1611689249-2463c0540415b4d8be5bf8d7c9050a3a (826751), страница 25
Текст из файла (страница 25)
1 в | ~ ~ | 3 г 4 г ~ ~ ! у' зш д + — (у') г1х, у(1) = О, у(2) = 3. 1 98. 7(у) = 99..7(д) = 1ОО. 7(д) = 1О1.,7(д) = В задачах (102 — 105) показать, что допустимая экстремаль не дает экстре- мум функционала: Показать, что простейшие вариационные задачи (106 — 107) не имеют смыс- ла: 106 ли=|~* и'+2 июль. и(о) =О.и(1) =1 о 2 107.,7(у) = 7' — [ху' — у] г7х, у(1) = О, у(2) = 2. Г х~ 1 102..7(у) = о л 1О3..7(д) = о 104.,7(у) = о 105..7(у) = е (у') — — у + 2дьйпх~ г(х, у(0) = О, у(гг) = — —. [ 1 Г~ (у ) — — у + 68е*у~ дх, у(0) = 9, д(я) = 9ег. с 25 з с (у') — — у2 + 50ху г(х, у(0) = О, у(1г) = 161г. 16 Глава 6. Элементы вариационного исчисления 234 Ответы к задачам 8 19 ПРИМЕЧАНИЕ.
В ответах у(х) обозначает допустимую экстремаль, абсо- лютный минимум обозначается або, пип, а абсолютный максимум обозна- чается абс. шах. 6. у(х) = е — — сов х, або, пип. гх 5 2 8. у(х) = 1пх — — + 2, або, пип. 1 7. у(х) = —, або. пип. 4' 1 9. у(х) = —, абс.
пип. 11. у(х) = 17. у(х) = хг(3 1пх+ 2), або. пип. 18. у(х) = 1пх, або, пип. 20. у(х) = 1пв1пх, або. шах. 21. у(х) = 1пх + 1, абс. пип. 1 24. у(х) = х+ —, або. пип. з 23. у(х) = ха + —, або. пип. 26. у(х) = х + —, або, пип. г ~/х 1 28. у(х) = 1 — —, або.
шах. х 29. у(х) = сЬ вЂ”, або. шах. 2' 30. у(х) = вЬ2х, або. пип. вЬх 1. у(х) = —, або. пип. вЬе 1пх 3. у(х) = х+ —, або. пип. 1п 3 1 5. у(х) = — ег*, або. пип. 3 х 2вЬ— , або. гшп. вЬ— 2 13. у(х) — хз 1пх, або. пип. 15. у(х) = хг(4 1пх + 3), або. пип. хг 19. у(х) = — — 1пх, або. пип. 8 1 25. у(х) = х + —, або. пип.
~/х ' 1пх 27. у(х) = —, або. ш1п. 1п2' 1 — 1пх 2. у(х) = , або. шш х вЬ2х 4 у(х) =,г — 1, або. пип. вЬ— 2 вЬх 1 10. у(х) = — — — в1пх, або. пип. вЬх 2 2/ 1'1 12. у(х) = — ~х — — ~ — 1пх, або. шш. 31, 14. у(х) = х 1пх, або. пип. 16. у(х) = хг(41пх — 5), або, шш г 22. у(х) = 1+ —, абс. шш 2' 236 1 — хв — х в або. ппп. 2 2 -х + —, або.
шах. ~/х 1 —, або. ппп. бх' 3 х — —, абс. ппп. х 72. у(х) 74. у(х) 76. у(х) 78. у(х) ~/х, або, шах. хв — або, шах. 2' х+1 —, або. ппп. 2 1 —, або. шах. хв ~ х~ + 1, абс. шш. 3 х + —, або. ппп. (51пх — 2)х 1пх, або. ппп. Зх+ 1, або. шш хе+ х, або. ппп, 2х~+ х, або. ппп. х~/х, абс. ппп. 89. у(х) 91. р(х) х — х 2 х+,а>0. 4а вЬ— — а > О. ~/а вЬ— ~(а 93.
у(х) 92. у(х) 1п)1+ ах(, а > О. — 1п ~1+ (ет — 1) х~. — ~/9* ~16*, 95. у(х) 97. у(х) 99. у(х) 94. у(х) 96. у(х) и х — —. 4 у'т ггпу:т) 2 — (х+ 1) ~. 3 х 1п —. 2 98. у(х) 65. у(х) 67. р(х) 69. р(х) 71. у(х) 73. у(х) 75. у(х) 77. у(х) 79. р(х) 81. у(х) 83. у(х) 84. у(х) 85. у(х) 86. у(х) 88. у(х) 90. у(х) Глава 6.
