1611689249-2463c0540415b4d8be5bf8d7c9050a3a (826751), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Покажем, что на допустимой экстремали заданный функционал имеет о о абсолютный минимум. Пусть (см. з1) тд(х) Е С'[1,2], !гг(х) Е С![1,2]. ~ 20. Обобщения простей1пей вариационной задачи Тогда 243 Ы(91, 92) =,У(91 + 111, 92 + 02) —,У(у1, У2) = г [6(2у1111 + 01) + х (2уд1 + (01) ) + (2у202 + (112) )]дх. 1 Ь У(91, 92) = [1291 — (2х У1) ]9>1>Ух — 2 92112г(х+ 1 1 2 + [6"> +х (й>1) + (>Ь) ]пх. 1 Первые два интеграла равны нулю, так как У1(х) и У2(х) удовлетворяют системе уравнений Эйлера.
Поскольку последний интеграл неотрицательный, то Л,У(у1,у2) ) 0 при всех рассматриваемых 01(х) и 112(х). Значит, пара функций У1(х), У2(х) дает абсол1отный минимум функционала. А Исследовать на экстремум функционал. есин: 1..У(д1, 92) = [(91) + (у2) ]сЬ> у1(0) = У2(0) = О, у1(1) = 92(1) = 1. о 1 2.,У(91>92) = [92+ (д'1)'+ (9,') ]:Ух> у1(0) = О, у2(0) = о уг(1) = е.
У(у1>92) [у1 + у2 + (у1) + (у2) ]»х> 91(0) 92(0) а = У2(1) = е. 4. У(91,92) = [12У1 + У2 + х (У1) + (У2) ]1Ух> У1(1) = 1 91(2) = 8, у2(2) = е2. = 1, 91(1) = 1, 92(1) = е, Интегрируя по частям слагаемые, содержащие 11>1 и и.',, и учитывая, что 111 (1) = п1(2) = п2(1) = ц2(2) = О, отсюда находим Глава 6. Элементы вариационного исчисления 244 Найти допустимые экстремали (5 — 11): уг/2 У. УЬ ,уу) = / [Ь[)' У [у[)' — Уу у [У*, у [У) - г. у [У) = - г, у ( †) О = ел Уг — = -ег. 'у 2/ 1 6. /(У1ууг) = [2У1+Уг+(у[) +(Уг) ][Ь У1(0) =О,уг(0) =1,У1(1) = —, О уг(1) = е ".
)г/2 г Лу,у ) = [ [уу у у Ь ) у [у ) [у, у [О) = у [0) = 1, у (-) О = Уг (-) = ег. 1 6 г(У1 У2) = [Угуг+У1угИт У1(0) = Уг(0) =" У1(1) = У2(1) = е О л/2 у. у[у„ у ) = / [у',у' — у у [у , у [у) = у [0) = у, у (- ) = у ( -) = г. О 10../(У1ууг) = [2У2 + 2у~уг+ (у[) — (уг) ]г/х, у1(0) = уг(0) = О, у[(1) О = 2 в1г е, уг (1) = — 2 ОЬ е. л/2 1 г. у[у,, у ) — / [уу у — уу у [ у[) — [у ) [ш , у [у) = у [у ) - у у, (-) Π— у У2 (2)— 12. Показать, что задача на экстремум при .7(У1ууг) = [У1уг+ Угу1][1* У~(0) = Уг(0) = О, уг(1) = Уг(1) = 1 О не имеет смысла. 245 В 20.
Обобщения простейшей вариационной задачи Ответы к задачам и. 2 3 20 1. у|(х) = уг(х) = х, або. ш|п. 2. у|(х) = х, уг(х) = е*, або. ппп. 10. у|(х) = 2вЬх, уг(х) = -2вЬх. 11. у|(х) = хсовх+ в|их, уг(х) = хсовх — |ипх. 3. ФУНКЦИОНАЛЪ|, СОДЕРЖАЩИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА. Рассматривается задача нахождения слабого экстремума ,Х(у) = Р[х, у(х), у~(х), у (х)]ах, а где Р— заданная трижды дифференцируемая функция своих аргументов, в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций у(х) на [а,б], удовлетворяющих граничным условиям у(а) = А|, у'(а) = Аг, у(6) = В|, у'(б) = Вг, где А|, Аг, В|, Вг — заданные числа.
Если четырежды непрерывно дифференцируемая на [а,б] функция у(х) дает экстремум рассматриваемому функционалу, то у(х) необходимо на [а, Ц удовлетворяет уравнению Эйлера-Пуассона ДР Д ДР а|г ДР— — — — + — —— ау Ьоу Ь ау Всякое решение этого уравнения называется экстремалью. Экстремаль, удовлетворяющая заданным граничным условиям, называется допустимой экстремалью. ПРИМЕР. Исследовать на экстремум функционал, если 1(у) = [(у') +(у") ]с|х, у(0) =у'(О) =О, у(1) =е — 2 у'(1) =е — 1. о 3. у|(х) = уг(х) = е*, або.
