1611689249-2463c0540415b4d8be5bf8d7c9050a3a (826751), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Рассмотреть какому уравнению удовлетворяет разность двух решений. 53 Пусть о(х) — непрерывно дифференцируемая положительная функция на всей оси и пусть у~(х), уз(х) — линейно независимые решения уравнения у" + а(х)у = О. Доказать, что нули у~~(х) и у~з(х) перемежаются. Уклзлник. Показать, что у~ и уз удовлетворяют соотношению уз у~ у~ уел — — О. 107 я 10. Теорема Штурма. Граничные задачи Ответы к задачам 3 10 вЬх 13. — — зшх. зЬ— 2 12 езх 14.
2х. вЬ 2х 17. — — 1. зЬ2 15. 1 х4 16. -е *. 1 3 18. С(совх+ вшх), С вЂ” произвольная постоянная. 1 — 1пх 23. Нет решений. 21. -(х — х ). я 2 6 19. соз х + зш х. 22. х1пх. 24. С в1п ях — зш 2ях, С вЂ” произвольная постоянная. 25. Л„= — и+ — ) я~, у„(х) = С„зш (и+ — ) ггх, С„ф О, и = О, 1,2, 26. Л„= — и + — ) я~, у„(х) = С„соз ~и + — ~ ях, С„ф О, и = О, 1, 2, 27.
Л„= — и~я~, у„(х) = С„совиггх, С„ф О, и = 0,1,2,... 29. любое Л < О, у(х, Л) = С зги х«/-Л, С ~ О. 30. любое Л < О, у(х, Л) = Сд сова»/ — Л + Ся вшх~/ — Л, /Сг(+ /Сз( > О. 31. Л = — ( — ),у„~ )=С Ю ( ),С ~0, =1,23, 32. любое Л Е ( — оо, 1). Для Л Е ( — со, 0) у(х, Л) = Сх з1п («г' — Л 1п х), С ~ О, для Л = 0 у(х, Л) = Сх 1п х, С ф О, и для Л Е (О, 1) у(х, Л) = Сх(х~»вЂ” — х ~г«), С ф О. 33. Нет собственных значений.
34. любое Л Е ( — оо,1). Для Л Е ( — оо, 0) у(х, Л) = — вш(«г' — Л1пх), для С . х Л=Оу(х,Л) =С вЂ”,дляЛЕ(0,1) у(х,Л) = — (х « — х «),С~О. я 36. Л„= — + 2ия, у„(х) = С„вшЛ„х, С„~ О, и = 0,~1,~2, 28. Л„= — 4ияя~, у„(х) = Сшсов2иях+ Ся„з1п2иях, )Сг„(+ (Ся„( > О, и=0,1,2,... Глава 3 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 3 11. Методы решения линейных систем уравнений с постоянными коэффициентами Для решения линейных систем второго порядка уравнений с постоянными коэффициентами, как правило, удобным является метод исключения неизвестных. Примвг 1. Найти общее решение линейной системы уравнений с х = х — 2у — 21е', у = бх — у — (21+ 6)е~.
с1 Продифференцируем первое уравнение системы: х = х — 2у — 2(1+ 1)е'. В полученное выражение подставим выражение у из второго уравнения системы: х = х — 2(1+ 1) е' — 10х + 2у + 2(21+ 6) е' = х — 10х + 2у + (21+ 10)е'. Подставив сюда выражение 2у из первого уравнения системы, получаем уравнение для х(8): х + 9х = 10е . Его решением является х(г) = С1 сов31+ Сзв1п31+ е', где С1 и Сз— произвольные постоянные.
Подставив х(г) в первое уравнение системы, 1 1 находим у(1) = — (С1 — ЗС2) сов 31+ — (ЗС1 + С2) в1п31 — 1е'. 2 2 Таким образом, общее решение заданной системы уравнений имеет вид х(1) = С1 сов 31+ Сз вш31+ е', по Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений 1 1 у(з) = — (С1 — ЗСз) соз ЗЗ + -(ЗС1 + Сз) на ЗЗ вЂ” Зе'. 2 2 Для решения линейных систем третьего порядка с постоянными коэффициентами удобным является метод, использующий нахождение собственных значений, собственных и присоединенных векторов матрицы системы.
