1611689249-2463c0540415b4d8be5bf8d7c9050a3a (826751), страница 7
Текст из файла (страница 7)
2 2 1 4 /2 31 3 3. у = О, у = С ~ — х+ — ), у = х — х — особые решения. 2 1,3 4С) ' 2 4. у = — 2+ 2(Сх + 1)2, у = — 2 — особое решение. С 1 2 5. у = — + —, ху = 4 — особые решения. х С гх~в 6. у = Св(х — С)г, у = ~ — ) — особое решение.
2 4 .2 7. у = ЗСхт — 16С у = х — — особые решения. з 2 8. уг = Сг + 2Сх + 1, у = х~/à — хг — особые решения. 9. у = (х + С) (1п (х + С) — 1], у = — 1 — особое решение. 10. 4уг = С(Зх — С)2, у = х — особое решение при х ф О. 11. у = С вЂ” — С х, 2х у = 1 — особое решение. 2 2 2 2 12. у = О, х = 2+ — — -С у, 4(х — 2) + 9у = 0 — особое решение.
1 4 2 4 3 4 2С 3 13. х = -у — Су — -Сг, 4х = у — особое решение. 2 2 2 5 14. 2у +С х =2С, ху= х — — особые решения. 2 2 2 ~/2 15. у = — (х — С)2 + 2С вЂ” 3, у = 2х — 2 — особое решение. 1 2 16. у = хг + Сх — -Сг, у = 2хг — особое решение. 4 17. у = О, Су(х — С) = 1, хгу = 4 — особое решение. 18. х = --у — Су+ — С, х+ у = 0 — особое решение. 1- г г 2 2 1 19. у = Се * + —, у = х2е* — особые решения. С' 49 г 6. Уравнения первого порядка. Особые решения 20.
у = — — С, 4х у = 1 — особое решение. с х 1 21. у = Схг + 4С2, у = — — хе — особое решение. 16 1/ г 11 22. у = — ~Сх — С вЂ” — (, у = М(1 — хг — особые решения. 2 1, С(' х+С 23. у = е*+с — — С, у = — (х + 1+ 1п 2) — особое решение. 2 ' 2 24. (х — С ) +у = С х = у — — — особое решение. 2 2 2 2 2 4 25. у = х + Сх + — С, у = -х — особое решение.
г г 2 8 26. хг+ у+ -С ) = С 2у = 1 — х — особое решение. 27. у = 1 — х + Сх — -С, у = 1 — -х — особое решение. 2 2 1 2 3 ' 4 28. у = 2С х + —, х = ху — особые решения при у ф О. 3 2 3 8С' 29. у = Сес*, С ф О, еху = — 1 — особое решение. 1 2 30. у = СсЬ х — Сг, у = — с122 х — особое решение. 4 31. у = О, х = Су + —, х = ху — особые решения при у Ф О.
2 4С' 1 4 г 32. у = — хз + С, у = ххах — особые решения при х ~ О. 4С 2 33. у = С 28 х — Сг, у = — ф~ х — особое решение. 4 1 34. у = (Сг — 1)х + С, у = — х — — — особое решение. 4х 35. у = О, х = Су + —, х = ху — особые решения прп у ф О. г 36. х = Суг — 2С2, Зх = уя — особое решение. 4 2 37. у = Сх + —, у = Зх з — особые решения при х ~ О. Глава 1.
Дифференциальные уравнения первого порядка 50 38. у = х ), ху = ~ — — особые решения. ~С-Зх) 3 39. у = — — + —, 4х у' = 27 — особое решение. С 1 23 х Сг' 40. у = Сх — Сз, 27уг = 4хв — особое решение. в* г 2 -з* 41. у = 4Се з* — 6С2, у = — е 2* — особое решение. 3 42. у = Се* — — С, Зу = ег — особое решение. 3 4 4 1 1 2 43.