ппп. 5. у|(х) = е*, уг(х) = -е *. 7. у|(х) = уг(х) = е*. 9. у|(х) = уг(х) = вшх. 4. У|(х) = хв, Уг(х) = е*, або. ппп. хг 6. у|(х) = †, уг(х) = е *. 8. у|(х) = уг(х) = е*. Глава б. Элементы вариационного исчисления 246 Ь Уравнение Эйлера-Пуассона имеет вид -2уа+2у~и =О. Экстремали задаются формулой у = С~ с* + Сзе * + Сзх + С4. Используя граничные условия, получаем допустимую экстремаль у(х) = е* — х — 1. Покажем, что у(х) дает абсолютный минимум функционала. Для всякой дважды непрерывно дифференцируемой на [О, 1) функции п(х), удовлетворяющей граничным условиям п(0) = О'(0) = г1(1) = О'(1) = О, имеем Ь1(у) =,У(у + и) — 1(у) = [2уП' + (О')э + 2у"Оа + (галл)~уЪ.
о Проинтегрируем по частям первое слагаемое один раз, а третье слагаемое дважды. В силу граничных условий для О(х) проинтегрированная часть обратится в нуль и получаем Ь.7(у) = [ — 2у" + 2у'~]ОГ1Х+ [(П')Э+ (Ол)З)ИХ. Так как р(х) удовлетворяет уравнению Эйлера-Пуассона, то первый инте- грал равен нулю. Поэтому Ы(у) = [(О~) + (О~)~)пх > О. о Значит, р(х) дает абсолютный минимум функционала.
Исследовать функционал на экстремум, если: Глава б. Элементы вариационного исчисления 248 л/2 у. Х(у( — 1(у — 2(у( у(ул(~(у*, у(у( = у(у( = у у (-,) = —, у (-) = О = 1. 10. Показать, что задача на экстремум при ,Х(у) = [хул+ 2уу'+ у')дх, у(О) = у'(0) = О, у(1) = у'(1) = 1, о не имеет смысла. Ответы к задачам п. 3 3 20 5 5 2 — ~-х +х — х (, або.
ппп. 4! 15 е*+ е (х — х ), абс. шах. в ях2 — в1пх + х — —, абс. шш. 2 — (е — 2х — 1), або. ппп. 2х 4 2х вЬх, або. ппп. 2вЬ (х~Г2) сов (х~/2), або. ппп. х — вшх+ (1 — -1 (1 — совх). 2) сов 2х — в1п 2х + 2х — 1. 1. у(х) 2. у(х) 3. у(х) 4. у(х) б. у(х) б. у(х) 2'. у( ) 8. у(х) 9. у(х) = х вшх. 3 21. Изопериметрическая задача ,У(у) = Р(х, у(х), у'(х))(1х а Изопериметрической задачей называется задача исследования слабого экс- тремума функционала з 21.
Изопериметрическая задача в классе непрерывно дифференцируемых функций у(х) на [а, Ц, удовлетворяющих граничным условиям у(а) = А, у(6) = В и условиям связи вида К,(у) = Су[х,у(х),у'(хф1х = (,, ) = 1,п, где А, В, 1~, у = 1, и — заданные числа. Здесь Р и С вЂ” заданные дважды непрерывно дифференцируемые функции, 7' = 1, и. Пусть задано лишь одно условие связи К(у) = С[х,у(т),у'(х)]Их = 1. и Введем в рассмотрение функцию Ь(х, у, у', Л) = Г(х, у, у') + ЛС(х, у, у'), называемую лагранжианом, где параметр Л Е В называется неопределенным множителем Лагранжа. Если дважды непрерывно дифференцируемая на [а, 6] функция у(х) является решением изопериметрической задачи и при этом первая вариао ция оК[у(х), п(х)] ~ 0 для всех п(х) Е С1[а, 6], то у(х) необходимо на [а, Ь] удовлетворяет при некотором значении Л уравнению Эйлера вида дЬ Н дХ, — — — —, = О.
ду Ых ду' Решения этого уравнения называются экстремалями. Экстремали, удовлетворяющие граничным условиям и условию связи, называются допустимыми. Пгймкг. Решить изопериметрическую задачу, если .7(у) = (у')~Ых, у(0) = 1, у(я) = — 1, усозхйх = —. о о Ь Уравнение Эйлера для лагранжиана Ь = (у')~ + Лу сов х имеет вид 2у" = Лсозх. Глава б. Элементы вариационного исчисления 250 Л Экстремали задаются формулой у(х) = С1х + Ст — — соех. Используя 2 граничные условия и условия связи, получаем допустимую экстремаль у(х) = сов х.
