1611689249-2463c0540415b4d8be5bf8d7c9050a3a (826751), страница 24
Текст из файла (страница 24)
ду сЬ ду' Всякое решение уравнения Эйлера называется экстремалью. Экстремаль, удовлетворяющая заданным граничным условиям, будем называть допустимой экстремалью. о В этом параграфе через С~ [а, Ь] обозначается множество всех тех непрерывно дифференцируемых на [а, Ь] функций п(х), которые удовлетворяют нулевым граничным условиям О(а) = у(Ь) = О. 221 2 19.
Простейшая вариационная задача ПРимеР 1. Решить простейшую вариационную задачу, если 1(у) = [ху + х уу'+ (1+ х )(у') ]дх, у(О) = О, у(1) = 1. о Ь Уравнение Эйлера имеет вид [(1+ хз)у']' = О. Экстремали задаются равенством у = С1 агс1кх + С2, где С1 и С2— произвольные постоянные. Используя граничные условия, получаем до- 4 пустимую экстремаль у(х) = — агс1кх. Проверим, действительно ли на о у(х) достигается экстремум 1(у). Для любой т1(х) Е С'[О, 1] имеем Ы(У) = 1(У+11) — 1(У) = (х(У+т1) +х (У+т1)(У'+т1')+ о + (1+ х )(у'+ тт') — ху — х уу'+ (1+ х )(то) )Йх = 1 1 [2ху+ хгут]т111х+ [хзу+хгт1+ 2(1+ хг)у]ф1х+ ~ ~| 2 и о о 1 + [хп2+ (1+х2)(т1/)2]11х о Во втором интеграле проинтегрируем по частям.
Получаем | [хзу+ х~т1+ 2(1+ х~)у']т1'11х = [х у+ 2(1+ х~)у']тт(х)] + о 1 + — х т1 (х) — ~([х у+ 2(1+ х )у ] т1+ хт1 )т1х = о 1 = — | ([хзу + 2(1 + х2)у']'т1 + хт12)11х, 222 Глава б. Элементы вариационного исчисления так как проинтегрированная часть обращается в нуль, поскольку у(х) обращается в нуль на концах )О, 1). Подставляя найденное выражение второго слагаемого в Ь.7(у), находим г~у(у) 12ху+хгу' (хгу+2(1+хг)Я)гу1х+ (1+хг)®глх о о 1 1 1 2р+ г)уу„,1 + (1+, г)(,~)г,1 (1+ хг)у)г,1х > 0 Здесь был использован тот факт, что у(х) — экстремаль и, значит, 1 Г ((1 + х~)у')'гу1х = О.
о Таким образом, допустимая экстремаль у(х) дает абсолютный минимум в заданной простейшей вариационной задаче. А Пгимкг 2. Решить простейшую вариационную задачу, если .7(у) = (бу +хг(у') +12х у]сЬ, у(1) = 1, у(2) = 8. 1 Ь Уравнение Эйлера хгу" + 2ху' — бу = бх~ определяет семейство экстремалей у= — +Сгх +х, С1 з где С1 и Сг — произвольные постоянные. Используя граничные условия, а находим допустимую экстремаль у(х) = х~. Для всякой у(х) Е С'(1,2) 223 з 19.
Простейшая вариационная задача имеем г Ь.7(у) =,У(у + т1) — 1(у) = (6(у + т() + х (у' + т1') + 12х (у + т1)- 1 г б-г,г(- )г 12хзт-,) 1х = [6 г+ хг( ()г],1х+ 1 г г + (12у+ 12хз)„1х+ 2 хг(у)(й( 1х. 1 1 Проинтегрируем по частям в последнем интеграт те и воспользуемся тем, что т1(1) = т1(2) = О. Тогда получаем г г з (т г ( Ь,У(у) = [бт1~ + хх(т~')г)т(х + [12у + 12х — — (2х у )]т1т1х. 1 1 Но выражение в квадратных скобках во втором интеграле 12у + 12хз — — (2хгу') = — 2(хгу" + 2хгу' — бу — бхз) = 0 о(х на [1, 2] так как у(х) — решение уравнения Эйлера.