Примкр 2. Найти общее решение линейной системы уравнений (Л Для матрицы системы 1 О -1 А= — 2 3 — 1 4 О 5 из уравнения де$ (А — ЛЕ) = О, где Š— единичная матрица третьего порядка, находим собственное значение Л = 3 кратности три. Из линейной алгебраической системы уравнений (А — ЛЕ)Ь = О, где вектор Ь ф О имеет три компоненты, находим два линейно независимые собственные векторы Ь2= 1 Из системы уравнений (А — ЛЕ)Ьз = Ьз находим присоединенный вектор Ьз к вектору Ьз.
О Ьз= Π— 1 Следовательно, искомое общее решение имеет вид + С~ез2 х=х — з, у = — 2х+Зу — г, з = 4х+5г. х 1 1 у = Сзе~' О + Сзе~~ 1 з — 2 -2 1 О з 1 + Π— 2 — 1 з 11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 111 где Сс, С2, Сз — произвольные постоянные. А Линейные системы уравнений можно решать с помощью матричной экспоненты. ПРИМЕР 3. С помощью матричной экспоненты решить систему уравнений х=х+у, у = — х+ Зу.
(1 11 Й Для матрицы системы А = находим собственное значение ~-1 З) И Л = 2 кратности два. Ему соответствуют собственный вектор Ьс — — и й /0'1 присоединенный вектор й2 = . В базисе из векторов бс, 62 матрица А й с'2 11 принимает нормальную жорданову форму 1 = . Из определения 10 2) матричной экспоненты находим, что С1 2С Если через Н обозначить матрицу, у которой первый столбец Йс и второй столбец Ь2, то е' = Не'~Н С = е2' СА 1+ ) Общее решение заданной системы имеет вид где Сс и С2 — произвольные постоянные.
А Линейные неоднородные системы уравнений можно решать методом вариации постоянных. ПРИМЕР 4. Методом вариации постоянных решить систему уравнений х=х — 2у, 1 у=х — у+ 2еспС 112 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений ( х=х — 2У, Ь Линейную однородную систему, ' решаем методом нсклюу=* у чения. Ее решение имеет вид х = С~ сов 1+ Сг яп1, 1 у = — [(С~ — Сз) сов1+ (С~ + Сз) зш1), 2 где С~ и Сз — произвольные постоянные. Решение заданной линейной неоднородной системы уравнений ищем в виде < х = С~(1) сов1+ Св(1) яп1, 1 у = — [(Св(1) — Сз(1)) соз1+ (С~(1) + Сг(1)) яп1], 2 где С~(1) и Сз(1) — некоторые непрерывно дифференцируемые функции, которые находятся подстановкой х и у в заданную систему уравнений. Подстановка х и у в заданную систему уравнений дает следующую линейную алгебраическую систему для С~(1) и Сг(1): С~(1) сов1+ Сз(~) вш1 = О, 1 С~(1) яп1 — Сз(1) соз $ = —, яп1 Отсюда находим С~(Ф) = 1, Сз(1) = — с18в и, значит, С~(1) = 1+ Сы Сз(1) = — 1п [яп1[+ Ся где С~ и Сз — произвольные постоянные.
Подставляя найденные значения С~(1) и Св(1), получим общее решение заданной системы уравнений х = С~ соз1+ Свяп~+1соз1 — яп11п[яп1[, 1 у = — [(С~ — Сз) соз1+(Св+Сз) яп1+ (1+1п[вш1[) соз1+(1 — 1п[вшХ[) яп1!. 2 А Линейные системы уравнений можно также решать операционным методом, т. е. методом, использующим преобразование Лапласа. Пгимкр 5. Операционным методом решить задачу Коши при 1 ) 0: < х = Зх — у+ 4ез', у = 4х — у — 8ез', х(0) = 1, у(0) = О.
3 11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 113 4 (р — 3) Х(р) + 1'(р) = 1+ —, 8 -4Х(р)+(р+1)У() =-„, Если считать комплексный параметр р таким, что В.ер > 3, то из получен- ной системы уравнений находим (р + 1)(р — 3) + 4(р + 3) 4(7 — р) (р — ЗИ„ 1)2 У(Р) (р )(р — 1)' Разлагая выражения для Х(р) и У(р) на простые дроби, имеем б 5 б 4 4 12 Х(р)— , У(р)— р-3 р-1 (р-1)з' р-3 р-1 (р-1)з' Переходя к оригиналам, получаем искомое решение х(1) = бе~~ — (5+ 61)е', у(1) = 4е~~ — 4(1+ 31)е . Решить линейные однородные системы второго порядка (1 — 14): с х = 10х — бу, у = 18х — 118.