Покажем, что на ней изоперимегрическая задача имеет абсолютный минимум. о Возьмем любую 11(х) Е С'(О, я), для которой 11 сов хох = О. Тогда на а у(х) + п(х) определен функционал 1(у) и можно рассмотреть Интегрируя по частям первое слагаемое и учитывая, что у(0) = 11(я) = О, получаем 11ПУ) = 2 У г1ох+ (Ч) 11х. о о В силу уравнения Эйлера и условия связи для б(х) л л Г у"г11Ь = Л 11совх11х = О. О о Следовательно, 0 и, значит, у(х) дает абсолютный минимум. Решить изопериметрическую задачу (1 — 10): 1. Я(у) = (у'))г1х, у(0) = О, у(я) = я, ув1пх11х = О.
о а 2..7(у) = (у')~ох, у(0) = О, у(1) = е — 3, ус*ох = О. о о 1 1 3.,1(у) = (у') дх, у(0) = 2е+ 1, у(1) = 2, е ~уох = е. ~ 21. Изопериметрическая задача 1 1 4. Г(у) = (у')~дх, у(0) = О, у(1) = 2, худ = 1. о о 1 Г Зе' — е 0. 0(р) = )' (у' 4 (р') ) 4 , р(О) = О, у(2) = - 2, )' р.- У. = о о 1 1 х( 1+ 2 6,Г( )= [ +( ') ]охру(0)=Ору(1)=4е, уе*((х=1+е.
о о 1 1 т. 2(р) = ) (2 У 4. (У ) ) У, У(0) = 0, У(!) = 3, 1 Уу = 2, о о 2 8,У( ) = х( ')~Их у(1) = О, у(2) = 12, хуст = 9. 1 1 20 г „оп хи г о . 2(у ) = / 122 4 ор' 4- (у') ) 4 , у (0) = 0, р( ) = , р 2 о о 1О..Г(у) = [у ' у — ') 4 42у%)р.у(0)=2,у( )=-2 )р ч с х о изопе иметрической задачи ,11 — 14: Найти допустимые экстремали изоп р 1 11. Г(у) = [2уу + у — ( ') ) у* р(о) = рО) = о, 1 (4 р' ору']4* = 4. о а 1 1 12.,7(у) = [уу + ху х, 4 ')4. 2(0) = и(2) = О, ) (222' 4 (р')') 4..
= 4. х о о 1 1 22. 2(р) = 1 (рр' 4- 2(р')') 4*, р(о) = р(4) = о, 1(рр — у р )4 = в. о о 253 3 22. Строгий слабый локальный экстремум 14. у(х) = ~2~/3 [х~ — х). 15. — 1. 16. 1+ я2 й 22. Достаточные условия строгого слабого локального экстремума в простейшей вариационной задаче Рассмотрим простейшую вариационную задачу: 1(у) = Р[х,у(х),у'(х)]Их, у(а) = А, у(6) = В, а где функция Р является трижды непрерывно дифференцируемой при всех х Е [а,6] и всех (у,р) Е Вз(у,р). Если у(х) — допустимая экстремаль (см. 31) этой задачи, то положим Говорят, что выполнено усиленное условие Лежандра, если Р(х) у1 О для всех х Е [а, 6].
На [а, 6] рассмотрим задачу для уравнения Якоби; — ~Р(х) — ~ — ооо(х)и(х) = О, и(а) = О. Ы ( о1и(х)1 Если каждое нетривиальное решение и(х) этой задачи не имеет нулей на (а, 6], то говорят, что выполнено усиленное условие Якоби. ТеОРемА. Если: 1) у(х) — допустимая экстремэль, 2) выполнено усиленное условие Лежандра, 3) выполнено усиленное условие Якоби, то при Р(х) > О на [а,6] у(х) дает строгий слабый локальный минимум 1(у), а при Р(х) < О на [а, 6] у(х) дает строгий слабый локальный максимум 1(у). Пгими'. Исследовать на слабый экстремум, если л/2 о~о) = ) $о' — (оу'/о,, о(о) =о, о('-) =о. о Глава б.
Элементы вариационного исчисления 254 Ь Для нашего примера уравнение Эйлера 2у — — [ — 2у!=у +у=О о ах дает экстремалн у = Со соэх + С231пх. Граничные условия выделяют допустимую экстремэль у(х) = 31п х. Дгр Усиленное условие Лежандра выполнено, поскольку Р = —, = — 2 < ду'г с О. Уравнение Якоби имеет вид аи) — ~ — 2 — ~ — 2и = О. ь1 Нетривиальные решения этого уравнения, удовлетворяющие условию и(0) = О, имеют вид и(х) = Сагах и не обращаются в нуль при всех х Е (О, — ~. Следовательно, выполнено усиленное условие Якоби. Значит, д(х) = в1пх дает строгий слабый локальный максимум.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
