1611689249-2463c0540415b4d8be5bf8d7c9050a3a (826751), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Задачей Коши для уравнения (1) называется задача нахождения интегральной поверхности уравнения (1), проходящей через заданную кривую 7. Пусть гладкая кривая 7 задается как пересечение двух поверхностей: Ф1(х,у,х) = О, Фз(х,у,г) = О. Чтобы в этом случае решить задачу Коши, необходимо из системы уравнений Ф1(х,у,г) = О, Фз(х,у,г) = О, и1(х,у,х) = иы из(х, у, х) = иг исключить х, у, х и найти связь между им из.
Если эта связь вида Ф(им из) = О, то уравнение Ф[и1(х, у, х), ив(х, у, х)] = О дает решение задачи Коши для уравнения (1). Примкр 1. Найти общее решение уравнения дх дх (х — у) — +(х — ) — = у — * дх ду и ту интегральную поверхность этого уравнения, которая проходит через прямую х = 1, у = х. Ь Характеристическая система имеет вид х(Х) = г — у, у(~) = х — х, г(1) = у — х. з 18. Квазилинейные и нелинейные уравнения 213 Сложив первые два уравнения, рассмотрим систему < х+у=х — у, х = у — х.
Отсюда х + у + г = О или Нх + Иу + сЬ = О, что дает первый интеграл и1=х+у+х. Если первое уравнение характеристической системы умножить на х, вто- из =х +у +хз. Общее решение уравнения задается формулой Р(х + у+ х, х + у + г~) = О, где г"(им из) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Для решения задачи Коши, исключая х, у, х из системы х=1, у=в, и1 = х+у+х, и2 = х2+ у2+ хз 1 находим, что из = 1+ — (и1 2 задает функция — 1) .
Следовательно, решение задачи Коши 1 х +у +х = 1+ -(х+у+х — 1) . 2 Если кривая з задана параметрически х = ф1(т), у = ~Ря(T), л = фз(T), то из системы уравнений х = ~01(т)~ у = фя(т)1 3 = фз(т), и1 = и1(х,у,х), из = иг(х, у, х) рое уравнение умножить на у, третье уравнение умножить на г и сложить, то получаем хх + уу+ хг = О или Ых+ уду+ гсЬ = О. Отсюда находим еще один первый интеграл 214 Глава 5.
Дифференциальные уравнения в частных производных находим связь Ф(иыи2) = О. Тогда уравнение Ф[и4(х,у,х),и2(х,у,г)] = О задает искомую интегральную поверхность, проходящую через кривую у. Примкг 2. Найти интегральную поверхность уравнения дх дх у — х х2+у2+22 дх ду проходяшую черех кривую х = т, у = т2, г = О.
Ь Составим характеристическую систему х(2) = х, у(~) =у, 4)«) =*- «~*'т« ~Р. Перемножая крест-накрест первые два уравнения системы и отбрасывая Ж, находим, что у44х = хс(у. Отсюда и4 = — — первый интеграл. Умножая у х первое уравнение на х, второе — на у, третье — на х и складывая, имеем **-«««+ *=*'-««'-«*'- ««2т+Р+Р Перемножая крест-накрест это выражение с третьим уравнением системы, получаем после отбрасывания д2 )*- /ттРь ь)) ь+«~««-*ь) =)" «-«4+*'-.««т«««'~*')~* Отсюда 4* .«у .«)= — 2 l .«у 3 .
° = «)РтР~7-«' Из системы уравнений х=т, у=т2, 2=0, у и4 = —, х находим, что и22 = и2+ и4ы Тогда искомая интегральная поверхность задается уравнением 2 4 )*<.,/ .«у .«* ) = †.«вЂ” й) х2 х4 В задачах (1 — 33) найти интегральную поверхность уравнения, проходящую через заданную линию. я 18. Квазилинейные и нелинейные уравнения 215 ая дх 2 г г 2 — 2 1.х — +у — 2 — х — у,х+у 12 х — 1 дх ду 2 дх дя 2. (х — у ) — +ху — +хуя=О,х=х,у=1. дх ду ,а.,а. 3. хх — + уя — = х у, я = х, у = —. дх ду ' ' х' дх 2 ах 4. (х у — х) — — ху — =я,х=х,у=1, дх ду г дя дя 5.
