1611689249-2463c0540415b4d8be5bf8d7c9050a3a (826751), страница 17
Текст из файла (страница 17)
2 -2 — Л Получаем Лд = — 3, Лз = 2. Так как Л~ и Лз разных знаков, то положение равновесия (0,0) является седлом. Для того, чтобы нарисовать картину поведения фазовых траекторий, осталось найти линейно независимые собственные векторы 6~ и Аз для Л~ и Лз. Для Л~ = -3 собственный вектор з 13. Траектории в окрестности грубых положений равновесия 159 (1~ /21 6~ =, а для Лз = 2 собственный вектор йз =, Известно, что ~ — 2) ' й в случае седла траекториями являются гиперболы, для которых прямые, определяемые векторами Ь~ и Ьг, служат асимптотами.
Лучи этих прямых тоже траектории. Поведение фазовых траекторий в этом случае схематически показано на следующем рисунке, где стрелки указывают направление движения по траекториям при 1 — ) +ос. и ПРимеР 2. Для уравнения х+я~ — е = 0 найти положения равновесия, определить их характер и нарисовать фазовые траектории линеаризованного уравнения в окрестности положений равновесия. Ь Введя обозначение ъ = у, преобразуем уравнение к системе < Х=Д, у = — из+ е По определению положениями равновесия и фазовыми траекториями заданного уравнения являются соответственно положения равновесия и фазовые траектории этой системы. Приравнивая нулю правые части системы, находим положение равновесия (1, 0). Перенося начало координат в З 13.
Траектории в окрестности грубых положений равновесия 161 Найти положения равновесия, определить их характер и нарисовать фа- зовые траектории линеаризованных систем в окрестности положений рав- новесия для автономных систем (1 — 52): 1. х = ев*-~гю +, з 2. у = агссов(х — х ) — —. 2 *'=! с; ~Г-';ту — у) — ~ 2, 3. 2 4.
~ у = — агсСц (х+ Зу)п+ 2 — у. г х = вЬ(у — хз — х), 6. у = Зх — х~ — у. х = 1п(х+у), у=х +у — 1. 8. ( 1п (1 — у), з/х — 4у -)- х — 2. 1п (5 — 2х — 2у), е*" — 1. 2х+ у~ — 1. вгпх — у + 1. 2 Зх — ху+ 2, х — х — 2. г 3 13. Траектории в окрестности грубых положений равновесия 163 42. ( 1 х = — 4 — 6У вЂ” 4уз — 1, 2 у Ь,(хз 7У) + 2У вЂ” г-г*-зю+ .
у = агс$8 (хг — 1), 41. с х = 1 — е* 4 1 у = СЬ(2+ х — хг). 44. 42. ( 42. ( 46. х = агс18(х — у — 1), у=фЗ 4-22 — 2 — 1. (х 3 у = агс18 ~ — + -х — 2У '2,2 5 Уу г — 1п (2х — 1). 3 4 х=х — у, г 48' °, г у = агсф(1 — у ). 20. ( 42. ( *'=2 — 2ЛС уу, у Еув+гуу+В~ < х = агсвш2 (з~-* — 1), у = 1 — 4х+ Зу. 1 — ~/Г+ 2у, вш (~/х — у — 1).
51. 2(~/х х— у — 1), вЬ(х+ у — 1). Найти положения равновесия, определить их характер и нарисовать фа- зовые траектории линеаризованного уравнения в окрестности положений равновесия для уравнений (53 — 82): 44. 2.1- '.1.1= Л.1- +~ 56. х'+ Зх = 1п(х+ из). 58. х — 4х+ 2хг — х — 3 = О. й + х = 1п (1 — Зх + хг — х). 44 х+хз = е 53 55 х + 2х + х 2хг + 1 О 33.
35. 37. 30. < х = вЬ(2х+ у — хг), у = 1п(1+ Зх — х ). < х = 1п(2 — х + у), 4(ж~-1) х = 4х + 2у — 4, у = -2х — ху. < х = 8+ 4У вЂ” 2ху, у = хг — 4уг. 34. х = агсф8(х — у — 4), у = 2х — 2У вЂ” 4~Фх~ — 1. г 36. х = 1 — 2х — у, г 38. х = хг — 4уг, У=2 — 2У. / х= фухх+у+у — 2, ~ у = — 1п(1+ х). 164 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений 60.
х егв хз О 59. х — (1 + х)г + хз = О. 61. 2х+ 5вьпх+ ~(Г+ 4х — 1 = О. 62. х — агсяп(х — 2х) + 71п(1 — х) = О. 63. й . *' — 4ф~ 'Л вЂ” +3*=0. 64. х — ез 4* + 21п (1 — х) + 1 = О. 65. х' + Ц (2х + бх) — 3 1п (1 — х) = О. 66. х + хз(1 + 1п (1 + 2х)] = (1 + 2х)г. 67. х+ 2е* — хзсозх = 3. 68. х + (2 + х)г агсзб х + тз = 1.
