1611689249-2463c0540415b4d8be5bf8d7c9050a3a (826751), страница 14
Текст из файла (страница 14)
3 11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 119 х = -8х + бу — 4х, у = — 8х+ 14у — 4х, х = 4х + 13у+ 2г. х=5х — у+2х, у= -х+Зу — х, х = -4х+2у — ю 107. 108. х = — 5х+2у — 2х, у=х — Зу+г, х = 7х — 5у+ Зх. х = 2х+ 4у — х, у = — 2х — 7у+ 4», Й = -5х — 10у+ 4з. 109. 110. х = -8х+ у — 5г, у = 18х — у+ 10х, х = 11х — 7у+ 10х. х = 2х+5у+х, у = 8х+ Зу+ 4х, х = -14х — 18у — 7х. 111.
112. х = — Зх+ 2у — з, у = 8х+ 4у+ 4х, х = бх — 6у+ 2х. х = 2х+у+з, у = Зх — 6у+ Зг, г = 4х — 16у + 5х. 113. 114. х = 2х+ 4у — 4х, у = 4х — 6у+ 12х, х = -8х — 8у+ бх. х = 6х — Зу+ 7з, у = -Зх — 2у+ г, г = -7х — у — 4х. 115. 116. С помощью матричной экспоненты решить линейные однородные системы уравнений (117 — 136): 117. 119. 121. 123.
125. 127. < х = 2х+у, у = х+2у. х = — Зх+у, у=х — Зу. < х = 2х — у, у = -4х+ 2у. < х=Зх — у, у =х+у. х=х+у, у=-х — у. < х=х+у, у = -5х — Зу. ~ у=2х+у. 120. ~ у=2х — 2у. ~ х=Зх+у, у = — х+5у. 124. ~ у=х+4у. 126. х=х — 2у, у = х — у. ~ х=2х — Зу, ~ у=Зх+2у.
3 11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 121 152. х = 4х — у, у = х+ 2у+ 2ез' 153. х = у+ соз21 — 2зсп21, 154. ) х = х — 2у — 21е', у = — х + 2у + 2 яп 21+ 3 соз 26 ~ у = 5х — у — (21+ 6)е'. 155. х=х+у, 156. ) х = 5х — у+ 5яп1, у = Зу — 2х — 2(1+ 1)ес. ~ у = 4х+ у+ Зяп1 — соз1. 157.
158. х = — Зх — 4у+4в+япс+созс, у = Зх+ 4у — бх — яп1 — соз1, 160. й=х+у — 2я 159. х = 2х — у + г+ соз1, у = 5х — 4у + Зг + яп1, 162. й = 4х — 4у+ Зг+ 2яп1 — 2соз1. 161. 163. 164. 167. 168. й = — в+1. Методом вариации постоянных решить линейные неоднородные системы уравнений (169 — 186): 169. 170. х = Зх+ 2у — 2ес, ~ у = — Зх — 2у — 2е'. х = 2х+у+5, у = х+2у+х, й = -2у+ 2я х = 2х+ у — Зх+ 2е~с, у = Зх — 2у — Зв — 2есс, 5 = х+у — 2г. х = — 9х+ Зу+ 7г+ 2, у=х+у †в, х = — 11х+ Зу+ 9в.
х = — х — у+1, г у = — у — в+21, 1 х = — 2х+4у+ 1+ е' 1 у = — 2х+4у— 1+ е' х = 4х + Зу — Зг, у = — Зх — 2у+ Зв, й = Зх + Зу — 2в + 2е с х = — 5х+ у — 2х+ сЬ1, у = — х — у+ 2зЬ1+ сЬ1, й = бх — 2у+ 2х — 2сЬ1.
