1611689249-2463c0540415b4d8be5bf8d7c9050a3a (826751), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Значит в случае а) условие Липшица выполнено. В случае б) условие Липшица тоже выполнено, так как ]~(х,у~) — 1(х,уг)] = ]]уг] — ]уг]] < ]у~ — уг]. Покажем, что в случае в) условие Липшица не выполняется. Рассуждаем от противного. Пусть это условие выполнено в полукруге с некоторой постоянной Липшица Ь > О. Тогда для точек (О, 1) и (О, у), где 0 < у < с, е > О и достаточно мало, имеем ]У(О,у) — У(0,1)] = ]Д вЂ” Ц < Ь]у — Ц. Отсюда Ь( /у + 1) > 1, что невозможно при достаточно малых у > О. Противоречие.
Условие Липшица не имеет места. А ПРИМеР 3. Указать какой-либо отрезок, на котором существует решение задачи Коши, если; а) у' = уг+ хг, у(0) = О, ]х] < 1, ]у] < 1, б) у' = х+ з1п (хг + у), у(0) = О, ]х] < 1, в) у' = ]х] + в1п уг + сов уг, у(0) = О. Ь Известно, что решение задачи Коши у' = )'(х, у), у(хо) = уо, где Дх, у) и ' непрерывны в прямоугольнике П = ((х,у): ]х — хо] < а, )у— ду(х, у) ду 11 '1 — уо] < Р), всегда существует на (хо — Б, хо + Б], где б = пнп а, — ~, М = = шах®х,у)] при (х,у) Е П. В случае а) имеем о = д = 1, М = 2 и, значит, решение существует 1 при ]х] < —.
2 В случае б) имеем о = 1, 11 = оо, М = 2 и, значит, решение существует при ]х] < 1. В случае в) для всех ]х] < а при любом а > 0 имеем о = а, д = оо, М = 2, Следовательно, решение существует для ]х] < а при любом а > О, т. е. для всех х б ( — оо, +ос). А '3 5. Исследование задачи Коши Пример 4. Методом последовательных приближений найти решение задачи Коши: у'+ у = х+ 1, у(0) = О. Ь В нашем случае последовательные приближения задаются формулами х уе(х) = О, уь(х) = [~ + 1 — уь ~(~)] с~~, й = 1, 2, 3, о Методом математической индукции можно проверить, что уь(х) = х + ( — 1)"-*„т, й = 1, 2, 3,... Отсюда следует, что при ]х] < а для любого а > 0 уь(х) при й — ~ оо равномерно стремится к х.
Значит, у = х является решением задачи Коши. А Пример 5. Доказать, что последовательность функций у„(х), определяе- мая соотношениями 1 — х 1 Г уо(х) а— э О, у„(х) = 2 — — ~ у„~(1)й, п = 1,2,3,..., х 1 сходится равномерно на [1,2] и не сходится равномерно на [1,8].
Заданная последовательность функций служит последовательными приближениями решения задачи Коши вида 2 уг — — — — 9(1) =О. хг 9' Рассмотрим сначала эту задачу в области С = ((х, у): х Е [1, 2], [у] < 2 рг Ьг дГ хг 9 9 ду < Ь, Ь > 0). В этой области С шах — — — — = М < 2+ — и шах— = шах ~ — -К~ = 1У < г". Из теоремы существования решения задачи Коши следует, что последовательные приближения сходятся равномерно на [1,1 + б], где число Ь Ь Б > 0 одновременно удовлетворяет двум оценкам: 6 < М 2+~' 1 9 б < — = —. Выбирая число Ь так, чтобы обе оценки совпали, получаем М 2Ь 3 Ь = 3;Г2, Ю < —.
Ясно, что б = 1 удовлетворяет этому неравенству. 2~Г2 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 36 3 3 Решая на [1, 8] уравнение Риккати, получаем у = — +, . Из пах+ Сху чального условия С = -2. При х — у 8 получаем у -у оо, что противоречит равномерной сходимости. А При исследовании зависимости решения задачи Коши от параметров и начальных данных используются уравнения в вариациях. др(х,1,0) Пгимкг 6. Найти ' ' от решения у = р(х,1,уо) задачи Коши ду, уу = 2у+ хзуя — хзуз, у(1) = уо, Ь Очевидно, что решением заданного уравнения при начальном условии у(1) = 0 является у = 1р(х, 1, О) = О. д1р Известно, что искомая функция и = — должна быть решением уравдуо пения в вариациях по уо — = [2+ 2х у — Зх у ]и, ди з зг дх где у = 1р(х, 1, 0) ив н О, при начальном условии и ], 1= 1.
др Другими словами, для нахождения функции и = — необходимо редуо шить задачу Коши вида ди — = 2и, и(1) = 1. дх Искомым решением является и = е~1* Ц. А д1р(х, 1, 0) Пгимкг 7. Найти ' ' от решения у = р(х,хо,1) задачи Коши дхо у' = у — 1+ 2ху~(у~ — 1), у(хо) = 1. Ь Очевидно, что решением заданного уравнения при начальном условии у(0) = 1 является у = 1р(х, О, 1) = 1. др Известно, что искомая функция о = — должна быть решением уравдх, пения в вариациях по хо — ='[1+ 8ху — 4ху]о, д" з дх где коэффициент при о берется при значении у = 1 и при начальном Условии о [ о= -[У вЂ” 1+ 2хдз(Уз — 1)][а=о = О.
