1611689249-2463c0540415b4d8be5bf8d7c9050a3a (826751), страница 12
Текст из файла (страница 12)
10. у = (С1 + Сгз/х + х)е '. (С1 + Сгхг + Зх ) ег*. Сзх+Сге + ~-х — х е . х ! 2 х 1,2 С1егх + Сг(2х + 1) — е4*. 11. у= 13. у= 14. у= х(Сз + Сгех) + х е'. С1е + Сгх + -х — 1. х 3 2 (С1 + Сгхг) е' + — (2х — 1) ез . 4 15. у= 16. у = 17. у = С1е + Сг (х + 1) + ~-х — х — х е . х 2 !1,з г ~з 18. у = С1 е х + — — -(х + Ц 2х С2 х 2 Сг 1 19. у = С1 ех + — — -х — 1. хз 4 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка 101 3 10. Теорема Штурма. Граничные задачи 86.
=С +С =1+~~ 2" 2 3 3.5 4 7...п(2п — 1)' в=д ( — 1)" х" 6 ~'3 2п 2 5 3 7...п(п+1) (2п — 5) !! 87. у = Сдуд+Сзуз, уд =1 — Зх+х~+ 5,дх", (2п — 1)!! в=3 уг = (1 — х)д/х. 3 4 3 „(2п-5)!! а) у 1 ! Зхз+ х4 ! ~~Д ( 1)в " х2в Д оо 5 5 9 13... (4п — 3) б) у = Сдуд + Сзуъ уд см, в п. а), I 3 2 вд1. 5... (4п — 7) зв вд 2 3 10. 'Георема Штурма. Граничные задачи При решении задач на теорему Штурма необходимо заданное уравнение привести сначала к двучленному уравнению.
Затем сравнить количество нулей нетривиальных решений полученного уравнения с количеством нулей нетривиальных решений соответствующим образом подобранного линейного уравнения с постоянными козффициентами или уравнения Эй- лера. ПРимеР 1. Доказать, что любое нетривиальное решение уравнения у" + 2ху' + 5у = О на интервале ( — оо, +оо) имеет не более 6 нулей. 2 Заменой у = е з х заданное уравнение приводится к виду ил+ (4 — х~)х = О. При [х! ) 2 всякое нетривиальное решение полученного уравнения имеет не более одного нуля.
При [х[ < 2 имеем 4 — х~ < 4. Поскольку любое нетривиальное решение уравнения хи + 4х = О на отрезке [ — 2,2] имеет не более трех нулей, то по теореме Штурма любое нетривиальное решение уравнения вл + (4 — х~)х = О имеет на [ — 2,2] тоже не более трех нулей. Так как число нулей любого нетривиального решения заданного уравнения в силу замены совпадает с числом нулей нетривиальных решений уравнения вл+ (4 — х2) х = О, то задача решена. А Решение граничной задачи, собственные значения и собственные функ- 102 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка ции граничной задачи находятся подстановкой общего решения уравнения в заданные граничные условия. Пример 2.
Найти решение граничной задачи у" + у = Зсоз2х, у(0) = — 1, у'(я) = О. Ь Общим решением заданного уравнения является у = С1 соз х+ Сз зш х— — сов 2х. Подставляя зто решение в граничные условия, получаем систему для нахождения постоянных С1 и Сьс < С, — 1=-1, — Сг = О. Отсюда С1 = Сз = 0 и, значит, решением граничной задачи является у = — сов 2х. А Пример 3. Найти собственные значения и собственные функции граничной задачи у" = Лу, х Е ~0, 1], у(0) = у(1) = О.
Ь Нетрудно видеть, что при Л > 0 граничная задача имеет лишь тривиальное решение, т. е. никакое Л > 0 не может быть собственным значением граничной задачи. Пусть Л ( О. Тогда общим решением уравнения является у = С~ соз х~( — Л + Сз з1пх~/ — Л и подстановка его в граничные условия дает уравнения для нахождения постоянных С1 и Сз: С1 = Сз зш ~/ — Л = О.