Следовательно, „ так как у х г Ы(у) = [бп~+ х~(т1') ]Их > О. 1 Это значит, что у(х) дает абсолютный минимум. Решить простейшую вариационную задачу (1 — 90); 1. 1(у) = (у+ у') Их, у(0) = О, у(1) = 1. о е 2. 1(у) = т' ~ — + уу'+ хг(у') дх, у(1) = 1, у(е) = О. ,/ (х 1 Глава 6. Элементы вариационного исчисления 224 гг/4 4. 1(и) = ~ (40 (и ) "'; 80) 8* и(0) = — 1 и ( 4) = О. о о г(и) =1 ((и)'ои'.11 и) 8*, и(о) = 8, и(1) =— о о /2 4 о. 1(и) — ~ ((и')'+ 80'+ ои ) 8*, и(о) — о, и (1) — ° . о г и(и) — ) ( '(и')' и 110') 8 . и(- 1) = †, и(-1) = 1 -г 8. 1(и) = / (ои и ии' -; '(и )) 8, и о) = о и(8) = 1 и гн 1. 1 2 1 о и(и) — 1 (*и + и) 8' и(1) = 1.
8(1) = -,. 1 го 1(и) = ) ((и и и) 0 10 и *) 8*, и(0) = о и( ) = 1. о 1 11 ~() = /'~хо+'у~+2(уг)2 ~х у(О) =О у(1) =2 2 о 2 12.,?( ) = х(У') + — + 41х, у(1) = О, у(2) = у 2у1пх ( у х х 1 г82 (1)2 13. 4(у) = ~ — + — + 8у Нх, у(1) = О, у(2) = 81п2. 1 хо 1 2 14.,ЦУ) = х(у') + — + 4у (1х, у(1) = О, у(2) = 21п2. х 1 226 Глава 6. Элементы вариационного исчисления 4 26. /(у) = / ~ — + ~ Нх, у(1) = 2, у(4) = 16-.
(у) у l~/. ",4 1 г 27.,/(у) = / ~ — х(у') + худ'+ — у~) йх, у(1) = О, у(2) = 1. ./ 12 2 1 28. 2(у) = / (2уу' — * (у') ) У*, у( — 2) = —, у(-1) = 2. -г 29. 2(у) = / ( уу' — 2(у') ) 8*; у(О) = 1, у(1) = .1 — . о 89. 2(у) = / ((у) 92уу угу ) У, у(О)- О, ° (-) = Ь о 1/2 31' '/(у) г 3 (ьх у 1' у 2 1/4 32 ./(у) =~ (у') + — + 4~'1* у(1) =1 у(2) = 2уг Зу ) 1 1/2 33. /(у) = — (4х, у(0) = 1, у — = 2, о 34.,/(у) = ( х (у ) +Зху — — ~ сЬ, у( — 2) = —, у( — 1) = 1, Г 3 г 2 2 бу~ь 1 х~ ' 4' -2 уг/3 8Ь.
2(у)= / ((у)' — Ьру )-"*Ум,у( — ') =у(-') =1. -гг/3 228 46 2( )=) ]( ') Ру — 2 у]у*,у(0)=1,у(1)=14 о 42. 2(У) 1 ]4(У') .1-У вЂ” 6~2']4*, У(0) = 2, У(2) = . '.1- .. о 46. 2(У)=1 ]4(у) 10 44 Р]4*,0(0)=1,0(2)= о 40. 2(у) =1' ](у)'4606 '*440]у,у(О)=ау( )= '. о 60. 2(у) = 1' ](У)~';У 4*'У] 4,0(0) =1,0(1) =14 о 61. 2(у) = 1 ](у)'4 у' — 4„.;,] 4,, у(0) = 1, у(,) = .. о 2 ~(у) 1](Р) РР '100(*4' *)]6*6(0)=6,У()=44- а 2 1 17 56.,7(у) = ( ') + — у'+ — о — 8У~ (2х, у(1) = 2, у( ) 4 4у , 4у = 2 х хо 1 1 66. 2(у)=1 ]4 уу' о 54.,7(у) = (у') 1 у(2) = О.
55. 1(у) = 1 Глава 6. Элементы вариацнонного исчисления — ( ()~ — 4~ ~+ (12х~ — 4)у~ (1х, у(6) = 6, у(1) = 1, + 2 'егнх+ соох+ — у + 20х у Их, у( ) = —, уу гн .г — — — ( ') — — 1 (1х, у(1) = у(4) = 4. хо ~ 19. Простейшая вариационная задача 52 2(у) = 1 [24*'у — уу' — '(у')'] 5 .