х = х+ х — 2сЬ1+ ЗзЬ1, у = — 2х+2у+2г+4зЫ, х = Зх — 2у+ х — зЬ1. х =х — 2у — г — 2е, с у = — х+ у+ х+ 2ес, й=х — х — е. с х = 2х — у + х — 2е ', у=х+2у — г — е — с г=х — у+2х — Зе '. х = 2х — Зу+1, у =х — 2в — 31, 2 й = — у + 2ю + 31 — 2. ес х = — х — у+ —, 1+ ес' ес у = 2х+ 2у+ 1+ ес Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений 122 1 х = Зх — бу+ соаз 31 у = Зх — Зу. < х = 4х — 8у+1841, у = 4х — 4у. 171. еТ х = Зх — 4У+ аш 21' У=2х — у. х = — Зх+у, 1 у = — 4х+у+ —. 4 С' х = Зх+у, ей у = -4х — у —.
+2 х = 2х+у — 1п1, у = — 4х — 2у+ 1п1. ,гс х = — Зх — 2У+ 1+ е' у = 10х+ бу. зс х = — х — 4у+ 1+ егс у = 2х + 5У. х = — 7х+ 2У, е -гТ у= — 15х+4У+ г~' 182. ( 181. ( 184. х = — 2т+ У+11п4, у = — 4х+ 2у+ 211п~ 183. 1 86 х = 4х — 2У, у = 8х — 4у + ~Я.
< х = -8х-4У, у = 20х+ бу — 4с1841. 185. Решить операционным методом задачу Коши при 1 > 0 1187 — 197): с х=х+у, у= — 2х — у, < х = 2х — у, у = Зх — 2У, х10) = у(0) = 1. 188. 187. х(0) = 1, у10) = -1. х=-х — 2у+2е 1, у = Зх+4У+е ', х(0) = у10) = — 1. х = х+у+ ег', у = — 2х+ 4у+ ег', х10) = 1, у10) = 2. 190. 189. 177. ( 1Т8. ( ' = — бх+8У, 2 у = -4х+бу —— сЬ 21 3 гй х = 5х — 6У+ соаг 31 у = Зх — У 1 х = Зх + 2У 1+с 1 у = -Зх — 2У 1+с 1Т2. ( 1Т4.
( 1Т8. ( 188. ( х = 10х — бу, 3ет у = 18х — 11У сЬ 31 3 11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 123 191. 192. 193. 194. 195. 196. 197. Решить каким-либо методом задачу Коши (198 — 224): 198. 199 х(0) = †, у(0) = 2. 1 200. 201. 202. 203. 204. 205. с х=Зх — 4у+е ', у =х — 2у+е ', х(0) = -1, у(0) = 1.
х = х — 2у+1, у=х †у, х(0) = у(0) = О. < х = х+у+ 31+ 6, у = — 10х — у+ 61+ 3, х(0) = у(0) = О, х = Зх+у+ е', у = — 4х — 2У+1е', х(0) = у(0) = О. х = Зх+ у+ е', у = -4х — 2У + $е', х(0) = у(0) = О. < х = 7х — 2У + 81е ', у = 8х — у, х(О) = О, у(0) = —. 1 х = 11х — 2у + 12~е ', у = 18х — у, 2 х(0) = --, у(0) = О. 3' х = -2х — у+ 61, у = -4х — 5у, х(0) = 2, у(0) = 3. с х = 4х — у+е', у = х+ 2у+ Зе', х(0) = у(0) = 1.
х = 4х+5у+4, у = -4х — 4У+ 41, х(0) = О, у(0) = 3. с х =-х — у+е 21 у = 2х + 2у+ 2е~', х(0) = у(0) = 1. < 1 х=2х+ — у, 2 у = — 18х — 4У+ 181ев', х = 5х + Зу, у = — Зх — у+ 91е~', х(0) = —, у(0) = О. 1 < х = — 5х — 2У+ 24е', у' = — Зх — 4у, х(0) = О, у(0) = 2. < х = — 5х — у, у = х — Зу — Збез~, х(О) = 1, у(0) = -6. З 11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 125 222. 223. х = 2х+ у+ ез', у = 2у+ 4х — 4е ', 224.