у=1 37 ~ 5. Исследование задачи Коши Следовательно, для нахождения функции о нужно решить задачу Коши вида су дх — = (1+ 4х)э, е(О) = О. Отсюда искомое решение е = О. 2. Доказать, что из выполнения условия Липшица для функции ~(у) на [а,,9] следует непрерывность 1(у) на [с~„9]. 3. 5.
6. Выполнено ли условие Липшица для функции ~(у), если: а) 1(у)=у~, [у[<а, а>0, б) 1(у) = [у[, [у[ < а, су > О, в) 1(у) = ;//у/, [у[ < су, су > О? Выполнено ли условие Липшица по у равномерно по х для функции 1(х, у) в круге хз + уз < Рсз, В > О, если а) ~(х, у) = хз + уз, б) 1(х,у) = х [у], в) 1(х,у) = х ~Я? Доказать, что если функция 1(х,у) непрерывна по х в области С и удовлетворяет в 0 условию Липшица по у равномерно по х, то ~(х,у) — непрерывна в С.
Показать, что не дифференцируемые по у при у = 0 функции ~1(х, у) = ]у[(1+в1п х) и ~з(х, у) = [у](1+сов х) удовлетворяют условию Липшица по у равномерно по х на всей плоскости Вз „. Показать, что функция 1'(х, у) = а(х)у+ 5(х) удовлетворяет условию Липшица по у равномерно по х в полосе [х[ < гу, гх > О, если только а(х) и 5(х) — непрерывные функции при [х[ < а. Показать, что функция 1(х, у) = [1+ аз(х)]уз, где а(х) — непрерывная функция при [х[ < а, а > О, не удовлетворяет условию Липшица по у равномерно по х в полосе [х[ < а. Доказать, что функция ~(х,у) = Р(х) + Я(з1пу,сову), где Р(х) и Я(н, е) — многочлены, удовлетворяет условию Липшица по у равномерно по х на всей плоскости В( х,ур Глава 1.
Дифференциальные уравнения первого порядка 38 9. Доказать, что функция 1(х, у) = х у не удовлетворяет условию Липшица по у равномерно по х на всей плоскости Й~ Я,У~ ' 10. Методом последовательных приближений найти решение задачи Ко- ши, если: а) у'+ у = х + 1, у(0) = 1, б) у' + у = 2е*, у(0) = 1, в) у' — у = 1 — х, у(0) = 1, г) у' — у = ез*, у(0) = 1. 11. Методом последовательных приближений найти приближения уе(х), у~(х), уз(х) к решению задачи Коши, если; а) у' = у~ — х у(0) = 1, б) у' = у~ + хз, у(0) = О, в) у' = 2уз+ х, у(О) = 1, г) у' = хз — 2у~, у(0) = О. 12. Оценить погрешность, получаемую при замене решения у(х) задачи Коши его последовательным приближением уз(х), если: а) у' = у~ + 2х, у(0) = О, )х[ < 1, [у[ < 1, б) у' = у~ + ~, у(0) = О, И < 1, !у[ < 1 13.
Доказать, что последовательность функций у„(х), определяемая со- отношениями уо(х) — = О, зх 3 у (х) = е '+ — е * — — +! [2у„,(Х)е ' — у~,(1)]сй, и=1,2,3, о сходится равномерно на [О, 0.2] и не сходится равномерно на [О, 1]. 14. Доказать, что последовательность функций у„(х), определяемая со- отношениями уо(х) = О, у„(х) = — (1 — х ) + — [(21+1)у„1(1) — у~~ 1(1)](й, и = 1,2,3, 2 / Ф 1 сходится равномерно на [1, 1.1] и не сходится равномерно на [1, 2]. 15. Доказать, что последовательность функций у„(х), определяемая со- отношениями уе(х) = О, 39 3 5.
Исследование задачи Коши у„(х) = совх — 2 — вдпд[у„д(1) — совД]~й, и = 1,2,3,... а сходится равномерно на [О, 0.1] и не сходится равномерно на [О, — 1. 33 16. Доказать, что последовательность функций у„(х), определяемая со- отношениями уо(х) = О, у„(х) = х + 2 сов (х — Ф)у„ д(д)Ж, и = 1, 2, 3, о сходится равномерно на любом отрезке и найти ее предел.
17. Доказать, что последовательность функций у„(х), определяемая со- отношениями уо(х) = О, у„(х) = 5совх — 4+2 (1 — е' х)у„д(1)дд1, и = 1,2,3,... о сходится равномерно на любом отрезке и найти ее предел. 18. Доказать, что последовательность функций у„(х), определяемая со- отношениями уо(х) =- О, у„(х) = 4+ 5 вдп(х — д)у„д(д)й, и = 1,2,3,... о сходится равномерно на любом отрезке и найти ее предел. 19.
Доказать, что последовательность функций у„(х), определяемая соотношениями уо(х) = О, у„(х) = 5(совх+ вднх) + [1+2(х — 1)]у„д(1)дй, и = 1,2,3,... о сходится равномерно на любом отрезке и найти ее предел. 20. Используя какое-либо достаточное условие единственности решения задачи Коши, указать области, через каждую точку которых прохо- Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 40 дит единственная интегральная кривая уравнения: а) у1 У2ч х4 6) у! хч э/у т в) у! Узч /хну г) (х + у)у' = х!ну, д) ху' = е* + сад у, е) у' = у + ~/у — хз, ж) у' = (у + 1)(у — 1)э.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