69. х = 5агс18 (х — 1) + 4е*япх. 70. х = (Зх — 2х)е* . 71. х+ (4х+ Зх)ех = О. 73. х — х — х[агс18(4х) — 2] = 1. 72 х — (х + 4х)з + 2х + 1 0 74. Зх+3(х — 3) яп (2х) 5хз+5 = 0 5Л 75. х+4х — 1и х — 2х+ — ) = О. 76. х+1п(1 — 2х) +2агсгбх = О. 3) 1+а 78. х = Загсяпх — 2!п 3 — х 77. х + Кбх + 5х + соз х = О. 79. х + Зх — 4х + 2хг = 0 81. х+5х+бх+2хг = О. 80.
х — 5з1 — бх+ Зхг = О. 82. х — Зх + 4х — 4хг = О. Ответы к задачам 3 13 1. ( — 1,1) — седло, Лз = — 1, Лг = 4, А~ =, Аг = ПримечАние. В ответах даны координаты положений равновесия и их тип. В случаях узла и седла указаны собственные значения Лг и Лг и соответствующие им линейно независимые собственные векторы 1и и йг для матрицы линеаризованных систем. В случае фокуса знак О означает движение против часовой стрелки по траекториям при 1 -+ +оо, а знак О означает движение по часовой стрелке по траекториям при г -+ +ос. Данных ответов достаточно для изображения фазовых траекторий линеаризованных уравнений и систем в окрестности положений равновесия.
3 13. Траектории в окрестности грубых положений равновесия 165 2. (1,0) — устойчивый фокус, О. 3. ( — б, 2) — неустойчивый узел, Лг = 1, Лг = 4, 6~ =, Ьг = ~ — 1)' ~ — 2) 4. (0,2) — устойчивый фокус, О (2,0) — седло, Л~ — — — 2, Лг = 2, 6, =, Ьг = 5. (0,0) — седло, Лг = — ~/3 — 1, Лг = ~/3 — 1, 6, =, 6г = 1 (1,2) — устойчивый узел, Л~ = — 2+~/2, Лг = — 2 — ~/2, Ьг = Ьг— б. (О, — 1) — неустойчивый фокус, О; (0,1) — седло, Лг = — ~/б, Лг = Л, 6г — — ~ ), 6г = ~ ). 1 2 — ~/6~ 1 2 + ~/б 1 7. (О, 1) — неустойчивый узел, Лг = 1, Лг = 3, 6~ =, Ьг = 1 1 ) (1,0) — седло, Л~ = — (1 — ~/ГЗ), Лг = -(1+ ЛЗ), Ьг = 2 ' 2 ~1+ ~З1' /ГЗ вЂ” 1 8.
( — 1, — 5) — устойчивый фокус, О; (2,7) — неустойчивый узел, Л~ = 2, Лг = 3, Ьг =, 6г = 9. ( — 1, — 1) — устойчивый фокус, О ( — 1,1) — седло, Л~ = — 2, Лг = 3, Ьг = ~, Ьг = ~ ) . 10. (5, — 1) — неустойчивый фокус, О; 3 13. Траектории в окрестности грубых положений равновесия 167 18. (1, 0) — устойчивый фокус, О. 19. ~(2+ 1 2 +;ГЗ (О, 0) — устойчивый фокус, 0; 23 ~/2 — 1 ~Г2+ 1 24.
25. 26. (О, 0) — неустойчивый фокус, О; 27. 20. 21. (1,0) — устойчивый узел, Л~ = — 1, Лг = — 3, 6~ = ~, Ьг —— ~ Н' И (1, 1) — неустойчивый узел, Л~ — — 1, Лг = 3, 6~ =, Ьг = 1 (0,0) — седло, Лг = — ~/2 — 1, Лг = ~/2 — 1, й~ = —, Ьг = 12 — ~/31 (3, 3) — неустойчивый узел, Л~ = 2 — ~ГЗ, Лг = 2+ ~ГЗ, 6~ = (1, -1) — седло, Лг = -~/2, Лг = ~Г2, Ь| = , Ьг = Л вЂ” 1) ' ~,Гг+1) ' ( — 1, — 2) — устойчивый узел, Лг = — 2 + ~/2, Лг = -2 — ~Г2, Ь| = (0,0) — седло, Л~ — — — ~ГЗ вЂ” 1, Лг = ~ГЗ вЂ” 1, 6~ —— ~ ~-), Ьг = ~ ~-). (О, 0) — неустойчивый фокус, О. (0,0) — седло, Лд = — 1, Лг = 1, 6~ —— ~ ~, йг = ~ < 31 3, — — ) — неустойчивый фокус, О; (О, 0) — седло, Лд = — 1, Лг = 3, 6| =, Ьг = ~ ) . -1 ' 1 169 3 13. Траектории в окрестности грубых положений равновесия 38.
