1611689249-2463c0540415b4d8be5bf8d7c9050a3a (826751), страница 19
Текст из файла (страница 19)
+х2 -+ О. дД(0) ху Линейная автономная система х = Ах называется линеаризацией системы х(1) = 1'(х) в точке х = 0 или системой первого приближения для х(1) = ('(х). Из теорем Ляпунова следует, что в случае, когда все собственные значения А имеют отрицательные вещественные части, х = 0 является асимптотически устойчивым положением равновесия для системы х = Дх).
Если же хотя бы одно собственное значение А имеет положительную вещественную часть, то х = 0 является неустойчивым положением равновесия для системы х = 1(х). 1В1 З 15. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия Для линейной автономной системы х = Ах эти результаты можно уточнить. ПРИМЕР 1. Исследовать устойчивость положений равновесия с помощью системы первого приближения автономной системы < х = 1 — 2х — уэ, — 4х Ь Найдем сначала положения равновесия системы. Для этого необходимо решить систему уравнений с 1 — 2х — у~ = О, -4х 1 О Получаем два положения равновесия: (0,1) и (О, — 1). Исследуем устойчивость положения равновесия (0,1).
С этой целью в автономной системе сделаем замену у — 1 = у~ и правые части полученной системы разложим по формуле Тейлора в окрестности точки (0,0), являющейся положением равновесия новой системы. Имеем х = 1 — 2х — (1+ й4)" = — 2 — 2у1 — у~И д1 = — 4х+ о(х). Матрица имеет собственные значения Л1 = 2, Лз = — 4. Следовательно, положение равновесия (О, 1) является неустойчивым. Для исследования устойчивости второго положения равновесия (О, — 1) в заданной системе сделаем замену 0+1 = уп Тогда точка (О, — 1) перейдет в точку (О, 0) и можно в окрестности (О, 0) разложить по формуле Тейлора правые части новой системы. Получаем х = 1 — 2х — (у4 — 1)~ = — 2х + 2у1 — у~~, у4 = — 4х+о(х).
Матрица 0 ) 182 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений имеет собственные значения Л~ = — 1+1~/7, Аз = — 1 — 1~/7. Следовательно, положение равновесия (О, -1) является асимптотически устойчивым. А В тех случаях, когда вещественные части всех собственных значений матрицы А неположительны, причем хотя бы одно собственное значение А имеет вещественную часть равную нулю, исследование устойчивости положений равновесия нелинейной автономной системы с помощью системы первого приближения, как правило невозможно, так как начинают влиять нелинейные члены. В таких случаях используют метод функций Ляпунова (второй метод Ляпунова). Пример 2.
Исследовать устойчивость положений равновесия автономной системы < х = -х+у г у= ху у. Ь Единственным положением равновесия является точка (0,0). В этом случае матрица <':) не позволяет воспользоваться теоремой Ляпунова об устойчивости по пер- вому приближению. Применим второй метод Ляпунова. Если взять в ка- честве функции Ляпунова функцию Ъ'(х, у) = х~ + у~, то ее производная в силу автономной системы Ъ'(х, у) = — ( — х + у ) + — ( — ху — у ) = 2х(-х + у ) + 2У( — ху — у ) = д), др. з г з дх ду = -2(х~+у ) (О, причем Ъ'(х,у) = 0 лишь при х = у = О.
По теореме Ляпунова отсюда следует, что точка (О, О) является асимптотически устойчивым положением равновесия системы. А х=х — у, г г у = 1п(Зх — 1) — 1п2. 1. х = — 3+2х+у, у = агс18 (ху). Исследовать устойчивость положений равновесия с помощью системы первого приближения (1 — 15): 183 3 15. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия х=х у+у, 4.. 3 у = !п(х + у) — Зу. 6. х+ х = !п(1 — Зх+ х2 — х). у=х2+ 2 — 2 < х е2х+2у + х 10. у = атосов(х — х ) — —. 2 х = !и!х+ у), 12. у=х +у — 1. < Х Ев -2у Е2х ! у х 2у у2 14. У~- ' ~-1= г~- ~- 13.
