1611143572-9d260122e1f7b937cc263fb9b1cd060d (825035), страница 66
Текст из файла (страница 66)
t = π m/(2πR∆p).p3.3.9. Фокусируются на расстояниях l = π(n + 1/2)v0 m/k, где n — целое число.297l p3.3.10. Число пересечений равно целой части величиныg/R.πv0p3.3.11. T = (4/3)π l/g.3.3.12. l = A cos[π(1 − T /T0 )].rpmg3.3.13. t = π + 2 arctgm/k.2k(H − h)p√√v0v0πpl/(µg) при v =6 µgl, t =+ l/(µg) arccosпри v > µgl, где3.3.14. t =2µgvpv 0 = v 2 − µgl.3.3.15∗ . w = 2R/(πA) при A R, w = 1/3 при A = 2R. Увеличится.d p3.3.16.
u =k/m, где n — целое число.2πn3.3.17. t = T /4 + τ /2. mgmg3.3.18. а) x =(cos ωt − 1). б) x =+ l (cos ωt − 1). Ось x направлена вертиkkкально вверх, начало отсчета — в начальном положении.ssmvkkmvt, x = psint.cos3.3.19. v =m+Mm+Mm+Mk(M + m)3.3.20. С момента первого удара шарика о стенку в течение полупериода происходитсжатие и возвращение пружины в недеформированное состояние. Затем происходит второйудар в момент, когда пружина не деформирована,после чего шарики начинают двигаться сpпостоянной скоростью v.
Период T = 2π m/(2k).m1m2m13.3.21∗ . v1 =v 1+cos ωt , v2 =v(1 − cos ωt).m1 + m2m1m1 + m23.3.22. Fмакс = 2F ; τ = T /2.sF22A0 F∗3.3.24 . A =A20 + 2 −cos ωt0 . При t0 = π(2n + 1)ω, где n — целое число,kkамплитуда наибольшая; при t = 2πn/ω — наименьшая.p3.3.25∗ . x0 = u m/k.p3.3.26∗ . При u > µg m/k сразу начнутся гармонические колебания с амплитудой A =pµmg/k, при меньших u установятся колебания с амплитудой A = u m/k.∗3.3.27 .
µ = kl/(4M gn).3.3.28. BC = g(M + m)/(M ω 2 ).3.3.29. F = −mω 2 x = −mω 2 A cos(ωt + ϕ), наибольшее по модулю значение силы mω 2 Aдостигается в момент времени t = (πn − ϕ)/ω, где n — целое число.3.3.30. При ω 2 A > g груз подскакивает, а его отрыв от поверхности мембраны происходитвыше ее среднего положения.3.3.31. A = F/(mω 2 ).3.3.32. h = A + g/(2ω 2 ) + ω 2 A2 /(2g) при ω 2 A > g.√3.3.33∗ . A = (g/ω 2 ) π 2 n2 + 1, где n — целое число.3.3.34∗ . При амплитуде A 10−11 см ускорение торца пластинки много больше ускорения g = 0,8 м/с, которое может обеспечить трение, поэтому груз практически остается наместе, почти не влияя на частоту. При амплитуде A < 10−11 см груз движется вместе с торцоми влияет на частоту заметным образом.
vмакс = πg/(2ω) ≈ 1,57 · 10−6 м/с.3.3.36∗ . uср = πv0 tg α/(2µ).§ 3.4. Наложение колебаний3.4.1. Будет происходитьналожениеpp гармонических колебаний по горизонтали и вертикали с частотами ω1 = 2k1 /m и ω2 = 2k2 /m. При k1 6= k2 прямолинейное движение возможнотолько по вертикали и горизонтали.2983.4.2. Телу. отклоненному от положения равновесия на расстояние r, нужно в направлеpнии, перпендикулярном направлению отклонения, сообщить скорость v = ωr, где ω = k/m.T = 2π/ω.3.4.3. а. Траектория — эллипс с полуосями A и v/ω.
Пределы изменения расстояния от v/ωдо A.б∗ . Траектория — эллипс с полуосямиs qv21A2 + 2 ± (A2 + v 2 /ω 2 )2 − 4(xv/ω)2 .2ω3.4.4. 2ϕ = π/6.3.4.5∗ . При 2ϕ = πn, где n — целое число,√на экране виден√ отрезок; при 2ϕ = ±π/2+2πn —окружность. Длина полуосей эллипса равна A 2 cos ϕ и A 2 sin ϕ.3.4.6. Эллипс с осями по вертикали и горизонтали.3.4.7.
