1611143572-9d260122e1f7b937cc263fb9b1cd060d (825035), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Циклоида; средняя скорость vср = F0 /(mω) направлена по оси x. Если при t = 0vx = −F0 /(mω), а vy = 0, то частица будет двигаться по окружности радиуса r = F0 /(mω 2 ).Скорость частиц, испущенных в момент времени t = π/ω, v =§ 3.6. Деформации и напряжения. Скорость волн♦3.6.1.3.6.2.3.6.3.3.6.4.3.6.5.F/k; (N − 1)F/k.Увеличится на 10−14 м.k = ES/L, F = ES(∆L/L).k = Ea.См. рис. l = 3 мм.3.6.6. От 108 до −0,5 · 108 Па.3.6.7. F = 5 · 104 Н.3.6.8. На 1,2 · 10−4 м.3.6.9. ∆l = mal/(2ES).3.6.10.
w = Eε2 /2 = σ 2 /(2E).π 2 Ea4.3.6.11∗ . Aмин =6 l3.6.12∗ . ν = k/(k + 2k0 ).3.6.13∗ . ν = k/(k + 2k0 ).3.6.14. Увеличивается. ν = 0,5.3.6.15. κ = 3(1 − 2ν)/E.3.6.16. Возрастает примерно на 30 м. Плотность воды больше на 50 кг/м3 . Энергия вединице объема 2,5 · 106 Дж/м3 .3.6.17. Горизонтальная составляющая силы натяжения нити равна F ; по наклону негоризонтального участка нити находятся вертикальные составляющие силы натяжения, по ним —требуемые силы.303♦3.6.18. См.
рис. Силы, приложенные к точкам изгиба 1, 2, 3: F1 = −F0 b/L, F2 = F0 (b/L +b/l), F3 = −F0 b/l.3.6.19. u = −cε.3.6.20. а. dp/dt = −ρc2 ε.б. F = F0 ε; c =pF0 /ρ.p3.6.21. а. ε = −b/L, w = Eb2 /(2L2 ); u = −cε = cb/L. б. c = E/ρ.p3.6.22. а. dp/dt = ρcuS = −ρc2 εS. б. σ = −Eε, c = E/ρ.3.6.23. 5 км/с. Мысленно выделим тонкий стержень в листе стали.
Его поперечным смещениям «мешают» соседние участки листа. Жесткость такого стержня больше, чем стержнясо свободной боковой поверхностью.3.6.24. 550, 1400 и 340 м/с.3.6.25. c2 = ρ(P − P0 )/[ρ0 (ρ − ρ0 )].3.6.26∗ . При сжатии, плавно убывающем к фронту волны, скорость звука больше у болееудаленных участков, возмущения среды догоняют друг друга. В случае разрежения у дальнихучастков скорость звука меньше, они отстают, возмущение расплывается.♦3.6.27∗ . См. рис. Скорость частиц и высота подъема уровня воды в бегущей волне связанысоотношением u/c = ∆h/h. Приравниваемскорость изменения импульса разности сил давления;√ρhcu = ρgh∆h.
Отсюда c = gh.ωl. При ω ω0 c = ω0 l, ω0 ≈ 0,5 · 1014 Гц.3.6.28. c =2 arcsin(ω/2ω0 )§ 3.7. Распространение волн3.7.1. p = ρcbS.∆ρc l∆ρ;x=l.ρ Lρ3.7.3. P (t0 − r/c), где r — расстояние до датчика.3.7.4. Плотность потока импульса qp = ρcu(x0 − ct).3.7.5. F = 1400 Н.√ρ0 = ρ[1 + F/(SE)].
Импульс p = 0,5F τ , p0 = F τ ;3.7.6. u = F/(S Eρ),√ ε = −F/(SE); √2энергия W = 0,5F τ /(S Eρ), W 0 = F 2 τ /(S Eρ).3.7.7. A = 12,5 · 103 Дж, K/A = 0,25.3.7.2. а. qp = ∆ρc2 .304б. v =qqc1 c2 F ⊥, c1 = Fk /ρ01 , c2 = Fk /ρ02 .c1 + c2 F kp3.7.9. Вертикальные силы F1,3 = (ρv 2 −F )b/L и F2 = 2(F −ρv 2 )b/L. При v → F/ρ силы,действующие на струну, стремятся к нулю — струна «не противится»изгибу. Если силы соpстороны колечек тем или иным образом фиксированы, то при v → F/ρ неограниченно растутдеформации струны.3.7.10. Скорости волн «изгиба» и возмущения совпадут, что приведет к резкому увеличению амплитуды волн в шине. Это в свою очередь может привести к разрыву шины.3.7.11.
