1611689249-2463c0540415b4d8be5bf8d7c9050a3a (826751), страница 22
Текст из файла (страница 22)
дх ду 1, у 1 дг ' у 204 Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных 90. х — + (2х — ху — ») — + (х» — 2х ) — = О, и = »+ 2х при у = х . 2ди 3 ди 4 ди дх ду д» 4ди 4 3 ди 3 ди 91. х — + (х»+ х у — 2х) — + (2 — х») — = О, и = (у+ 1) при х» = 1. дх ду д. ди 2 ди ди у 92. х(2» — х) — + 2» (» — х) — +х» — = О, и = при х» = 2, х» > О. дх ду д» ' 2 — »2 ди ди ди 93. Зху» — + у — +»(2+ Зу») — = О, и = хуз при х = у», х» < О. дх ду д» ди 2ди 3 2 2 ди 94.
2 в + 2х» — + х» (2у» — 2 — » ) — = О,и = х » при у = О. дх ду д» ди ди ди х2 95. х — + у(З+ 4ху) — + 4ху» — = О, и = — при» = ху, х > О, у > О, дх ду д» ' у » > О. ди 2 ди ди 96. у» — + у »(1 — ху) — + — = О,и = у» при х = О. дх ду д» 2 ди ди ди 2 97. (х — у ) — + у — + (х + у +») — = О, и = — при х = у, у > О. дх ду д» 2у2 ди ди 2 ди х — е" 98. (2х+у +») — + — +(» — 2у+у ) — = О, и = при» = х — у2. дх ду д» ' 2 2 ди ди 2ди» 99. х — + у(2» — у) — +» — = О, и = 1 — — при» = 2х.
дх ду д» ' у ди ди ди 1 100. ((х+ у — ») + у — » — 2] — + (»+ 1) — + (у — 1) — = О, и = дх ду д» х+у+1 при» = 1, у > 1. Решить уравнение, преобразовав его к указанным новым независимым переменным (101 — 102): д» д» 101. — + — = О, и = х + у, и = х — у. дх ду д4в д4в д4в 102. — = — + — = О, и = х, и = х + у, 4 = х +». дх ду д» Ответы к задачам З 17 1. и = Р ху, — — — х у ), и = — у (2» — х у ). 2» 1 3 2 1 2 4 2 'х 2 )' 2 3 17. Линейные однородные уравнения 205 2. и= 3. и= 4. и= 5.
и= 7. и= 10. и= 11. и= 12. и= 13. и = 14. и= Г [ху, г — х (1+ ху)], и = 1+ ху + 2 2 г .г(1+ ху лг ] (х + у + 2) (х — Зу + 2) х — Зу+ л~ / у 32 '1 Зхг+ хгу — Зхг Р—, — — ху,и= У Р( г+ г 2) (х +У)х х 2 15. и= 16. и= 17. и= 18. и= Р— — — — и= 2 2 ( г Г 2х — —, ху + уг — — у), и = (2ху — 1) [ ху+ 2 у 2 )' 2) — у 22'1 у 22 422 Р~, — + — ),и= — + —— 2 2)' 2 2 (зг — хг)2 Г <х 1+ хг — Зуг'1 х(1+ хз — Зух) ),и= У ° Уе 422 — хг '~ 42а — хг Р у+ 2, + Уг), и = + у+ 2 + уг. 4221422 Р~ —,у — хг ),и=у — хх + —.
р у ) х+у — хг х х 2 2 у2 ~4( ~ у е Р хх,, и = хх+ 2(хг+ 1) — е ' <* 1. (х +.,) / Х+2 1 Г [х + у', (у' - -)1, и = -[(х + у')' - "(у' - х)'] 4 Г[ху, (х+ у)2], и = лг(х+ у)2 — 2ху. Г [ул, х(у + 2)], и = у 2 г 2 х(у+2) 1+ уг /У г г 1 х (2 х У) Г~ —, з — х — у],и= +2. У2 Р [х+ +2 (х — у)22] и = — (х — у)лг(х+у+ 2)~ 2 206 Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных 19. и= 20. и= 21. и= 22. и= 23.