(х + у ) —, + 2ху —, = хя, у = 1, 2 = х. дх ду а дя 6. у —,— х — =х+у,х=О,у=я. дх ду 7. (у + х — х ) —, — 2ху — + 2хя = О, х = О, 2 = у . г г г дя дя дх ' ду де дх 8. (я — у) — + (х — я) — = у — х, х = у = я. дх ау дх дх 9. хх — +ух — +х +у =О,х=1,у=я. дх ду , а. а. 10.
(х — у — х ) —,+2ху — — 2хх=О,х=О,у=я1п дх ду де дх 11. (х — у) — + (х+ у) — — 2 = О, х = соя т, у = я1пт, дх ' ду 12. у х — — ху я —,+х(х +у )=О,х=~т,у=1,2 4 а~ 3 д 2 2 дх ду 2 дх дх 13. (х — у + х ) — + 2ху —, = 2хя, х = 1, у = сЬ т, 2 дх ду 2 дх гдх 14. (ху — х ) —, + у — = 2 + 2ух, у = 1, 2 = 2х.
дх ду ,а, а 15. х(4 — х ) — + (2х у + 1) —, = х, х = 1, у = — 2. дх ду здя г г дя 16. 2х — + у(2х — у ) — = 1+ 2, х = 1, у = атеей я. дх ау дх /дх 17. (2х+ у) —, + (х+ 2у) ( — — 1 = О, х = О, х = 2у. дх ду т, 2 = соя т. = ъlтг+ т. = яЬт. 216 Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных г 18. у — +ух — = — е,х — у=О,х — ух=1. дх ду где ае 19.
(х — у) — + хх — = ху, х = О, у = О. ах ау дх ах у 20. у — +х — = —,х=1,в=у. дх ду х' дх дл г 21. (хх+ у) — + (х+ ух) — = 1 — х, х = 2, 2х = Зу. дх ду дх дг 22. (2у — х) — + у — = х, у = Зхг, х + х — 4у = О.
дх ду дх дх 23. у — +х — =х+у+г, х+2у=О, в=О. дх ду дл дх 24. х — + у — = ху+ х, у = хг, х = 2ху. дх ду где г д~ 25. — х — + (ху — 2х ) — = хх, ху = 1, х + х = О. дх ду 26. (2х + у + х ) — + 2у — = 2г, у — г + 1 = О, х = 2х. г г дг дх дх ду дх дг 27. — (х + Зух) — + у — = г, х+ 2уа = О, уг = 1. дх ду г г д~ д~ г 28. (2у — х ) — — 2ху — + 2х = О, у = л = 1.
дх ду ,а д. 29. (хг — уг) — +х — +у=О,х=О,у=в. дх ду г дг дг 30. (х + у + х ) — + у — = х, х = у = 1. дх ду , д. а. 31. (х — у) — +ху — +хух=О,г=х,у=1. дх ду дх ах 32. 2х — + (у+ х) — = у+ х х = уз х = О дх ду дг дг г 33. Зу — + (х+ 2у) — = Зсов х Сях, х+ Зу = 1, х = — (О < х дх ду ' ' 4 34, Найти поверхность, проходящую через окружность хг + уг а = 1 и ортогональную к семейству сфер хг + уг + г~ = бх. 2) хг пг 217 ~ 18.
Квазилинейные и нелинейные уравнения 35. Решить уравнение дв дх — у — + х — = ул дх ду преобразовав его к новым независимым переменным и = хв + уз, 36. Решить уравнение , д.,д. х —,+у дх ду 1 1 преобразовав его к новым независимым переменным и = — — —, и = у. х у В задачах (37 — 40) найти решение нелинейного уравнения, удовлетворяющего указанному начальному условию. ди ди ди 37. х + у — = — —, и = х, у = О. ду дх ду' /ди~ ди 38. ~ — ~ +у — =О,и=х,у=1. 1, дху ду ди ди /ди1 39.
