1611689249-2463c0540415b4d8be5bf8d7c9050a3a (826751), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Отсюда следует, что при т > 0 траекториями системы служат спирали, движение по которым идет против часовой стрелки, причем при а < 0 спирали заиру пинаются вокруг (0,0) при 1 -+ +со, а при а > 0 спирали раскручиваются вокруг (0,0) при 1 †> +со. ж При исследовании поведения фазовых траекторий на всей фазовой плоскости необходимо находить не только положения равновесия системы, но и предельные циклы.
ПРИМЕР 2. Исследовать при всех значениях вещественного параметра а поведение фазовых траекторий на всей фазовой плоскости для системы х = -у + ах(хз + у~ — 1), у = х + ау(х2 + у~ — 1). Ь При а = 0 имеем линейную систему, для которой начало координат является центром. Пусть а ~ О. После перехода к полярным координатам х(8) = т(1) соз <р(Ф), у(1) = г(1) яп р(Ф) получаем систему уравнений < т = аг(г — 1), гр =т. т = 0 дает положение равновесия (О, 0), а т = 1 является решением.
При т > О, г ф 1, траекториями являются спирали. Если а < О, то т > 0 при 0 < т < 1 и, значит спирали раскручиваются вокруг т = 0 против часовой стрелки при $ -+ +со и стремятся изнутри к окружности т = 1. При а < 0 и т > 1 имеем г < О. Спирали против часовой стрелки извне накручиваются на окружность т = 1 при 1 -+ +оо.
Таким образом, при а < 0 окружность г = 1 является устойчивым предельным циклом. з 14. Траектории в окрестности негрубых положений равновесия 175 Если а > О, то при 0 ( т ( 1 спирали закручиваются вокруг т = 0 при $ -+ +со, а при т > 1 спирали раскручиваются вокруг окружности при $ -+ +со против часовой стрелки, так как р — э +оо при 1 -~ +со.
В этом случае окружность т = 1 является неустойчивым предельным циклом системы. А Исследовать при всех значениях вещественного параметра а поведе- ние фазовых траекторий в окрестности положения равновесия (0,0) для систем (1 — 11): Исследовать при всех значениях вещественного параметра а поведение фазовых траекторий на всей фазовой плоскости для систем (12 — 21): 12. х = у+ах(хг+уг — 2) у х» ау(хг,» уг 2) х = — 2у + ах( ~/хг г+ уг — 1) (2 — ~/хг г+ уг), 13.
р = 2х+ ау(~/ж~ + уг — 1)(2 — ~/хг + уг). 14. х = 2у+ ах(1 — ~/хг + уг)(2 — ~/хгг+ уг), у = -2х+ ау(1 —,/хг + уг)(2 —,,/хг + уг), х = -2у+ ах,/х'+ у', 1. у = 2х + ау ~/хг + уг. х = 4у + ах ~/хг г+ уг, 3. у = -4х + ау~/ж~ + рг. 5. х = 2у+ ах(хг + уг)г, у 2х». ау(хг + уг)г х = -у — аху, г 7. у=х+ах у. 9. х= — у(х +у — а), у = х(хг+ уг — а). 11. 4 = — у(хг+у + а ) у=х(х +у +а ).
х = у+ ах(хг + уг), 2. у = — х + ау(хг + у ). 4. х = -Зу + ах(хг + у )г, у = Зх + ау(х + у ) . 6. х = -ау+ х(хг + у ), у = ах + у(х + у ). 8. „г у= — х+ах р. 10. х = у(-а+ хг + у ), р = — х( — а+х +у ). 176 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений — ау+ х,,/т2+ уг 8!и /х2 + У2' ах+ у~/хг+ у' я и / г+уг' 15. 16. х = [-у+ ах(хг+ уг — 1))(хг+ уг — 1) у [х + ау(х2 + у2 1))(х2 + у2 1) /хг+ 2 в'!2 /х2+ 2 2х + ау~/~2 + у2 . в!пг /х2 + у2 17.
[у+ х(*'+ у'-2)Их'+у'-2), [ х+ау(х2+у2 2)](х2+у2 2) — ау + х(хг + уг — 2), ах + у(хг + уг — 2). ау+ х(Ъ~~ + У 1) ах+ У(~/хг + уг — 1), — у+ ах(~/х~ + уг — 1)2 + ау(~/~2 + У2 1)2 На всей фазовой плоскости нарисовать схематически фазовые траектории систем (22 — 45): 23. 25. 31. 1.=хз 22. ~ У=У.
- < '=: 26. у= 'г+у х = 2(х — уг), 1, у=у(х — у'). 36. у = -2хз < 2 у( г + уг) у=х +у <:=.: < У=у', у =ху. ~. =я+1, ( у=-ху. 35. у=у — у г 37. у=х +у. ( у=Зхг. 41. уг+2 у г хг+ 2ху уг х = 2ху, 4 3 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~ г ~ ~ 2 ~ ~ ~г ~ 2 у = х+ 2уг. х = х(у — хг), '( у = у(у — ' г). у', — ху. в|их, у сов х 34 хг уг — 2ху. ху, х+ у' 38 ~/х, Л 40 г 4 42 хе", уеУ Ответы к задачам 3 14 1.
При а = 0 начало координат — центр. При а < 0 спирали против часовой стрелки закручиваются вокруг (0,0), а при а > 0 они раскручиваются от (О, 0) при г — > +со. 2. (О, О) — центр при а = О. При а < 0 спирали по часовой стрелке закручиваются вокруг (О, 0) при г — ~ +ос, а при а > 0 онн раскручиваются от (0,0) при г -+ +со.