с х = -2х — Зу, у = бх+ 7у. х = 5х — бр, 1) = Зх — р. -5х — бу, 8х+ 9у. — бх+ 8у, — 4х+ бу. -5х — 4у, 10х + 7у. Ь Положим при 1 ( 0 решение х(1), у(1) системы и свободные члены системы тождественно равными нулю. Тогда так продолженные на всю числовую ось 1 Е ( — оо, +ос) решение и свободные члены системы являются оригиналами. Пусть х(1) ье Х(р), у(1) ье У(р). Тогда х(1) нз рХ(р) — 1, р(1) .=' рУ(р).
Переходя в заданной системе уравнений к преобразованиям Лапласа, т. е. умножая каждое уравнение системы на е г' и интегрируя его по 1 от нуля до бесконечности, получаем линейную алгебраическую систему уравнений для нахождения Х(р) и У(р) 8 11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 115 х = — 2х+ 8У+ 6», у = -4х+ 10у+ 6», » = 4х — 8У вЂ” 4». 28. 29. 30. 31. у = 2= 33. 34. 35. 36. х=х — у, у=2+», 2=Х+».
38. 39. 40. 41. 42. 43. 45. 46. х= У »= х + 2У+ 3», 2х+ 4У+ 6», Зх+ бу+ 9». х+2У+2», 2х + у + 2», 22+ 2У+». 2х+ у — 2», -х+», 22+ 2у — ». Зх — Зу+», Зх — 2у+ 2», — х+ 2У. х — бу+ 3», -8у+ 6», Зх — 12У+ 7». — 5у+ 3», -х — бу+ 5», х — 9У+ 6». Зх — у+ 2», 2Х вЂ” 5у+ 2», -2х — 4У вЂ” ». х+2У+2», — у — 2», У+».
х= у= »= х= у= 2 = х= у'= х= у'= »= х= у »= х= у 2= 2Х вЂ” у+ 3», -2х + у + 5», — х — у+ 6». 2Х+ 2У вЂ” 2», 22+ 5У вЂ” 4», — 2х — 4у+ 5». 5х — Зу+ 2», бх — 4У+ 4», 4х — 4У+ 5». 22 — 4у, х+ 2у+», Зу+ 2». х+ 2У вЂ” », — 2х+ у — 2», х+ 2У+». — х — у — », Зх — Ту+», 5х — 5у — 3». — 2Х вЂ” Зу+», х — 8У+ 3», Зх — 7У. — 5х — у+ 3», — 5х — Зу+ 5», — х — Зу+». х+у, -х+», -х — у+ 2». 7х — 4у+», 7Х вЂ” Зу+», 4х — 2У+ 2». З 11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 117 х = — бх+ Зу — 5г, у = -х — у — г, г = Зх — 2у+ 2г. 68.
х = — Зу+Зг, у = — х — 4у+ 6г, г = — 2у+ 2г. 70. х = -2у — 2г, у = Зх+ 5у+ Зг, г = — х — 2у — г. 71 х = 2х + 12у — Зг, у= — х — 5у+г, г = — х — 12у+ 4г 73 77. 79. 80. 82. 83. 84. 85. 86. х= у 6х — 7у+ 4г, х+г, — 2х+ Зу. — 2х — у+ г, 2х — 5у+ 2г, Зх — 2у — 2г. 4х — у+ г, — 2х+ Зу — г, — 5х+ 4у — г. Зх — у+ Зг, — бх+ у — 5г, -Зх+ 2у — 4г. — 2х — у — г, — 4х+2у — г, 16х + 4у + 6г. Зх + 2у — 4г, х+ 4у — г, Зх+ бу — 4г. -2х+ у — г, — бх — 4у+ Зг, — 2х+ 2у — Зг.
7х + 8у — 2г, — 5х — 7у+ г, бх+ 8у — г. 4х — Зу — г, — х+2у+г, 4х — 4у — г. 2х — 5у — 8», 7х — 11у — 17г, — Зх+ 4у+ бг. — 2х+ г, — х — 2у+ Зг, 2х+у — г, 7х+ 4у — г, 13х + 7у — Зг. х+у — х+ 4у — 2г, — 2х + 5у — 2г. — х+ 2у+ г, х — у+г, -2х — Зу — 4г. — 2х+ у — г, 4х + 2у — 2г, бх + 7у — бг. х+ 5у — 2г, — х+ 5у — 2г, — 2х+ 15у — 6г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