х — +у — +~ — ) =и,и=х,у=1. дх ду 1,дху ди / ди'1 ди 40. х — +~ — ~ = —,и=х,у=1. дх ~д*~ ду 41. Определить функцию в = в(х,у), удовлетворяющую одновременно двум уравнениям дв дх дх дх 2уз х — +у — = О, х — +2у — = дх ду ' дх ду хз+ уз' 42. Определить функцию и = и(х,у), удовлетворяющую одновременно двум уравнениям д 3 д 3 — + — =О, — — — =2(х у)з 218 Ответы к задачам 3 18 ( г+„г)г ( г+уг+ )г 4 г 2 1пу + хгегв-г уг 1. 2.
5 4х — 5х у = — — 5. 4х у5 хух — (ху — 1пу) . 3. 4. г г+ г (х — у — х)г = 4(хг + уг). уг( г + уг + хг) угх + хз (х+у+х) =3(ху+хх+ух). г+2уг г(,г +уг+ г) (.г+„г+ г)г г+ г 10. 19. 20. 21. 12 13 14 15 16 17 Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных х = е' сов (1+ т), у = е'в1п(~ + т), х = ~е'. г г+ ( г+уг)г уг (хг + уг — хг)г = 4( г — хг) уг — + у = — ~3+ — — у). 4 / б — Зх'~ 4 — (4 — х )у+ 4х+1п ~ ) = — 1п~х~. 3 1,2+х) 3 1 1 у — + агсс8х = — + 4хг 4 я:рь*' .)з ( + у)(у )г уз — Зхух = (ух+ цз 3(ух+1)г+ 3(ух+1) хг — уг = хг+ (х — у)г у + х(1 — 2х) + — х + (2х — х — 1) 1п х = —. г г г 1 2 2 3(х + у) (х — 1) = 5(х — у) (х + 1).
219 З 18. Квазилинейные и нелинейные уравнения 22. Зхг(х — 2у+ г) = 2уг. 23 хг уг З(х+ у)г уг 25. ху+ х = 1 — ~/ — хз. 26 ~у хн2х уг хг) 2уг 27. ху+ Зу г = г у 28 Зу(а — хг) — 2у4 4у Зуг — Зхг 29 ~у+ г)г = 2(х+уг+ хг) 30. вг = у(х~ + уг — х). хг 31. — +1пу = †. е~1" ~1. 2уг 32. *= х — (х — у)3 ЗЗ. х+ Зу = Сдх. ~г 34. (а — 1)х = ~х — — + — ) +у.
Ь Ьг~ 2 2) 1 35. х= х'+ уг + Пх) ' х /1 11 36. х=е х у 37. и = х(1+ у). 38. и = х — 1пу. 39. и = х — у + 1. 1 г г 1 40. и = хе" ~ + -е~1" 0 — —. 2 2 уг~ 41. х=1п 1+ — ~+С. хг,~ 42. и = -(х — у) + С. 2 Глава б ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ й 19. Простейшая нариационная задача Рассмотрим ,У(у) = Р[х, у(х), у'(х)]Йх, О где а и Ь (а ( Ь) заданные числа, Р(х, у,р) — заданная вещественнозначная дважды непрерывно дифференцируемая функция при всех х Е [а, Ь], у Е ( — оо,+со), р Е (-оо, +со). Пусть М обозначает множество всех непрерывно дифференцируемых функций у(х), заданных на [а, Ь] и удовлетворяющим граничным условиям у(а) = А, у(Ь) = В, где А и  — заданные числа.
Простейшей вариационной задачей называется задача нахождения слабого экстремума з(у) в классе функций у(х) е М. Если дважды непрерывно дифференцируемая на [а, Ь] функция у(х) является решением простейшей вариационной задачи, то она на [а, Ь] необходимо удовлетворяет уравнению Эйлера. дР д дР— — — —,=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