Так как собственными функциями являются нетривиальные решения граничной задачи, то Сз ~ О. Значит, з1п~/ — Л = О. Отсюда находим, что собственными значениями задачи являются числа Л„= — пзяз, а соответствующими им собственными функциями являются у„(х) = С„з1ппях, где п = 1, 2, 3,..., а ф— произвольная постоянная, отличная от нуля. в Для нахождения функции Грина граничной задачи следует воспользо- ваться ее определением.
1. Доказать, что каждое нетривиальное решение уравнения у"+ 1 + у = 0 имеет на интервале (О,+со) бесконечное множество 1+ ~(х нулей. 103 3 10. Теорема Штурма. Граничные задачи Доказать, что каждое нетривиальное решение уравнения ул+ 1 + у = 0 имеет на промежутке [О,+со) лишь конечное число 4(хз + 1) нулей. Доказать, что каждое нетривиальное решение уравнения р"+ 1 + з у = 0 имеет на промежутке [О, +со) бесконечное число нулей. 1+ г Доказать, что любое нетривиальное решение уравнения у» — ху'+у = 0 на интервале ( — оо, +со) имеет не более пяти нулей. Доказать, что любое нетривиальное решение уравнения ув-(х-3)зр'+ +(х + 1)у = 0 на интервапе ( — оо, +со) имеет не более шести нулей. Доказать, что любое нетривиальное решение уравнения ув + хзу'+ +(х+ 4)у = 0 на интервале ( — оо, +оо) имеет не более шести нулей. Доказать, что решение уо(х) уравнения Бесселя ху" + у'+ ху = 0 при 0.1 < х < 10 имеет не менее трех нулей.
Доказать, что нетривиальное решение у (х) уравнения ху" + + ~ — — х! у — ау = 0 при любом значении вещественного параметра 1,2 а имеет на интервале (1, +со) лишь конечное число нулей. Доказать, что решение,У~(х) уравнения Бесселя хзув+ху'+(х~ — 1)О = = 0 имеет один из нулей на интервале (3,7). Доказать, что каждое нетривиальное решение уравнения р + — у+ 2 х +е*у = 0 на промежутке [1, +со) имеет бесконечно много нулей х~ < < хя « хд < и при этОм 1пп [хв хд ~[ 0 и-+-~-оо 10. Найти решение граничной задачи (12 — 24): у" — р' = 2ез*, у'(0) = 2, у(1) = е~. ув — у = 2 в1п х, у(0) = у ( — 1 = О.
~2/ 13. 11. Доказать, что каждое нетривиальное решение уравнения х~р" + +2х у + ~ — х — 2 у = Онаинтервале (О +со) имеет неболее одного 2 ~ 1 2 1.2 нуля. 104 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка 14. у" + у' = 2, у(0) = О, у(1) = 2. /1Л 15. халуп+ 2ху' — 12у = О, у(1) = 1, у(х) = О ( —, ) при х — ~ +ос. 16. у" — у = еа*, у(0) = —, у(1) = — е . 2 3' 3 17. у" — 4у = 4, у(0) = — 1, у(1) = О.
18. у + у = О, у(0) = у'(О), у (2) +у (2) = О. 19. у" + у = О, у(0) = у'(0), у ( — ) = у' ( — ) + 2. 20. х~у" + 2ху = —, у(1) = 1, у(е) = О. 21. хяу" ~- 2ху' — бу = хз, у(х) = 0(х~) при х -+ О, у(1) = 1. 22. хеу" + ху' — у = 2х, у(1) = О, у(2) = 21п2. 23. у" + яау = 1, у(0) = у(1) = О. 24. у" 1- яту = Зяг аш 2ях, у(0) = у(1) = О. Найти собственные значения и собственные функции граничной задачи (25 — 34): 25.
у" = Лу, у(0) = у'(1) = О. 26. у" = Лу, у'(0) = у(1) = О. 27. у" = Лу, у'(0) = у'(1) = О. 28. у" = Лу, у(0) = у(1), у'(0) = у'(1). 29. у" = Лу, у(0) = О, у(х) = 0(1) при х — + +со. 30. у" = Лу, у(х) = 0(1) при х -+ — оо и при х — ~ +со. 31. хзул — ху' + у = Лу, у(1) = у(2) = О. 32. хзул — ху'+ у = Лу, у(х) — ~ 0 при х — ~ О, у(1) = О. 33.