Отрезок, расположенный по диагонали экрана, превратится в вытянутый по этойдиагонали эллипс, полуоси которого постепенно сравняются по длине. Затем появится окружность, которая начнет превращаться в эллипс, вытянутый вдоль другой диагонали экрана,и т. д. Через время 2π/Ω весь цикл повторится.3.4.8.
Tx : Ty = 1 : 2, за исключением случая г, когда Tx : Ty = 2 : 1.3.4.9. Если Tx : Ty = p : q, где p и q — целые числа, то за время pTy = qTx точка вернетсяв свое начальное положение. При Ty = Tx траектория точки — эллипс.3.4.10. ωy : ωx = p : q = 3 : 4.p3.4.11∗ . µмин = 2F/(M + m1 + m2 ), за исключением случая m1 /m2 = p/q, где p и q —целые нечетные числа.k3.4.12∗ . F = k[A2 cos(ωt+ϕ2 )−A1 cos(ωt+ϕ1 )]. Eмакс = [A21 +A22 −2A1 A2 cos(ϕ2 −ϕ1 )].2kEср = [A21 +A22 −2A1 A2 cos(ϕ2 −ϕ1 )]. При ϕ2 −ϕ1 = π средняя энергия принимает наибольшее4значение, при ϕ2 − ϕ1 = 0— наименьшее.ω2 + ω1kω2 − ω1t sint .
Eср = (A21 + A22 ).♦3.4.13∗ . F = 2kA sin2243.4.14. N = (1/2)ωFp 0 A sin ϕ. p3.4.15. а. ω1 = 3k/m, ω2 = k/m.б. v1 = v(cos ω2 t + cos ω1 t)/2, v2 = v(cos ω2 t − cos ω1 t)/2; x1 = x2 = v(1/ω1 + 1/ω2 )/2;∆x = v/ω1 .в. v1 = v(2 cos ω2 t + cos ω1 t), v2 = v(2 cos ω2 t − cos ω1 t); x1 = x2 = v(2/ω1 + 1/ω2 );∆x = 2v/ω1 .3.4.16∗ . Движение атомов будет суммой следующих движений: а) все атомы движутсяпоступательно со скоростью v0 ; б) атом углерода неподвижен, а скорости атомов кислородаp(1)равны по модулю и противоположно направлены: v0 = ±v1 cos ω1 t, ω1 = k/M ; в) атомыкислорода движутся с одинаковой скоростью v2 cos ω2 t навстречу атому углерода, скоростькоторого равнаp2M−v2cos ω2 t, ω2 = k(1/M + 2/m).mСмещение атома кислорода в сторону атома углерода|v1 |M |v2 |111∆x =+ 1+2= v+.ω1mω22ω1ω2299v(ω1 + ω2 )[l(ω12 − ω1 ω2 + ω22 ) − g]g2,L=.ω1 ω2 [l(ω12 + ω22 ) − 2g]l(ω1 ω2 )2223.4.18.
k = m(ω − ω0 )/2.3.4.19. A1,2 = (A ± B)/2; ω1,2 = 2π/τ ± π/T .3.4.17∗ . xмакс =§ 3.5. Вынужденные и затухающие колебания♦3.5.1. См. рис.♦3.5.2. См. рис.♦3.5.3∗ . См. рис. Если удары следуют друг за другом через промежутки времени T0 , тоамплитудаqAn = [v0 /ω + np/(mω)]2 + x20 .Если через промежутки T0 /2, то амплитудаqAn = [v0 /ω + p/(mω)]2 + x20An =300qv02 /ω 2 + x20для нечетныхдля четныхn,n,ω = 2π/T0 .3.5.5. Около 63 см.3.5.6. Выбоины на дороге со стороны въезда расположены реже, чем со стороны выезда.3.5.7. До изменения курса и скорости катера происходила резонансная раскачка.3.5.8.
С ростом амплитуды увеличиваются потери за период. Когда они сравняются сприростом энергии из-за удара, дальнейшая раскачка прекратится.23.5.9. N = bv .mv 2dvd kx2∗3.5.10 .+= −bv 2 , отсюда m= −kx − bv.dt22dt♦3.5.11. См. рис. а: после одиночного толчка происходит постепенное затухание колебаний;рис. б: при периодических толчках первоначально происходит раскачка колебаний, а затем,когда прирост энергии порядка pv сравнивается с потерями за период, имеющими порядокbv 2 T , колебания устанавливаются.3.5.14.