и= 24. и= 25. и= 26. и= 27. и= 28. и= 29. и= 30. и= 31. и= 32. и= 33. и= 34. и= у+ ° уг г Р у — 2, — ),и=1+ х ) х < 22 х2 у2 Р, —,и=1+ х2 У2' г 1 з — з ~ ху Р—, — +,и= уз ~ уг + г. Р х х — 22 У<з — х+2хз) Р~-, — — 22'з),и= ~у' 2 )' 2хг Р— — ху, —,и=я — — — +ху х х2'~ „г Р хз, — + — ), и = хз+ — + —. у У У хг — ху у'~ хг — ху у х 2з з 2 2У х~ 1 1 2 2 2х )' 8 ~ ! 2 ~ ~ 2 ~ г ~~ ~ ! 2 ~ ~ ~ ~ 2 ~ г ~ 2 2 х у — хг — г 1 у+ — хг — зг х — у 22 — х+у 1 (2з — х+у )у уз ' 2у ) х — уг Р <х + у — з, у<х' + з)1, и = у<х + х) 2(х + у — з)2 Р <х+ у+ з, ху+ х~), и = х+ у+ з — ~/ху+ зг.
Х <22 у) Р [ + 2 < 2)~ х<з У) /у+ г' (1 1 1 у<х+з) Р~ — + —, хуз),и= 1,х з' )' 4хз з Р 2 2 4, 2 1 У + Р < е-» -л 2) < -г е-л + 2)2 207 З 17. Линейные однородные уравнения 2 ,2 г — ' 35. и = Р хя — — 2 1п ~з~)', и = х е ~ . у /1 1 1 ( — х)( " — 1) 36. и=Р~ — — —, з~е "— з),и= Р, (22 — х — у)(у — х)~, и = (х+ у+ з)(х+ у — 2з) . (х+ у+ з 2 ~ (х — у)2 ' з 2 х(уг — 2х + 42) Г( —, у — 2Х+42), и= х' 4з 2(у - х)' à — — †, (х — у)е г ~, и = е г . 1х Р ху г* 2 — ~ 1 гх 1 + з Р (1 + з)е ', е * + - (1 + з)е *~, и = -е + е *.
2 . Х . Х 2 Г з — 2япр, — — япр, и = — + — — 2япу. /' у 2 38. и= 39. и= 40. и= 41. и= / з — 1, у — япх'1 (з — 1)е' ),и= ~,совх созх ) у — япх (х 1)зезз1 (х 1)ед 1 43. и = Р (х — 1)ез, ег" — ~, и = (. — 1) 1Х вЂ” у1пу уг 1 1 44. и=Р ,и= — +з е ю. У рз+е~) У ( х уз 45. и = Р ( —, уз — хс82), и = — созе — япз.
~спал' (у 1 21 уе. 46. и = Р ~ — — 1п у, — (уз+ е*)~, и = Х У уз+ е* ( хуяпх+ зсозх 47. и = Р ( —., ху+ зоях), и = ~з1п х 3 ху — — е" — — +ее" 1,и=е "+ 2 /' 3 48. и=Г юе ", ху 49. и=Р з — — у, ),и= — (22 — у)(х — Зу +2з). 2 х — Зуг+2з1 1 2 ' у )' у 208 Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных Р (хе', у + ух + ххе'), и = х + у(у+ х) хе' 1 Р( — х2 + 2 2х)=~(2'+)'е 50. и= 51.
и= 52. и= 53. и= (у хх ге Р—, у — г — — ~, и=х — — — —. (,х 2х)' у 2 Р ~ —, х — агс13 ( — )], и = — (х — агой — ) . 54. и= 55. и= Р (ху — 1п )у), у — 1п (хх(), и = (х — 1)у + 1п — . у Р( — — е", ~ — ~е "),и=(1 — — +е") — е ". ! 1п (хе у) хауз ) 1п (хзу) 1п юз у 1п (х~у) у х+ у+ е' Р(х у, х+у+е'),и= х2У (ху+ е')е " Р (хе", ху + е '), и = х Р(хашу, ху+ вше), и = хашу(ху+ е1пх). 56. и= 57. и= 58. и= 59. и= 60. и= 61.
и= 62. и = Р (хх, ух — х), и = хх(ух — х). хз — уз'1 х — 2у ~,и= +е'. х2 уз 63. и= 64. и= 65. и= г( х2 Р у — х — —, 2' /1 1 х2 1х х' у (х+у+1)е ', и= (х+у+1) у — х — — е '. (х — у)(х — г) ~ х ! и ~~ ~ | 2 17. Линейные однородные уравнения ( — У)<х — ) 66. и = Р [» — х + у, <х — у)(х — »)], и = Х вЂ” У вЂ” » 67.