15 При каких значениях вещественного параметра а система 16. х = — х+ау, у = х — у. имеет аснмптотически устойчивое положение равновесия (О, 0)? При каких значениях вещественных параметров а и Ь система 17. х = ах+ Ьу, у = Ьх + ау. имеет устойчивое по Ляпунову положение равновесия (О, 0)? Исследовать устойчивость положения равновесия !0,0,0) для линейных систем (18 — 27): з. ( х = 4 — х(Зу + 2) — 9у2, 1+х у = 1п 1 — 2х х = в!1(х — у), ' = е2*"+ +У вЂ” 1 х = 5х — 8у + 3, х у=1п —.
у х = е*" + у2 — 3, х у = агсфй-. у з 2 х=е2 +у — 3, х у = 4агсф8 —. уь ' 184 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений х = 2х — Зу, у = х — 2г, г = — у+ 2г. х= — 2х+у, у = Зх — з, 18. 19. з = 4у — 2г. х = Зх+ 2г, у = х + 2у + з, х = — х — 4у, 20. у=х — у+з, з = Зу — з. х = Зх — 8у+х, у = х — 2у+з, х = Зх — 12у — 5з. х= у — г, у = — у+ е, з = х — г. 22. 23. х = 7х — 10у — 4з, у = 4х — 7у — 4г, г = — бх+ 7у+ г. х = 7х — 4у + г, у = 7х — Зу+з, з = 4х — 2у+ 2з. 25. х = — Зх+ 2у+ 2г, у = — Зх — у+в, г = — х+ 2у.
х= -х+з, 27. у= — у — з, 26. С помощью функции Ляпунова вида у'(х, у) = ахг+буг исследовать устой- чивость точки (О, 0) для автономных систем (28 — 36): 37. Рассмотрим уравнения х = — 8гад$'(х), описывающие движение некоторых механических систем. Здесь х = (х7,...,х„) и ~'(х) — по- 28. 30. 32. 34. 36. < х = — 2у — хз, у= х — у'. < х= — х — у, г у=ху — х у. < х = — ху, у = — 4хуг — 2уз. < 2 + з у = — х+уз.
х = — 4хгу — 2хз, у = — х'у. 29. х = у — 2хз, у = 2х уз ,г 31 у = -у — 2хгу. 33. ху+ уз х= — у+2 у=2х+уз 185 3 15. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия тенциальная энергия механической системы, имеющая минимум при х = О. Взяв Г(х) в качестве функции Ляпунова, показать, что х = 0 является устойчивым положением равновесия системы. Показать, что если функция Ляпунова Р(х), х = (хы...,х„) для автономной системы х = 1(х) определяет асимптотически устойчи- вое положение равновесия х = О, то К(х) для системы х = — 1(х) определяет неустойчивое положение равновесия х = О. 38. 39.
тельно определенная. Ответы к задачам 3 15 /3 (О, 3) и ( -, Π— неустойчивые положения равновесия. (1, 1) и ( — 1,1) — неустойчивые положения равновесия. < 2'1 О, — ) — асимптотически устойчивое положение равновесия, 21 О, — — ) — неустойчивое положение равновесия.
3) (1, 0) — неустойчивое положение равновесия. (О, 0) и ( — 1, — 1) — неустойчивые положения равновесия. (О, 0) — асимптотически устойчивое положение равновесия, (3, 0) — неустойчивое положение равновесия. (1,1) и (1, — 1) — неустойчивые положения равновесия. (1, 1) — неустойчивое положение равновесия. ( — 1, 1) — неустойчивое положение равновесия. Пусть А — матрица квадратичной формы в ььмерном вещественном евклидовом пространстве. С помощью функции Ляпунова в Г(х) = 2; х~ показать, что х = 0 для системы х = Ах является т=1 асимптотически устойчивым положением равновесия, если квадратичная форма отрицательно определенная, и х = 0 является неустойчивым положением равновесия, если квадратичная форма положи- 186 Глава 4.