3. (О, О) — центр при а = О. При а < 0 спирали по часовой стрелке закручиваются вокруг (О, 0) при г -+ +со, а при а > 0 они раскручиваются от (О,О) при г — ~ +со. 4. (О, 0) — центр при а = О. При а < 0 спирали против часовой стрелки закручиваются вокруг (О, 0) при ~ — + +со, а при а > 0 они раскручиваются от (О, 0) при ~ — ~ +со. з 14. Траектории в окрестности негрубых положений равновесия 177 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений 178 (О, 0) — центр при а = О. При а < 0 спирали по часовой стрелке закру- чиваются вокруг (О, 0) при Ф -+ +со, а при а > 0 онн раскручиваются от (0,0) при 1-+ +со.
стрелки. (О, 0) — центр при а = О. При а ~ 0 (О, 0) — положение равновесия и аху = -1 — линия положений равновесия, являющаяся траекторией. Остальные траектории — окружности в окрестности (О, 0). (О, 0) — центр при а = О. При а ~ 0 (О, 0) — положение равновесия и аху = 1 — линия положений равновесия, являющаяся траекторией. Остальные траектории — окружности в окрестности (О, 0). (0,0) — положение равновесия при любых а и ха + у~ = а — линия положений равновесия, являющаяся траекторией, при а > О. Другие траектории представляют собой окружности при всех а. (0,0) — положение равновесия при всех а. Траектории представляют собой окружности при всех а.
При а > 0 хя + ув = а является траекторией, все точки которой являются положениями равновесия. 10. При любых а (0,0) является положением равновесия, а траектории представляют собой окружности с направлением обхода против часо- вой стрелки. (0,0) — центр при а = О. При а ~ 0 траекториями являются спи- рали с направлением движения по часовой стрелке при Ф -+ +со. Окружность хв + ух = 2 — устойчивый предельный цикл при а < 0 и неустойчивый предельный цикл при а > О. 12. (О, 0) — центр при а = О.
При а ~ 0 траектории — спирали с направлением движения против часовой стрелки при Ф -+ +со. Окружность хв + у~ = 1 — предельный цикл, который является неустойчивым при а > 0 и полуустойчивым при а < О. Окружность хв + ув = 2— При а = 0 траекториями являются радиальные лучи, по которым движение направлено от (0,0) при 1 — ~ +со. При а < 0 спирали по часовой стрелке раскручиваются вокруг (0,0) при Ф вЂ” ~ +со, а при а > 0 они раскручиваются вокруг (О, 0) при 1 -+ +оо против часовой предельный цикл, который является устойчивым при а > 0 и полу- устойчивым при а < О.
(0,0) — центр при а = О. При а ф 0 траектории — спирали с направлением движения по часовой стрелке при Ф -+ +ос. Окружность х2 + у2 = 1 — предельный цикл, который устойчивый при а > 0 и неустойчивый при а < О. Окружность х2 + у2 = 2 — предельный цикл, который неустойчивый при а > 0 и полуустойчивый при а < О. 14. Окружности х + у = —, и Е И, служат при а ф 0 предельными 2 2 пг циклами, причем они устойчивы при нечетном и Е 2Ч и неустойчивы при четном и Е М.
Начало координат (О, 0) — положение равновесия. Остальные траектории при а ф 0 спирали, по которым движение идет против часовой стрелки при а > 0 и по часовой стрелке при а < О. (0,0) — центр при а = О. При а ~ 0 окружность х2 + у2 = 1 является полуустойчивым предельным циклом. Траектории — спирали, по которым движение идет по часовой стрелке, если они находятся внутри круга х2+у2 < 1, и по которым движение идет против часовой стрелки, если они находятся вне круга х2 + у2 < 1. Точка (0,0)— положение равновесия. (0,0) — центр при а = О.
При а ф 0 окружности х + у = —, п Е Ж, 2 2 п2' служат предельными циклами, которые являются полуустойчивыми, а (0,0) — положение равновесия. Траекториями являются спирали с направлением движения против часовой стрелки при Ф -+ +ос. (О, 0) — центр при а = О. При а ф 0 точка (О, 0) — положение равновесия и окружность х2 + у2 = 2 является полуустойчивым предельным циклом. Траектории — спирали, по которым движение идет по часовой стрелке, если они находятся внутри круга х2 + у2 < 2, и по которым движение идет против часовой стрелки, если они находятся вне круга х2 + у2 < 2 (0,0) — положение равновесия при всех а. При а у6 0 окружность х +у = 2 — неустойчивый предельный цикл.
Траектории — спирали, 2 2 по которым движение идет против часовой стрелки при а > 0 и по часовой стрелке при а < О. 2 14. Траектории в окрестности негрубых положений равновесия 179 180 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений 20. (0,0) — положение равновесия при всех а.
При а ~ 0 окружность х~+у = 1 — неустойчивый предельный цикл. Траектории — спирали, по которым движение идет против часовой стрелки при а > 0 и по часовой стрелке при а ( О. 21. (0,0) — центр при а = О. При а ф 0 точка (0,0) — положение равновесия и окружность ха + у2 = 1 — полуустойчивый предельный цикл. Траектории — спирали с движением по ним против часовой стрелки при 1 -+ +со. 'й' 15. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия Пусть в области Й евклидова пространства А" задана автономная система уравнений х(1) = Дх), где Дх) — непрерывно дифференцируемая в Й вектор-функция с и компонентами, и пусть 0 Е Й является положением равновесия автономной системы. Разложим Дх) в окрестности х = 0 по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано 1(х) = Ах+ о((х~), где матрица А = — ', з,,) = 1,п, оЦх~) -+ О, )х) = хз+ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