Скорость лодки и скорость волны, которую возбуждает лодка в реке, совпали.3.7.13. Плоский фронт. Направление распространения образует угол α с нормалью кгранице раздела сред (sin α = c/v).3.7.14. α1 = α, sin α2 = (c2 /c1 ) sin α.3.7.15. Шум двигателей распространяется медленнее фронта ударной волны, создаваемойсверхзвуковым самолетом.3.7.16. sin α0 = c1 /c2 .3.7.17.
Изменится направление только преломленной волны:♦3.7.8. См. рис.; u =c2 sin α1,c1 + v sin α1где c1 и c2 — скорости звука в неподвижном воздухе и воде, v — скорость потока воздуха, α1 —угол падения.3.7.18. а. Более удаленные от берега участки фронта волны движутся с большей скоростью, чем менее удаленные. Поэтому угол между фронтом волны и берегом вблизи са́могоберега уменьшается.♦б. См. рис.sin α2 =♦3.7.19. На границе раздела глубин возможно полное внутреннее отражение.♦3.7.20∗ . См. рис., на котором показаны «звуковые лучи», которые ортогональны к волновым поверхностям; в направлении ветра звук идет почти вдоль поверхности Земли, а в противоположном направлении уходит от нее.3.7.21.
ν = ν0 /(1 − v/c).3.7.22. ν1,2 = ν0 (1 ± v/c); ν3 = ν0 [1 − (v/c) cos α].20305§ 3.8. Наложение и отражение волн3.8.1. В первом случае (см. рис. а к задаче 3.8.1) кинетическая энергия равна нулю, апотенциальная энергия U = 2E. Во втором случае (см. рис. б к задаче 3.8.1) кинетическаяэнергия K = 2E, а потенциальная равна нулю.♦3.8.2. Разбегающиеся волны деформации с ε = −0,5 · 10−3 .♦3.8.3. См. рис.♦3.8.4. См. рис. P = 2ρcωA cos ωt. Длина волны λ = 2πc/ω. Вблизи стенки — узел скоростии пучность давления.
Первый узел давления отстоит от стенки на расстоянии λ/4.3.8.5. См. рис. в условии задачи. В «неперевернутой» волне смещений знак деформациипротивоположен знаку деформации падающей волны.♦3.8.6. A = v0 /2ω. На конце стержня — пучность скорости и узел давления. Первый узелскорости отстоит от конца стержня на расстоянии λ/4 (см. рис.).3.8.7. При отражении волны от внутренней поверхности стекла в нем возникает областьвысокого напряжения (растяжения).3.8.8∗ . u = 2P/(ρc) = 250 м/с; l = cτ /2 = 1 см.cσ 1σ 1L3.8.9∗ . l =L − arcsin=1 − arcsin. l = L/2 при σ0 σ, l = L/4 при2ωσ02πσ0σ0 ≈ σ.3.8.10.
P = ρcu = 3,9 · 104 атм. Сила, приложенная к торцу стержня со стороны стенки,порождает в нем волну сжатия. Доходя до свободного торца, она от него отражается. Отраженная волна является волной растяжения. При наложении друг на друга отраженной волныи волны, порождаемой действием силы со стороны стенки, деформация исчезает, а скоростьучастков стержня меняет знак. Когда фронт отраженной волны доходит до стенки, весь стержень оказывается недеформированным и контакт его со стенкой прекращается. Время контактаτ = 2l/c = 4 · 10−4 с.3063.8.11.
vl = v, vL = v|1 − 2l/L|.3.8.13∗ . v1 = 0, v2 = vl1 /l2 .√√√uотрρ1 E1 − ρ2 E2 uпр2 E1 ρ1√√3.8.14.= √,= √.uпадρ1 E1 + ρ2 E2 uпадE1 ρ1 + E2 ρ23.8.15. D ≈ 4ρ1 c1 /ρ2 c2 ≈ 1,1 · 10−3 .3.8.16. При наличии прокладки коэффициент прохождения волны, принимаемой датчиком, увеличивается от 0,25 до 0,41. Появляются вторичные сигналы («эхо-сигналы»), следующие друг за другом с интервалом 2l/c, мощность которых убывает в геометрической прогрессии.