и=Р<угсовгх — х, угсовгх с18»),и =х+угсов~х<с18» — 1). 209 68. и= 69. и= 71. и= 72. и= 73. и= 74. и= 75. и= 76. и= 77. и= 78. и= 79. и= 80. и= 81. и= /1 72,з /» 2 2 ~ ( '-У'- )У' Р ~-, хг — у — »), и = 2 + у »г г» х ху ~ »2 гх ху ~2 Р [ —, — асс~8 — — х), и = — ~ — ахс18 — — х~ .
~х» » г<1 + Р[х», у — » (1+ х»)), и = 1+ х»+ х 2 Р ху, — — 1пх ),и=у е*. 2 .з хг — хв Р 2Х+ —, у — х — — ),и=2Х вЂ” х +у+ 2 2 г »2) ' »2 Р— — », х — — — » 1п»,и= — — 1 е*-*. Р~ — — 1пу, е*+ — ~,и=у[1+-е *(. хг у <х+»)у Р]х», — <1+х у»)~,и= г +» — 1. у у Р— +у — — у 1 2 Х 2 / 1 Р— — 2», ху — — + х»), и = (2х» — 1) [у — — + х» 1х ' 2 )' 2 У»» '~ ху » Х У/ » [Х(» — »)+У] 1 1 — +2У+» — 1 Р у2+у» 1 2У+» и х ' х )' уз+у» зз 82. и = Р (х+ у)з, ~, и = (х+ у)(у — х+ з — з).
83. и = Р (хг — ху, 2х — уг — 1п з~), и = хз(уг — х)ез 1+ уг 84 и р У г 1 — — +— г г уг хг 2ху 85. и = Г ( х + 2ху — у, х + у+ — ), и = 2 х+ у+в (--" -'-) =(--' ")("-'--') Р ~ — + у+ з, у + 2уз — з ), г г г г г 11 — у — 2уз+з +2 (з+у+- х 11 х(ху — 1) 1 Р~ — — х, х(я+2) — — ~,и= + х(з + 2) — —. у у~ (з+ 2)ху — 1 Р— — — —, — з — — +2,и=1+ з+2 —— з (ху+з) х ~ ~ — (х +з) ху+з~ и =ху+в+ з з 1х (.з+ )з 1 у 1 (у+ хз)г Р хе+ —, з+ — ),и= хг' х) ' хзг+ 1 — хг 86. и= 87. и= 88. и= 89.
и= 90. и= 91. и= 92. и = Р '1хз — з', у + (хз — зг) 1п (хз)~, и = + 1п —. хз зг 2 + 1— 1 + (У У х )в г е ". у г 210 Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных ~ 18. Квазилинейные и нелинейные уравнения 211 2 2 2 + — — х Р ( — — х+1(е*, х + — — х~,и= — 2+ х г — (х+ уз) 1пу) х х+ уз Š— +у ~ и=,+1п у у ~ х+у 2у 95. и= (у~ + х)~ — (у~ + г)е" 98. и = Г '1(у + х)е ", (х+ уз + х)е з"~, и = х+ у~+ х 2 (. )( ) х х у / ху Р (у — 1) — (х+ 1), + 1п ~у+ х~ х+у — г 1 + 1п)у+ х! — — 1п [(у — 1) — (г+ 1) ]. 1 2 2 х+у — х 2 Р(х — у). 99. и= 100. и = 101.
х = 102. го = Р(х + у, х + г) . 8 18. Квазилинейные и нелинейные уравнения Если 11 — некоторая область пространства Лз, то квазилинейное уравнение в частных производных первого порядка в области й имеет вид дх дх а(х, у, х) — + 6(х, у, х) — = с(х, у, х). дх ' ' ду х(г) = а(х, у, х), у(1) = 6(х,у,х), х(1) = с(х,у,х) (2) В уравнении (1) коэффициенты а(х,у,х), 6(х,у,х) и с(х,у,г) — заданные непрерывно дифференцируемые в области 11 функции, а г = г(х,у)— искомая непрерывно дифференцируемая функция. Эта функция задает в Й некоторую поверхность, называемую интегральной поверхностью (1).
Автономная система уравнений 212 Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных называется характеристической системой уравнения (1). Если и1(х, у, х), из(х, у, г) — два независимые первые интегралы системы (2), то общее решение уравнения (1) записывается в неявном виде Г[и1(х,у,г),из(х,у,г)] = О, где Р(иыиз) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция, допускающая нахождение х = х(х, у) как неявной функции. Пусть .у — некоторая гладкая кривая в области й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