Элементы вариационного исчисления з 2х+в е-вх або ш1п 66 р(х) = хв — — абс. ш1п. х~ 2вЬ2х — сЬх, або. шш. 68. у(х) = 2вЬЗх+ вЬх, або, шах. 4~/х — 3, або. шах. 70. у(х) х — х~, або, шах. 80. у(х) 2х — х~, або. шах. 82. у(х) бх~(1 — х+ х1пх), або. ппп. х~(1+ 31п~х — 1пх), абс. ппп. х(2х — 1+ 1пх), або. ппп. х + х, абс, шш 87. у(х) з 20. Обобщения простейшей вариационной задачи 237 2 100. у(х) = 1+ —. 101. у(х) = х~ — 1. й 20. Обобщения простейшей вариационной задачи 1. ЗАДАЧА сО сБОБОДным кОнЦОм и ЗАДАЧА Без ОГРАничениЙ. Рассматривается ь У(у) = Р[ у(х)*у(х)Ух* а дР о дР— — — —,=0 ду дх ду' и граничному условию вида дР[х у(') у(х)) Решение уравнения Эйлера, удовлетворяющее условию у(а) = А и указанному условию при х = 6, называется допустимой экстремалью задачи со свободным концом.
Задачей без ограничений называется задача нахождения слабого экстремума 1(у) в классе непрерывно дифференцируемых функций у(х), не удовлетворяющих каким-либо граничным условиям при х = а и х = 6. Дважды непрерывно дифференцируемое решение у(х) задачи без ограничений необходимо удовлетворяет уравнению Эйлера и граничным условиям вида дР[х, у(х), у'(х)[ дР [х, у(х), у'(х)] где функция Р(х, у,р) удовлетворяет тем же условиям, что и в предыдущем параграфе.
В отличие от предыдущего ~1 функция у(х) должна удовлетворять лишь одному граничному условию у(а) = А. Задачей со свободным концом (х = 6) называется задача нахождения слабого экстремума,У(у) в классе непрерывно дифференцируемых функций у(х), удовлетворяющих условию у(а) = А. Если дважды непрерывно дифференцируемая функция у(х) является решением задачи со свободным концом, то необходимо она удовлетворяет уравнению Эйлера Глава 6. Элементы вариационного исчисления 238 Пгимкг 1.
Решить задачу со свободным концом Г !бх — 12 ,У(у) = / ~ уу' — (у') +8ху' й:, у(1) = О. Ь Уравнение Эйлера имеет внд 2 л б,! 2 Экстремали задаются формулой у(х) = †, + Сзх — х . ,з хв Граничное условие при х = 2 находим из уравнения дг ( !бх — 12 — у — 2у'+ 8х = — 2у'(2) + 16 = О. ду',. в 3 к=2 Отсюда у'(2) = 8. Это условие вместе с условием у(1) = О определяют допустимую экстремаль у(х) = х~ — х~. Пусть ц(х) — произвольная непрерывно дифференпируемая на (1,2] функция, для которой ц(1) = О.
Тогда Ь1(у) = .7(у + ц) — !(у) = (у + М (у + ц ) — (у' т ц') + 1 + 8х(у'+ ц') — уу'+ (у')~ — 8ху' ~Ь = г (цу'+ уц'+ цц') — 2у'ц' — (ц') + 8хц' йх. х 1 Если проинтегрировать по частям слагаемые в этом интеграле, содержащие ц', воспользоваться уравнением Эйлера для у(х) и условиями у'(2) = 8, ц(1) = О, то получим г !1.!(у) = — (ц')в+ б,,' Ых(О. 1 239 ~ 20. Обобщения простейшей вариационной задачи Значит, допустимая экстремаль у(х) в рассматриваемой задаче дает абсо- А лютный максимум. Пгимиг 2. Решить задачу без ограничений, если у(у) ((у')г+уз+2уе ]лх о Ь Уравнение Эйлера у" — у = е' дает множество экстремалей задачи 1 у(х) = 1е ( ) — С ~+ С е + -хе*.
Граничными условиями для у(х) являются: у'(0) = у'(1) = О. Определив С1 и Сз из этих граничных условий, находим допустимую экстремаль (1 2ез) е» ез х 2 (ез — 1) 2 Для всякой непрерывно дифференцируемой на [О, 1] функции п(х) имеем Ь1(у) =,7(у+ у) — 1(у) = (2у'г1' + (у')~ + 2уп + уз + 2е*у]~Ь = а 1 1 = 2и( )о( )/, .+~оРй+2" — 2и"Ф +~К~~'~-~'1= 0 о ((0')'+ 0'] 1* е так как проинтегрированная часть обращается в нуль в силу граничных условий у'(0) = у'(1) = 0 и первый интеграл равен нулю в силу того, что у(х) удовлетворяет уравнению Эйлера. Поскольку из полученного равенства следует Ы(у) > 0 для всех рассматриваемых г1(х), то у(х) дает А абсолютный минимум.