уо) = 1, р(2) = -2. 1 56. 2(у) — 1[ (у) «-уу'.112*у]4,0(1)=1,0(2)=5. 1 4 69..7(у) = ( ( — — —,~) уг+2уу'1нх — 4(у') — 10у дх« у(1) 1х хг,~ 1 у(4) = О. г 4' г 60.,7(у) = (у') +хуу'+ — уг+ ~ — — б у дх, у(0) = 5, у(2) = е. 4 ~ 2 о 12,, г1] 1 61. 1(у) = 12ху — — уу' — 3(у')г о)х, у(1) = —, у(2) = О. х ~ ' 2' 1 62.
2(р) = ) [(У') — 200' *4 (4 4 1 *)у 4 4(2 — 2)у] 4, у(0) = 2, о у(1) = ег. 62. 2(р) — 1 [(Р') .1- 46 ] 6*, у(0) = ' — 1, у(2) = О. о 64 Т(у) = — + — дх, у — = —, у(1) = О 1!г 66 2(р) — ) "[(у)'-'-Оу]у*.р(-1) =О.ОО) ="— — 1 г 66. 2(у)=) ](у') «-6(-) ]р,у(1) О,у(2)= —. 1 Глава б.
Элементы вариационного исчисления 230 1 67 /(у) = — (у') +уу'48х+ 2+ у +ЗусЬх дх, у(0) ,/ [2 2созг х / о = — 1, у(1) = 2яЬ2 — сЬ1. 41/4 68. /(у) = уу' агсфб х — (у') + — 9у~ + 1бу зЬх 41х, у(0) 2(1+ хг) о з 35 = О, у ( — ) = 2 зЬ вЂ” + зЬ вЂ”. 14/ 4 4 1 55 3(у)=/ [5 и'- гу'-*'Уз(и')'[4 .3Н =-у,и(1) =1 1/4 г Г[4 12 б 1 81/х 1[ 1 70. /(у) = ) ~ — (у') + — уу' — — у~ 4/х, у(1) = — —, у(2) = О. / ~х х2 хЗ 1 з 71.,/(у) = 2ъгх(у')г + — — — (Кх, у(1) = — 2, у(3) = 2.
уг Х1/Х Х~/Х~ 1 32. 3(у) — 1 [15 455-;-3 'ии' — *'(и)'[ 5, и(1) = 1, и(4) = -3. 1 г 31 22. Х(у) = 1 — ( ( 1(у')' 4 у'Д 4, у(1) = 5, „(4) = —. 1 1 Г1'1 34 3(и) — / [4*'(у')' — 5*'ии' — ии[ 4*, и [-/ = —, и(1) = —. '53) 2' б 1/З 35. 3(у)= / [4уу' — * (и) 44*у[у*,у -~1 =у(2) =-. 5,2/ 2 1/г 1 Г1'1 3 35. 3(У) = / [5* У вЂ” Уи'4 (У) [ 4*, У ( 1/ = -, У(1) = 1.
1/2 Глава 6. Элементы вариационного исчисления 232 ВВ,У(у) = [т у — я у и ( ) Г [ з( и)з 11тгуу' Зтуз 10т2у~ в(я у(1) З у(2) 10 1 вв и(и) — / ~ 'Ф' — ио ии' — и' — в и!и,и(и) =з, и(з) =о. 1 з 90.,У(у) = / ~(у') + — у ~ сЬ, у(1) = 1, у(4) = 8. 1 Найти значения вещественного параметра, р а а, п и которых на допустимой зкстремали достигается минимум (9 — ): 91 — 93): 1 "'»=У<"-"" ">' '='"' =' о 1 вз. и(и) =/ ~(и~'-,-. (,т]в*.иощ =о.и(ц =ьр+.~. о ! вз.
иии) = / (* и ' и и' + Ои"г1 и*, и(о) = о, ищ = и. о Найти допустимые зкстремали (94 — 101); 94.,У(у) = у" (у')~Их, у(0) = О, у(1) = 1. о 1 вз, и(и) — / $и Ь) и ои$ в, и(о) = о и(и) = -о. о л/2 вв и(и)=/ Ьт '"*и'и 1в и(в) =о и~и) = —, л/4 / и в — 1 1 =е1 97.,У(у) = ~ — ) — ту' — у вЬ, у(0) = 1, у(1) = е у о з 19. Простейшая вариационная задача 233 2 Г [1пд' — Зуу' — ху'] г7х, у(1) = — 1п 2, у(2) = О. 1 г7г у+ху' — — (у') дх, д(0) = —, у о 2 | [у'е" + ' (у )з] г(х, д(Ц = 3, г (2) = 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