2 =х — з, х(0) = О, у(0) = -1, г(0) = 1. 225. Найти все решения системы, стремящиеся к нулю при Ь -4 — оо: 226. Найти все решения системы, ограниченные при з -+ +со: х1 = — хз + 2хг + хз — х4, хз = — 4х4 + 4хз+ 2хз — х4, хз = — 4хз + 2х2 + 4хз — х4, х4 х1 + 2х2 + хз х4.
227. Показать, что решение системы уравнений х1 — — -азхз, хз = х1 при каждом из граничных условий: 1) х1(0) = О, хз(Т) = Ь, 2) х4(0) = = О, хз(Т) = Ь, 3) хз(0) = О, х4(Т) = Ь, 4) тз(0) = О, тз(Т) = Ь в зависимости от выбора параметров а, Ь и Т > 0 либо существует и единственно, либо существует и неединственно, либо не существует.
228. Найти решение системы с х — 8х + злобу = О, у — з/бх+ 2у = О, удовлетворяющее начальному условию х(0) = 1, у(0) = у(0) = х(0) = О. 229. Найти решение системы х — у+ з — 4х — 2у — 22 = зш21, 2х — у+ Б+ Зу — 42 = О, х+Б — 2х — у — 4г = О, х = 2х — у+2г, у = х+22, х = — 2х+у — 2+1, х(0) = у(0) = з(0) = О. х=х — 2у — 2+1, у= — х+у+3, — — + х(0) = з(0) = 1, у(0) = О. х = Зх+у — Зз, у = — 7х — 2у+ 92, з = — 2х — у+ 42. 126 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнены!! удовлетворяющее начальному условию х(0) = з(0) = у(0) = у(0) = = г(0) = 2(0) = О. с~ Р 1А щ сов 142 81п Ф 230.
Пусть А = . ДОКаЗатЬ, ЧтО Е'4 = Еь' — о (' ' ~ — и!и!11 созр1 231. Пусть квадратная матрица второго порядка А имеет собственные значения Л1, Л2 и Л1 ф Л2. Доказать, что тогда еЛ21 еЛД1 1А Л 1 Е+ (А Л Е) Л2 — Л1 где Š— единичная матрица второго порядка. 232. Пусть квадратная порядка 11 матрица А имеет собственное значение Ле кратности и. Доказать,что тогда 1А Л,1 ! 2 е = е ' ~Е+ — (А — ЛеЕ)+ — (А — ЛоЕ) + 2 1! 2! 1~~-1 +, (А — ЛеЕ) где Š— единичная матрица порядка 12. 233.
Пусть Л вЂ” собственное значение квадратной матрицы А н пусть 12— соответствующий ему собственный вектор А. Доказать, что тогда ел — собственное значение матрицы е", а !1 — соответствующий ему собственный вектор е 4, 234. Пусть Л1, Л2,..., ˄— собственные значения квадратной матрицы А (с учетом их кратности). Доказать, что определитель )е1А! матрицы е1А удовлетворяет равенству )е1А! е(л1+л2+. +л„)Ф 235. Доказать, что матричные ряды для з!пА и сов А в1пА = ~> А +, сов А = 2 — А ( 1) 2ь+1 ( 1) 21 (2й + 1)1 ' (2й)! сходятся для любой квадратной матрицы А.
З 11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 127 Ответы к задачам $11 1. = С1ез' + Сге' 2. = С1е~ + Сге г' = С1е-гс + Сгегс 4. = Сгем + Сге Й, ( — соз 2Ф вЂ” яп 2З ~, ~ — соз 2г + зш 2г у) ~ 2соз2~+ яви) ~соз21 — 2зш2г х1 г, (созЗт+зшЗз1 г, созЗС вЂ” зшЗз = С1е~~ +С ег~ у) ~ япЗг ) сов 3~ х — соз4з — зш4з — соз4~+ зш41 х сов 5з + яп5з соз 5з — з1п51 х соз28+яп21 соз2~ — яп21 10.