Решить задачу со свободным концом (1 — 10): 1. лу)=~(2*у~-ь') ]н*,у(0~ О. о Глава б. Элементы вариационного исчислении 240 2 1 8. 2(р)=~]*(р') ббр 42 р]б*,р(!)=-. 1 4. 2(р) = ) ]р 4 р' 4 (р')'! 4 , Р(9) = 9 о 8. 1(р) / ]~(р') ! 228 ]4 р(!) =97. 1 2 6..4(у) = / ~ + з (бх, у(2) = 2 1 49 7.,7(у) = / (х~(у') + Зху ) Ихб у(2) 1 8 2(р) = ) ] ( ') — 8( 7 — )рр' 4 48 4 8 р'] 4*, р(2) = -7. 1 9.
Х(р) = ) ]брр'! — (Р') 4 б*р'] 4 Р(8) = 78 1 г 11 2(х2 1), бу)1 10 .У(у) = -(у')2 — уу' — — ~ Ых! у(2) = 10. 1 Решить задачу без ограничений (11 — 12): 77/2 2! 2(р) = ) [48'+(р')'4-28 *]4* о 241 3 20. Обобщения простейшей вариационной задачи Найти допустимые экстремали в задаче без ограничений (13 — 15): Ответы к задачам п. 1 3 20 2. у = -Зх, або.
пип. 9. у = 2хз — х, або. шах. 1 Г е1 х )п4+ 4 12. у = — ~х — — ~ — 1пх, абс. пип. 13. у = )и —— в 6. 1+с х ' 4 х 15. у=О. 2. Фз)нкцнонллы, злвнсящнк от двз)х функций. Рассматривается е 12..7(у) = х(у')2+ — + ~ 6х. уз 2у1пх1 1 13. х(у) =) ]иу<-уу' <-~(у') ] у . 1 уи. у(у) =) ]иу — уу'у (у')']у . 1 з 1. у = — — 2х, абс. пип.
6 2 3 3. у = — — — + —, або. шш. 26хз 26 6 ' з 96 5. у = х + —, абс. пип. х4 1 7. у = х+ —, абс. пип. 3хз 1 /2сЬ2х 11. у=--~ + созх, або. пип. 51, вЬя !пх+ 2 14. у" = х + 1 + 1п2 х 4. у = --, абс. пип. 2' 6. у = х + —, або. пип. з 3 х' 8. у = 1 — 2хз, або. пип. 10. у = хз + х, або. пип. Глава б. Элементы вариационного исчисления 242 задача нахождения слабого экстремума ) (у! ) уг) = Р[х) у! (х), уг(х), у! (х), уг(х)]))х) а где Р— заданная дважды непрерывно дифференпируемая функция своих аргументов, в классе непрерывно дифференцируемых пар функций у!(х), уг(х) на [а, б], удовлетворяющих граничным условиям у!(а) = А!, Уг(а) = Аг, у!(Ь) = В!, Уг(6) = Вг, где А!, Аг, В!, Вг — заданные числа.
Если дважды непрерывно дифференцируемая на [а, б] пара функций у!(х), уг(х) дает экстремум рассматриваемому функционалу, то необходимо у!(х), уг(х) на [а, 6] удовлетворяют системе уравнений Эйлера дР д дг' дР а' дР— — — —,=О, — — — —,=О. ду! ах ду', ' дуг )гх дуг Всякая пара функций, удовлетворяющая системе уравнений Эйлера, называется экстремалью. Экстремаль, удовлетворяющая заданным граничным условиям, называется допустимой экстремалью. Пример.
Исследовать на экстремум функционал, если г )(у!)Уг) = [бу!+х (У!) +(Уг) ])гх) у!(1) = уг(1) = 1, у!(2) = 4, уг(2) = 2. ! Ь Система уравнений Эйлера имеет вид с 12у! — [2хгу)!]' = О, уг =О. г Сг Отсюда находим экстремали у!(х) = С!хг + —, уг(х) = Сгх + Сг. Под.з ставляя у!(х), уг(х) в заданные граничные условия, получаем допустимую экстремэль у!(х) = хг, уг(х) = х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