Автономные системы дифференциальных уравнений 10. (О, — ~/2) — асимптотически устойчивое положение равновесия, (О, ~/2) — неустойчивое положение равновесия. 11. (О, 1) и (1, 0) — неустойчивые положения равновесия. 12. (О, ~/2) и (О, -~/2) — неустойчивые положения равновесия. 13.
(О, 0) — асимптотически устойчивое положение равновесия, (1, — 1) — неустойчивое положение равновесия. 14. (О, 0) — неустойчивое положение равновесия, (1, 0) — асимптотически устойчивое положение равновесия. 15. (О, 0) и (1, 1) — неустойчивые положения равновесия. $ 16. Первые интегралы Пусть задана автономная система х = ~(х), где ~(х) — непрерывно диф- ференцируемая вектор-функция с п компонентами Г1(х),..., Г'„(х) в неко- торой области С евклидова пространства В" с декартовыми прямоуголь- ными координатами хы хз,..., х„. 16.
а(1. 18. Неустойчивое. 20. Неустойчивое. 22. Устойчивое. 24. Неустойчивое. 26. Асимптотически устойчивое. 28. Асимптотически устойчивое. 30. Устойчивое. 32. Устойчивое. 34. Неустойчивое. 36. Устойчивое. 17. а+ ~Ь! (О. 19. Асимптотически устойчивое. 21. Асимптотически устойчивое. 23. Асимптотически устойчивое. 25. Неустойчивое. 27. Асимптотически устойчивое. 29.
Асимптотически устойчивое. 31. Устойчивое. 33. Неустойчивое. 35. Неустойчивое. 187 З 16. Первые интегралы Для того, чтобы непрерывно дифференцируемая функция и(х), х Е С, была первым интегралом системы х = 1(х), необходимо и достаточно, чтои ди бы ее производная в силу системы и(х) = (игаби(х),1(х)) = ,">" У,(х) — = дх, = О в области С. Первые интегралы и1(х),...,иь(х), 1 < й < и, автономной системы называются независимыми в области Со С С, если ранг матрицы Якоби ди;(х) стем.
2 Примкг 1. Проверить, что функция и(х, у, х) = — (х'+ у'+ г') при х ~ О является первым интегралом системы х = 2хх, у = 2ух, 2 .2 2 Ь Достаточно установить, что и(х, у, х) = О при х ф О. Имеем и = 2хх ° + 2уг ° — + (г х~ — уз — г~ 2у х2 х = -(х(х — у — х ) + 2у х + х(х — х г з з з з г х г — (х +у +гх), х Пгими 2. Показать что функции и1(х,у,х) равен й для всех точек х Е Со. Зная й (1 < й < и) независимых первых интегралов в Сш можно в области Се понизить порядок автономной системы до (и — й), что позволяет либо найти решение нелинейной автономной системы при и ) )2, либо во всяком случае облегчить нахождение решения системы. Знание первого интеграла и(х) автономной системы при и = 2 позволяет нарисовать глобальный фазовый портрет системы на фазовой плоскости, поскольку каждая линия уровня функции и(х) является объединением непересекающихся фазовых траекторий системы.
Кроме того, с помощью и(х) можно определить центр для нелинейных автономных си- 188 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений и21х, у, х) = — являются независимыми первыми интегралами при х > О, у г > О для автономной системы примера 1, Ь Сначала проверим, что и2 — первый интеграл системы примера 1. Име- ем у'1 1 и2 = 2хх (- — ) + 2ух- = О. х2) х Итак, и1, и2 — первые интегралы системы примера 1. Они являются неза- висимыми при х > О, х > О, так как матрица Якоби х — у — х 2у 22 2 2 2 х х 1 — О х у х2 имеет ранг 2 при х > О, 2 > О. В самом деле, при х > О, г > О определитель из элементов второго и третьего столбцов матрицы Якоби 2у 22 х х 1 — О х 22 = — — Ф О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