х~у" — ху'+ у = Лу, у(1) = О, у(х) = 0(1) при х — ~ +со. 34. хяу" + Зху'+ у = Лу, у(1) = О, у(х) — > 0 при х -+ +оо. з 10. Теорема Штурма. Граничные задачи 105 Доказать, что всякое вещественное число Л является собственным значением граничной задачи у" = Лу, у(0) = у(1), у'(0) = — у'(1). 35. Рассматривается граничная задача на собственные значения — у" + о(х)у = Лу, у(х) ~ О, у(0) соз а + у'(0) з1п а = у(1) соз,9 + у'(1) яп)3 = О, где д(х) — заданная непрерывная функция на [О, 1], а и 8 — заданные числа. Доказать, что: а) собственные значения граничной задачи вещественны, б) собственные функции у(х, Л1) и у(х, Лз) соответствующие различным собственным значениям Л1 и Лз ортогональны, т.
е. 1 | у(х, Л1) . у(х, Лз)11х = О, Л1 ~ Лг. о 38. Рассматривается граничная задача вида — у" + д(х)у = Лу + Дх), у(0) соз а + у'(0) яп а = у(1) соз ~3 + у'(1) яп 13 = О, где д(х), 1(х) — заданные непрерывные функции на [0,1], а и ф— заданные числа. Доказать, что а) если параметр Л не совпадает ни с одним собственным значением граничной задачи, то граничная задача имеет единственное решение, б) если же Л вЂ” некоторое собственное значение граничной задачи и ему соответствует собственная функция у(х, Л), то граничная задача разрешима только в том случае, когда 1 Г 1(х)у(х, Л)пх = О.
о Показать, что все собственные функции граничной задачи — у" = Лу, у'(0) = у'(я) = 0 обладают следующими свойствами: а) и-я собствен- ная функция на [О,я] имеет ровно и нулей, б) нули и-й и (и + 1)-й собственных функций перемежаются. 39. При каких значениях вещественного параметра Л граничная задача у" + Л у = О, у(0) = О, у'(1) = Лу(1) имеет нетривиальные решения? Найти эти решения. Глава 2.
Дифференциальные уравнения высшего порядка 106 Найти функцию Грина С(х, ~) граничной задачи (40 — 50): у" + у = г (х), у(0) = у'(1) = О. 40. у" + 4у = 1(х), у'(0) = у(1) = О. 41. 42. у" — 4у = Дх), у'(0) = О, 2у(1) = у'(1). у" — у' = Дх), у(0) = О, у(1) = у'(1). у" — у = 1 (х), у(0) = у(1) = О. хзул + Зху' — Зу = ~(х), у(1) = О, у(2) = 2у'(2). 45. (хз + 1)у" + 2ху' = ~(х), у(0) = у'(1) = О. 46. 47. ху" + у' = ~(х), у(1) = у(2) = О. хатун + ху' — у = ~(х), у(1) = у'(2) = О.
48. 49. хзул — ху' — Зу = г'(х), у(0) = О, у(х) = Π— при х -~ +ос. х~у" + 2ху' — 12у = ~(х), у(0) = О, у(х) = 0(1) при х — ~ +со. 50. Пусть р(х) — непрерывная функция на (а, Ц и р' = шахр(х) > 0 при х е (а, 6]. Доказать, что граничная задача у" +р(х)у = г" (х), у(а) = А, у(6) = В имеет единственное решение при всех А и В и для любой непрерывной У(х) на (а, б], если выполнено условие (б — а) < —. ър*' 51. 52. Пусть на множестве Р = (О < х < 1, — оо < у < +со) функции ~(х, у), ' непрерывны и ' > О. Доказать, что граничная д,Г'(х, У) д,1 (х, У) ду ду задача у" = г" (х, у), у(0) = у(1) = 0 может иметь только одно решение. Уклзянне.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