у = -Сх + —, у = х — х — особое решение. 4 4С 2 1 44. у = С вЂ”, у = х х 2 — особые решения. х — С' 45. у = Сх + —,, 2у = з/Зх — особое решение. з 1 з,г 18С2 ' Сг 46. у =, у = — 4х — особое решение. х — С з /х+ С1 ' 47. у = С вЂ” 3 ~ ), у = -х х 2 — особые решения. 5 ) 48. (у + С)з7~ = 5в(х + С)~, у = х х 2 — особые решения. 49. у = е'+с — С, у = х+ 1 — особое решение. 50. у = 1п (х + С) + С, у = х — 1 — особое решение. 3 4 з хг 51. у = — Схз — Сз, у = х — — особые решения. 4 4 52. у = Сх +, 4у = Зхз — особое решение. г 16С2 ' 53. х = С(у — С)2, 27х = 4уз — особое решение.
54. у= 55. у= 56. у= С(х + 1) + —, 2у = 3(х + 1)з — особое решение. г 1 г з 2С2 ' 2 1 Сх — х + —, у = х и у = — Зх — особые решения при у ф О. С' С(х + 1) — С, у = — (х +1) — особое решение. 2 2 1 2 2 3 6. Уравнения первого порядка. Особые решения 57.
у = С + С 1п —, у = х — особое решение. С' Сх-1 58. у = — ее* ~, у = х — особые решения при х ~ 0. С 59. х = 2Сер + 2Сг, 3х = егз — особое решение. 60. у = 2Сх4 — 2Сг, у = — х — особое решение. 4 г 1 з 61. у = — Схз — 2С, 2у = ххз — особые решения. г з з 2 5Сг 62.
у = — + 10С, у = — 5х — особое решение. х з 1 г 1 з 5 г 63. у = — х + Сх + -С, у = — х — — х — особое решение. 5 5 ' 5 4 64. у = О, уС(х + С)з = — 27, х~у = 256 — особое решение. 65. (х + С)зу = — С, 27хгу = — 4 — особое решение. з 3д "з 66. у = -х + Сх + — С, у = — -х + — х — особое решение. 3 3 ' 4 3 Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА $ 7. Основные типы уравнений, допускающие понижение порядка уравнения В 27 рассматриваются уравнения вида г(хуу у~))=0 ПРимеР 1. Решить уравнение у2ул у уй 2ую Ь Заметим, что у = С вЂ” решение уравнения.
Пусть далее у Ф С. Перенеся уу'2 в левую часть уравнения, разделим обе его части на уз. Получаем л !2 Отсюда — = —,+С, уу =1+Су. у 1 ! 2 у у В случае С = 0 имеем уу'=1, (у~) =2, у =2х+С. В случае С ф 0 получаем уу' 1 2 1+ Су2 ' 2С = 1, — 1п ~1 + Су ~ = х + Со. где у(х) — искомая функция, х — независимая переменная, и > 2. 1. ПГОСтЫЕ СЛУЧАИ ПОНИжЕНИя ПОрядКА УРАВНЕНня.
Порядок уравнения легко понижается, если его можно преобразовать в равенство полных производных по х от некоторых выражений. 53 з 7. Основные типы уравнений Последнюю формулу можно преобразовать к виду Уг = Сз + Сге о1 Сз ~ О. гв Ответ. у = С, уг = 2х+С, у = С1 +Сге "'1, где С, Сы Сг — произвольные постоянные, при этом С1 ~ О. А В случае, когда уравнение не содержит у, порядок уравнения понижается, если сделать замену, взяв за новую неизвестную функцию производ- ную от у наименьшего порядка, входящую в уравнение.