При γω0 ≈ 1.3.5.15. Скорость осциллятора меньше в n2 , n3 раз его начальной скорости.3.5.16. За τ2 энергия уменьшится вчетверо. За время τ2 /2 энергия уменьшится вдвое.♦3.5.17. См. рис.3.5.19. γ = 102 с−1 , ω = π ·103 с−1 . Погрешность при замене ω на ω0 квадратично зависитот малой величины γ/ω0 .3.5.20. а. γ ≈ 10−2 с−1 . б. γ 0 = γ/4.3.5.21∗ . а. Q = ω0 /(2γ), n = Q/(2π). б. Примерно в 50 раз при Q = 108 и только в1,5 раза при Q = 109 .p23.5.22∗ .
vмакс =. vмакс ≈ 2p/m при 2πγ/ω 1;m 1 − exp(−2πγ/ω)vмакс ≈ 2ωp/(2πγm) при 2πγ/ω 1.3.5.24. A = F0 /(mω 2 ).pp3.5.26. а. A = F0 /[m(ω 2 − ω02 )], ω0 = k/m. б. A = F0 /[m(ω02 − ω 2 )], ω0 = k/m.∗223.5.27 . A = F0 /[m(ω − ω0 )]. Величины B и ϕ подбираются так, чтобы в момент времениt = 0 выполнялись начальные условия x(0) = x0 , v(0) = v0 .3.5.28∗ . x0 = F0 /[m(ω02 − ω)], v0 = 0, тогда B = 0.3.5.29∗ .
Дополнительное ускорение, связанное со свободными колебаниями, умноженноена массу осциллятора, равно дополнительной внутренней силе.3.5.30. Проведем рассуждения на примере колебаний тела, прикрепленного к пружине.Вынужденные колебания этого тела с частотой, меньшей собственной частоты, можно представить себе как свободные колебания на той же пружине тела с добавочной массой. Силу со301стороны этой массы можно рассматривать как вынуждающую. Она направлена против упругой силы, а значит, в направлении смещения. Вынужденные колебания с частотой, большейсобственной частоты, можно представить себе как свободные колебания того же тела с прикрепленной к нему добавочной пружиной. Силу упругости со стороны этой пружины можнорассматривать как вынуждающую.
Она направленапротивсмещения.2F0ω − ω0ω + ω0tsint.♦3.5.32∗ . См. рис. x(t) =sinm(ω02 − ω 2 )22F0 tω + ω0sint .m(ω + ω0 )2F0 t∗3.5.34 . x(t) ≈sin ω0 t.2mω0♦3.5.35∗ . При |ω − ω0 | γ первоначально возникшие биения постепенно переходят в вынужденные колебания из-за уменьшения по закону e−γt слагаемого, изменяющегося с частотойω0 . При ω = ω0 первоначальная раскачка колебаний с линейно возрастающей амплитудой плавно уменьшается и устанавливаются вынужденные колебания.
Характерное время установленияравно времени затухания свободных колебаний τ = 1/γ, когда их амплитуда уменьшится в eраз.3.5.33∗ . x(t) ≈а. F = −2Aγmω0 sin (ω0 t − ϕ). б. A = −F0 (2γmω0 ); в ω0 /(2γ) раз.γ = F0 /(2x0 ωm).ω0 = 550 с−1 , γ = 50 с−1 , Q = 5,5.Около 105 с.v = ω0 λ/(2π).F0∗3.5.41 . Скорость частиц спустя времяt после вылета v =(1 − cos ωt); их средняяmωскорость vср = F0 /(mω); наибольшая скорость Vмакс = 2F0 /(mω) достигается этими частицамиFна расстоянииπ(2n + 1) от источника, где n — целое число.mω 23023.5.36.3.5.37.3.5.38.3.5.39.3.5.40.F0(cos ωt − 1); их средняяmωскорость vср = F0 /(mω); наибольшая скорость vмакс = 2F0 /(mω) достигается этими частицамипо другую сторону от источника на том же расстоянии.F0Скорость частиц, испущенных в момент t = π/(2ω), v =sin ωt; их средняя скоmωрость vср = 0; наибольшая скорость этих частиц vмакс = F0 /(mω) достигается на расстоянииF0 /(mω 2 ) от источника.3.5.42∗ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