= С1е ' + Сге ' 1 + 11. =С1е'' +Сге ' 1 + С1е †+ Сге-3~ $ + 13. =С1 +Сг ~ + з 11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 129 0 — 1 + Сзезс 0 — 1 1 24. 1 0 -1 = Ссе' 1 +Сг 1 +Сзег' 0 1 1 1 26. 1 2 3 = Сс 1 + Сгег" 1 + Сзег' 0 — 1 0 2 — 1 + Сгез' 1 0 гс + С,е4' 28. — 2 — 3 +Сг 1 +Сз 0 0 1 14С = С,ес 30. — 1 — 1 1 +Сге ' 0 +Сзез' 0 1 31. 1 1 + Сгег' 1 + Сзез' 2 0 2 = Ссес 32. 1 2созС вЂ” япс — 1 + Сг — сов С + Сз 0 2созС = Ссес 33. сс Д вЂ” 2 = С,езс 1 + Сгес' — 2 — 2 =С езс 2 +Сес 7 — 2 1 + Сге' 0 — 1 +С е4с О 2 — 1 + Сзесос 2 — 2 2 яп с + соз с — япс 2зспс 3 11.
Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 131 яп 21 + Све в' вш21 — сов 21 2 вш 21 — сов 21 = С е-Я яп 21 +Сзе' х 1 сов 21+ 3 яп 21 42. у =Све в~ 1 +Сне Я 5вш21 1 3 сов 21 + 4 яп 2Ф +С вЂ” Я х 1 — 3 сов 1+ яп1 43. у = С~е' 0 + Све Я 4соз1+2яп1 + — 1 10 сов 1 — сов1 — Зяп1 +Све Я вЂ” 2 сов 1+ 4 яп1 10 зш 44. у = С~е~ 2 сов 1 2зш8 + Сг — 2 соз 1 + Св — 2 яп1 сов1 — яп1 сов 1+ з1п1 1 сов 1 — яп1 соз1+ вш 2 + СвеЯ 2 сов т — яп1 + Сзем сов1+ 2яп1 3 2 сов 1 2 яп1 х 45.
у = С~е~ х 46. у = С~еЯ соз 21 + Све' соз2$+ яп21 + 2сов21+ яп21 яп1 — сов 1 + Све' соз $ + Све' яп1 сов1 в1п1 яп 21 — сов 21 2 вш 21 — соз 21 3 сов 21 — яп21 5 соз 21 4соз21 — Зяп21 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений 132 4соз1 — Ззш +Сге ' 2соз1 — зшз + — 3 соз1 х 2 47. у =Ссе г' 1 х — 2 3 соя 1+ 4 яп г +Сзе ' сов1+2яп1 — Звш х 1 сов 1 — яп1 сов1+ яп1 48.
у = Сс е' 0 + Сгегс созе + Сзег' вш х — 1 — соя с - яп1 — 4яп~ 1 0 + Сге ' -1 сов 1 3яп1 — 1 -2зсп1 2созс 0 + Сге' 2 соя 1 — яш1 + Сзе' соя 1+ 2 яш 2 соя1+ ьш яп1 — соз | 0 — 2яп21 — 1 + Сге' соз 21 + 1 3 соз 21 + 2 яп 21 2 соз 21 +Сзе' яп 2г 5яп21 — 2соз21 — зш1 + Сзе ' яп1 соя1 52.
у = Сс — сов1 +Сге ' соз1 — япг всп1 — С е-зс 2япс 53. сов с — 1 1 1 1 + Сге"с 0 + Сзевс с 0 0 1 1 х 49. у =Ссе ' х 50. у =Ссе ' х 51. у = Ссес х 54. у =Ссе ' 4 сов 1 яп1 + Сзе — 3 соя 1 сов с 2сов~ + Сзе зс — яп1 О + 2 1 3 11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 133 о + о О 1 2 — 1 1 = Сзе ' 1 +Сге' 1 +Сзе' 1 О 55.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