Пгимкр 2. Решить уравнение 4 и~+2.з в Ь Сделаем замену у" = «. Тогда уьг = «' и уравнение преобразуется к виду 1 хг«'+ 2х« = —. Отсюда (хг«) = — —, хг« = -- + С, « = — — + —. .г / ..з г' Возвращаясь к у, имеем С 1, С, 1 у" = — — —, у' = — + — + Сг, у = С1 1п ~х~ — — + Сгх + Сз. хг хз х 2хг 2х 1 Ответ. у = С1 1п(х) + Сгх + Сз — —, где Сы Сг, Сз — произвольные 2х' постоянные. 1 Когда уравнение не содержит х, порядок уравнения понижается, если за новую независимую переменную взять у и ввести новую неизвестную функцию «(у) = у'.
При этом у" = «(у) «'(у). Примкр 3. Решить уравнение уи(„1) + „~(„1)г уа Ь Заметим, что у = С вЂ” решение уравнения. Пусть далее у ф С. Положив у — 1 = и, получим уравнение ии +и«и =и Возьмем и за новую независимую переменную и положим и'(х) = «(и). Тогда и"(х) = «. «'(и) и уравнение примет вид и««'+ иг« = «г.
Заметим, что «ф О, так как случай « = О дает у = С. Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка 54 Сократив уравнение на х, получаем их — е /е'~~ иг — х = — и, = — 1, ~ — ) = — 1, г= — и +Си. ~и! Отсюда и'(х) = — и2+ Си. 1 1 и В случае С = О и = , а в случае С Ф О вЂ” 1п — = х + Се. х+ Се С С вЂ” и( Полагая и = у — 1 и упростив полученное выражение, получаем ответ: 1 ССес' и=с, и=1+, у=1+ х + С 1 + С1ес2*' где С, Сы С2 — произвольные постоянные. А При решении задач с начальными условиями целесообразно использо- вать заданные условия в самом процессе решения. Пример 4.
Решить задачу Коши 2(у + х)у" + у'~ + 2у' + = О, у(~/2) = 1 — ~/2, у'(~/2) = ~/2 — 1. (у + х) Ь Положив и = у + х, преобразуем уравнение к виду 2ии + и — 1+ — = О. л г2 1 и2 Так как зто уравнение не содержит х, то положим и'(х) = г(и). При атом 1 ил = х х'(и) и уравнение примет вид 2игх'+ х2 — 1+ — = О. и2 1 Это уравнение Бернулли.
Положив ш = 22, получаем ив'+ ш = 1 — —, „г г (иш)' = 1 — —, иш = и+ — + С, ге = и'2 = 1 + — + —. и2 и и2 и Учитывая начальные данные и равенство и' = у'+ 1, находим, что 1 ~/Г+ и2 и'(~/2) = Л, и(х/2) = 1. Тогда С = О, и'2 = 1 + —, и' = и2 и ~/Г+и2 = х+ С. Из условия и(~/2) = 1 следует, что С = О. Тогда /Г~Ь+ Р-ь ~ ° ° Д ~ У, Г ответ, у = ~/х2 — 1 — х. А Пвимев 5. Решить задачу Коши уу" = (у'~ + у'~) 1Ь у, р(О) = 1, д'(О) = — 1. З 7.
Основные типы уравнений 55 Ь Заметим, что у = С вЂ” решения уравнения, но среди них нет решений задачи Коши, так как у' = О. Пусть далее у Ф С. Полагаем у' = х(у). Тогда у" = гг' и после сокращения на х ,-~ 0 уравнение примет вид ул = е (2 + 1) ФЬ у. Заметим, что х = — 1 — решение этого уравнения. Из замены тогда имеем у' = — 1, у = — х + С.
Используя начальные условия, получаем решение задачи Коши у = 1 — х. Других решений задача Коши не имеет, поскольку при у ~ 0 для рассматриваемой задачи Коши выполняется теорема единственности решения. А Решить уравнения (1 — 17): 1. ху" + ху'~+ у' = О, х ~ О. / ! / 3. у = — 1п — + —. в У У У х х х Найти решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным усло- виям (18 — 38): 18.