(1, — 1) — устойчивый фокус, О. 43. 44. с 1 1'~ — -) — устойчивый фокус О 2' 5) 45. (1, О) — неустойчивый фокус, О; 46. (1, 1) — неустойчивый фокус, О; 47. 40. 41. 42. (2, — 2) — седло, Л1 = — 2, Лг = 4, 61 =, 62 = ( — 2, 1) — устойчивый узел, Л1 = — 2, Л2 = — 4, 61 =, 6в = ~-1)' ~% (2, 1) — седло, Л1 — — — 2, Л2 = 4, 61 =, 62 = ( — 2, — 1) — неустойчивый фокус, О; (4,2) — устойчивый узел, Л1 — — — 8, Л2 = — 12, 61 =, 6з = (О, 1) — неустойчивый узел, Л1 = 1, Л2 = —, 61 = ~ ), 62 = ~ ) . з' (-1) ' (-3) ( — 1, 1) — седло, Л1 = — 3, Л2 = 2, 61 =, 6з = (1,0) — устойчивый узел, Л1 = — —, Лз = — —, 61 = ~ ), 62 = ~ ) .
2' 2' ~ 2) 16) ( — 1, 1) — седло, Л1 = — 1, Лз = 3, 61 =, 62 = ~-3)' Ц' (2,4) — устойчивый узел, Л1 = — 1., Лв = — 3., 61 =, 6в = (О, О) — седло, Л1 = — —, Лз = —, 61 =, 62 = ( — 2, — 3) — седло, Л1 = — 1, Лг = 3, 61 —— , 62 = ~2~' ~-2) 171 3 13. Траектории в окрестности грубых положений равновесия 59. 60. 61. 62. (0,0) — седло, Лд = -4, Лг = 2, Ь~ =, Ьз = /. '1-4!' '12 ~ =(') 64. (0,0) — седло, Л~ = — 5, Лз = 1, Ь~ = ~ ), Ьз = ~ ). ~ — 5)' '11) ;=(',) 67. ( — 1, 0) — седло, Л~ = — 3, Лз = 1, Ь~ =, Ьг = ~ ~-3)' Ц' (1~ 68. (1, 0) — устойчивый узел, Л~ = — 1, Лз = — 3, Ь| = — 1 69.
(1, 0) — седло, Л~ — — — 1, Лг = 5, Ь~ =, Ьг = ) . ~ — 1)' ~5) 57. 58. < 1 — —,0 — устойчивый фокус, О; (1, 0) — седло, Лд = -3, Лз = 1, Ь~ = ~ ), Ьз = ~ ) . 3 —,0 — неустойчивый фокус, О; ( — 1, 0) — седло, Л~ — — — 1, Лз = 5, Ь~ =, Ье = ~ — 1) ~ 5~ (1, 0) — неустойчивый фокус, О. ( — 1, 0) — неустойчивый фокус, О. 1 (21 (О, 0) — устойчивый узел, Л~ = — —, Лз = — 2, Ь| = /1'1 (О, 0) — неустойчивый узел, Л~ = 1, Лз = 3, Ь~ =, Ьз /1~ (О, 0) — устойчивый узел, Л~ = — 1, Лз = — 5, Ь| —— ~-)' (1, 0) — неустойчивый фокус, О.
3 14. Траектории в окрестности негрубых положений равновесия 173 (0,0) — устойчивый узел, Лг = — 2, Лг = — 3, 6 =, Ьг = ~ — 2)' ~ — 3) 82. (0,0) — неустойчивый фокус, О; (1, 0) — седло, Л1 —— — 1, Лг = 4, Ь! =, 6г = ~ — 1)' ~4) 3 14. Поведение фазовых траекторий в окрестности негрубых положений равновесия и на всей фазовой плоскости Для автономной системы второго порядка < т = И*,у), у гг(т~у)~ с непрерывно дифференцируемыми 11(т,у), Ят, у) в некоторой области С С В(~ „) положение равновесия (амаг) называется негрубым положением равновесия системы, если матрица линеаризованной в точке (ам аг) системы имеет такие собственные значения Лы Лг, для которых либо Л1 = Лг, либо КеЛ1 — — О, либо Ке Лг = О.
В окрестности негрубого положения равновесия фазовые траектории нелинейной автономной системы и ее линеаризации могут себя вести принципиально по-разному. ПРИМЕР 1. Исследовать при всех значениях вещественного параметра а поведение фазовых траекторий в окрестности положения равновесия (О, 0) для системы с х = — у+ ат(тг+ уг) т+ау( г+уг) Ь Точка (0,0) является центром для линеаризованной системы в точке (0,0) при а = 0 поскольку матрица линеаризации имеет собственные значения Л = Ы. Чтобы исследовать поведение фазовых траекторий заданной системы при а ~ О, перейдем к полярным координатам т(1) = г(г) спнор(г), у($) = 174 Глава 4.
Автономные системы дифференциальных уравнений = т(1) вшу(1). Получаем систему вида тсоз~р — театр = — тяпу+ от сезар, з тяпу+ т~рсоз<р = т сезар+ атз вшу, откуда находим , з тф=т. При т = 0 имеем положение равновесия. При т > 0 у = 1+ С и ~р — > +оо при 8 -~ +со, а т < 0 при а < 0 и т > 0 при а > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