При высокой частоте следования сигналов «эхо-сигналы» налагаются друг на друга, тогдаподбором толщины прокладки можно добиться почти полного прохождения или отражения сигнала.ρ 1 c 1 − ρ 2 c2 2, L = 2lc1 /c2 .3.8.17. n =ρ1 c 1 + ρ2 c 2∗3.8.18 . L = 2lc1 /c2 . n = 1. Нет.3.8.19. l1 = 1,25 мм, l2 = 2,5 мм.§ 3.9. Звук. Акустические резонаторы3.9.1. λ = c/ν = 6,6 м.3.9.2. l = c/4ν = 82,5 см.3.9.3.
c = 2l/ν.3.9.4. v1 = 6,8 см/с, v2 = 6,8 · 10−8 м/с, x1 = 0,11 мм, x2 = 1,1 · 10−11 м, P1 = 3 · 10−4 атм,P2 = 3 · 10−12 атм.3.9.5∗ . I > 3 кВт/м2 .3.9.6∗ . F = 2L2 ρcv. При ω c/L происходит почти полное выравнивание давления вструе воздуха, поэтому излучение звука слабое.3.9.7. E = 2πR2 ω 2 A2 ρc. Амплитуда давления в волне обратно пропорциональна расстоянию до центра шарика.3.9.8∗ . а. Две разбегающиеся волны: скоростиu=F0xcos ω t ∓2Sρcc(отсчет координаты x начинается в сечении, где расположен источник действия силы F ) идеформации ε ∓ u/c.б.
Между источниками силы возникает стоячая волна:lωxF0cos ω t −cos;u=Sρc2ccвне источников — две разбегающиеся волны:u=F0ωlxcoscos ω t −Sρc2cc(отсчет координаты x начинается в точке, расположенной посередине между источниками силы F ). Если на расстоянии l умещается четное число полуволн — мощность результирующейволны максимальная, если умещается нечетное число полуволн — мощность результирующейволны равна нулю.3.9.9∗ . При l = (1/4 + n)λ; при l = (3/4 + n)λ, λ = 2πc/ω.3.9.10.
L = 2λ, c = Lω/4π.3.9.11∗ . а. Узлы напряжений находятся на расстояниях от свободного конца, кратных λ/2.σ0 SF0 =.sin(2πL/λ)307♦б. См. рис.; ω = 2πnc/(2L), где n — целое число, c = ωλ/(2π) — скорость звука. Можно.3.9.12. νn = n · 2500 Гц. На расстоянии 25 см от его концов.3.9.13. Уменьшатся в два раза.2πA0. τ =.3.9.14∗ . A =| sin(ωL/c)|ω| sin(ωL/c)|3.9.15. ν = c/(2L) = 8,25 Гц.3.9.16.
При изменении высоты столба воздуха, находящегося в сосуде, меняются его резонансные частоты. Звук усиливается при уменьшении разности между частотой камертона иодной из резонансных частот столба воздуха.3.9.17. 50, 250, 450 м и т. д.(1)(2)3.9.18. ν0 = 300 Гц; ν0 = 150 Гц.3.9.19. Чтобы набор собственных частот инструмента был как можно богаче. Тон понижается с увеличением размера.3.9.20.
В звучание голоса вносят вклад собственные колебания воздуха. Соответствующиедлины волн в гелиево-кислородной среде будут неизменны, а частоты возрастут при ростескорости звука. Общий тон голоса повысится. Частота же колебаний камертона не изменится,той же частоты будет и звук.3.9.21. F = 4l2 ν 2 µ = 144 Н.3.9.22. Около пучностей смещений на расстоянии l/6 или l/3 от конца струны.3.9.23.
Из-за трения между рукой и стержнем возникнут большие потери энергии. Онинаименьшие для середины стержня, где имеется узел скоростей, наибольшие — для его концов,где пучность скоростей.3.9.24∗ . Основные потери энергии связаны с переходом волны из одной среды (сапфир) вдругую (воздух). Коэффициент прохожденияD = 4ρвозд cвозд /ρсапф cсапф = 0,7 · 10−4(см. задачу 3.8.15). Потери увеличатся примерно в 104 раз.3.9.25∗ . Мощность проходящей волны составляет одну и ту же долю от мощности падающей независимо от того, идет звук из воздуха в воду или из воды в воздух, при этом доляэта весьма малая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