у" в1пз х — (у' япз х + у'~) соз х = О, у ( — 1 = О, у — ~ = 1. 19. у" совз х + (у' совз х + у'з) сйп х = О, у(0) = О, у'(0) = 1. 20. (х+1)у("~ = у~" '), и > 2, у(" з ь)(0) = (и — 2 — й)!, й = 0,1,...,и — 2, у~" 0 (0) = О. 5. Уу" — у'з = у'уз 7 5уу~зул — у~з + 9. Уу" = 2у'з — 4узу'з. И. уу"'-у'у"=О. 13. (1 + уз) у" + 2уу'~ = у'. 15.
4ху" — улз = 4(у'+ 1), 17 2уу~у~ у ~з у~з улз + указ (ув + ую)улу/2 4. 4У",,/у = 1. 6 Зуу~ул у з + Уул Щ2 + У4У! 10 (уз+у) у" (Зуз 1) уа = 0 12. Уу" = 2у'+ 2У'~. 14 (1 + У2) ул у (у(2 1) 16. 2(1 — у)ул = у'~+ 1. Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка 56 21. ту<") = у(" 0 и > 2, у(" 2 ")(Ю) = (и — 2 — Й)1, Й = 0,1,...,п — 2, у (О) 22. у" = 5у /у, у(0) = 1, у'(0) = -2. 23 у" = у'2+ (1 — у)р', у(1) = у'(1) = 1.
1 24. у" + у'2 = у'е", у(0) = О, у'(0) = —. 25. уу" — у'2 + 2 = О, у(0) = 1, у'(0) = О. 26. уу" = узу'з + у~, у(0) = 1, у'(0) = — 3. 27. Зу'у" = е", у(-3) = О, у'( — 3) = 1. 28 2уув у~2 (3 4уу'2) у(4) 1 у (4) 1 29. уу" — у'2 = у4, у(1) = 2, у'(1) = — 4. 30. уу" = 5у'2 + Зузу', у(1) = 1, у'(1) = — 1. 31. уу" = (4у'4 — у'2) е", у(0) = 1, у'(0) = — —. 2 и 2 ~4 (2 (1) к(1) 33.
2узу" + у'2 = 4, у(0) = 1, у'(0) = — 2. 34. Зу'у" — у'з — у + 2 = О, у(0) = О, у'(0) = 1. 35. 2 (у' + у) у" — (у' + у + 1) у" + у' = О, у(2) = 1, у'(2) = — 1. 36. 2 (ев + 1) у" + (е2" — 1) у'2 + 1 = О, у(1) = О, у'(1) = —. 1 37. у" + (2+ 4у2) у'з — 2уу 2 = О, у(0) = 1, у'(0) = —.
36. узун+ у'41пу узу~ О, у(0) = у'(0) = е. 2. СЛУЧАИ ОДНОРОДНОГО И ОДНОРОДНОГО В ОБОБЩЕННОМ СМЫСЛЕ уРАВнениЙ. Если уравнение является однородным относительно у и всех производных от у, т. е. уравнение не меняется при одновременной замене у на Лу, у00 на Лу""), Л ф О, й = 1, 2,..., и, то порядок уравнения можно понизить на единицу, если ввести новую неизвестную функцию 2(т) по правилу у' = уг. При такой замене у" = у(2'+ 22).
~ 7. Основные типы уравнений Примкг 6. Решить уравнение хгуул бхуу~ хгуа буг Ь Заметим сначала, что у = Π— решение уравнения. Пусть далее у у~ ~ О. Убедившись в однородности по у, у', у" заданного уравнения, вводим новую функцию х с помощью равенства у' = ух. После сокращения на у ~ О получаем уравнение хгх' — бхх = 6. Общим решением этого линейного уравнения первого порядка является 1 х = Сх~ — —. Отсюда и из замены находим, что х У 5 — = Сх у х Решая это уравнение, получаем ответ: у еС2х С~ 6 х где С1 и Сг — произвольные постоянные. Примкр 7. Решить уравнение хуул + ху~~ = Зуу~, х ~ О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
