+ бу = 10в1пх+ ег". 70. у" — 7у' + бу = зш х + хе'. 72 ут 2ул Зу! е-гх 74. уев — у" + у' — у = 2соях.
78. у"'+ 1бу' = зЬ~ 2х. 80. уиз — Зу' — 2у = е *. 82. уеа + у' = 4 + 10ег 97. угв — у" — у'+у = е (Звшх — 4совх). 100. уеа — 2у" = в1пх. 102. уга + у" — 2у' = ев' 104. у"'+ 2у" = сов х. 106. угв — 1бу' = 48хг + 2совг 2х. з 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 107. у'" — 2у" + 2у' = 20зш 2 108. у"' + 4у' = ег* — 8 вш 2х. 109. у"' + у" + 4у' + 4у = 40 вшг х. 110.
у"' + 2у" = 2е 111. у"' — 4у" + 5у' = 15хг — 4х+ 8вшх. 112. у'" — 2у" + 2у' = бхг+ 2+ 20соз2х. 113. у"' — бу" + 10у' = 13соях+10х. 114. у"'+ 2у" + 5у' = 2х — 17яш2х. 115. у"' — 2у" +у' = 2х+ 2совх. 116. у"' — 2у" = 16зш2х — 12х. 117. у"' — у" +у' — у = 4хе*+4. 118. у"'+у" + у'+у = 4хе *+4. 119. у"' — у" + 4у' — 4у = 40созгх. 120. у~~ — 2у" + у = 1+хг. 121. у~~ — у = е* соз х. 122. уп' + 2у" + у = хг + 9 вш 2х. 123 ул~+8уз+16у 16хг+9в~пх. 124. уп +18у" + 81у = 64совх — 81хг.
125. угу + 50у" + 625у = 576 сов х+ 625хг. 126. у~~ — 4у'"+ 5у" = 6(1+ 5х) + ег*. 127. уп + 2у" +у = х+соз2х. 128. угу — 16у" = 64яшг2х. 129. ух' +Зу" — 4у = 10зш2х+бег*. 130. у~~+у" = зш 2 135. уп' — 2у"' — Зу" = 8яЬх+10хе.. 136. уп' + 2у" + у = 18 яшг х + 3 вш 2х + хв 137. у~~ — 2у" + у = 8сЬг — + хг — 2е *.
2 139. у" +уз =8сов 2 141. уп'+ Зу"' — 4у" = 5зЬх. 138. у~~ + у"' — 2у" = Зе + 32ег 140. угу — Зу" — 4у = 24соя2х+ 20ег '. 131. у~~ — у" — 2у = 12зшЗхсов2х — 6(е г*+вш5х). 132. 4у~~ — у" = 12хзЬг — +З(8 — хе *). 133. уп — 4у" = 16сЬгх — 8. 2 134. у~~ — 2у"'+ 2у" = 10созг х+ 5(хе* — 1). 75 З 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами у" — Зу' + 2у = е ~, у(0) = О, у'(0) = 1. 172.
у" — у' — 2у = З~е', у(0) = у'(0) = О. 173. у" — 5у' + 4у = (101 + 1)е ', у(0) = у'(0) = О. 174. у" + 5у' + бу = е г~, у(0) = — 1, у'(0) = О. 175. у" — 2у'+ у = 2е~, у(0) = у'(0) = 1. 176. у" +2у'+ у = (1+ 2)е с у(0) 1 у~(0) 1 у" — 2у' — Зу = 4езс 4е ~, у(0) = 2, у'(0) = О. 178 у" + у = 4 сов 1, у(0) = 1, у'(0) = — 1. 179. у» + у = 51егс у(0) = 0 у~(0) = 1 180. у" + 9у = бсоэ31+ 9эшЗХ, у(0) = 1, у'(0) = О. 181. у" + 4у = 4(сов 21 + эш21), у(0) = О, у'(0) = 1. 182. у" + у = 2(соэ 1 — эш 1), у(0) = 1, у'(0) = 2. 183.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
