1611143572-9d260122e1f7b937cc263fb9b1cd060d (825035), страница 65
Текст из файла (страница 65)
E = 4,1 МэВ.2.5.34∗ . cos α = (p2 − 2mE)/(p2 + 2mE), если 2mE < p2 ; α = π/2, если 2mE > p2 .2.5.35. h/h0 = [(m1 − m2 )/(m1 + m2 )]2 .2.5.36. Q/K =p(3 − m1 /m2 )/4.p2.5.37. Q1 = 2 Q2 m (v − 2 Q2 /m ).srrFlFlFl∗(1 + 1/n); un =; vn →при n → ∞.2.5.38 . vn =mm(1 + 1/n)m2.5.39. tg β = tg α − 2µ при tg α > 2µ; в противном случае β = 0.2.5.31. E =§ 2.6. Сила тяготения.
Законы Кеплера2.6.2. a = K/R2 , где R — расстояние от планеты до Солнца, K — постоянная.2.6.3. h ≈ 700 км.2.6.6. По приведенным данным γ = r 2 a/(2M ) ≈ 5 · 10−11 Н · м2 /кг2 , что сравнительноблизко к результатам точных измерений.2.6.7. M ≈ 6 · 1024 кг.2.6.8. M ≈ 2 · 1030 кг.2.6.10. В 0,3 раза.2.6.11. В 6 раз.2.6.12. R = (γm /ω 2 )1/3 .2.6.13. T1 ≈ 0,7 pгода.2.6.14∗ .
T = 2π R3 /γ(m1 + m2 ).2.6.15. m/m = µ = r 3 /T 2 .2.6.16. ω 2 = 3γm/l3 .2.6.17. v1 ≈ 7,9 км/с; v2 ≈ 1,7 км/с. T1 = 84 мин;T2 ≈ 105pмин..2.6.18. p = 2m0 γm/R sin α22.6.19. F = 3mv 2 /(4R).2.6.20. ∆N ≈ 9 · 103 Н.♦2.6.21. а. R ≈ 42 · 103 км. б. «Восьмерка», «касающаяся» 60-х параллелей с точкойсамопересечения на экваторе.M mhmgh − ∆Uh2.6.22. ∆U = γ;= .R(R + h)∆UR2.6.23∗ .
v =q4,6 км/с.2.6.24. u = v 2 − v02 .2.6.25. В 10 раз меньше.2.6.26. v1 ≈ 11,2√ км/с; v2 ≈ 2,4 км/с.2.6.27. ∆v = ( 2 − 1)v.2.6.28. h = 59 км.2.6.29. ρмакс p= 3H 2 /(8πγ).2.6.30∗ . v = 3γm/R.2.6.31. v ≈ 42 км/с.2922.6.32∗ . v ≈ 16,7 км/с.2.6.33∗ . vмин = 29 км/с.2.6.34. U = −2K.2.6.36∗ . S = (1/2)vrt sin α.2.6.37. ωп /ωа ≈p45.2 ).2.6.38∗ .
ρ = R 1 + 2γM/(Rv2γMr2.6.39∗ . V = v−1 ; R=, M — масса Земли.rv 22γM/rv 2 − 1∗2.6.40 . E = γM m/(rа + rп ).2.6.41∗ . R1 /R2 = 2u2 /v 2 .2.6.42∗ . dv = γM dϕ/(vп rп ). Вектор dv направлен к центру планеты.2.6.43∗ . Момент скорости (векторное произведение скорости на радиус-вектор, проведенный из центра орбиты) зонда такой же, как и момент скорости станции; при повороте зонда истанции на одинаковый угол одинаково изменятся и векторы скоростей.
Из неизменности момента скорости зонда: up = (v − V sin α)r следует, что r = p/(1 − ε sin α), где ε = V /u. При ε < 1траектория зонда — эллипс, при ε = 1 — парабола, при ε > 1 — гипербола.puupu, rа =; αпр = arcsin .2.6.44∗ . При V < u; rп =u+Vu−VV∗ . Эта скорость параллельна большой оси и перпендикулярна вектору V , поэтому♦2.6.45√V0 = u2 − V 2 . Так как1pu2a = (rа + rп ) = 2,2u −V2то a = γM/V02 (из уравнения u2 /p = γM/p2 для круговой орбиты следует, что pu2 = γM ).pОкончательно V0 = γM/a.dS11 p= bV0 = b γM/a. (См. решение задачиdt22√2.6.45.) Период обращения спутника T = 2πab/(bV0 ) = 2πa3/2 / γM .Можно решить эту задачу, не обращаясь к решению задачи 2.6.45. Радиус кривизны орбиты в вершине большой оси эллипса R = a/k2 = b2 /a. Поэтомуsrv2v2 aMM b2dS11γM= 2 = γ 2 → vr = γ,= vr = b.Rbradt22a♦2.6.46∗ .
Скорость «заметания» площадиПериод обращения спутника T = 2πaba3/2= 2π √.dS/dtγM2.6.47. В 1910pг.2.6.48∗ . t = π R/g [(1 + Rc /R)/2]3/2 .2.6.49∗ . t ≈ 65 суток.2.6.50∗ . ∆v ≈ 70 м/с.γM m(R23 − R13 )2.6.51. F =.(R1 + R2 )R12 R22γm2γmM (3R2 r + r 3 )2.6.52∗ . N =−;4r 2R(R2 − r2 )2∗122.6.53 . σ ≈ 1,8 · 10 Па.19∗R=√312 R0 .293§ 2.7. Вращение твердого тела2.7.1. K2 /K1 = 32.2.7.2. K = mR2 ω 2 /2. У диска энергия меньше.2.7.3.
M = mR2 ω/t; M = mR2 ω 2 /(4πN ).2.7.4. t = ωR/(µg), n = ω 2 R/(4πµg).2.7.5∗ . J = m1 r12 + m2 r22 .2.7.6. n = ω 2 R(1 + µ2 )/[4πgµ(1 + µ)].2.7.7. n = ω 2 R(1 + µ2 )/[8πgµ(1 + µ)].2.7.9∗ . w = |m1 − m2 |gR/(J + m1 R2 + m2 R2 ).2.7.10. P1 = mg/2 − Jw/l; P2 = mg/2 + Jw/l.2.7.11. a = F/(m1 + m2 ); w = F/(m2 R).2.7.12. a = (1/2)g sin α. Fтр = (1/2)mg sin α.2.7.13∗ . T = p(1/7)mg sin α.2.7.14∗ . v = gl(sin α − 2µ cos α).2.7.15. a = 2m2 g/(2m2 + m1 ).2.7.16. J = mr2 [gt2 /(2h) − 1].(m1 R1 − m2 R2 )R2(m1 R1 − m2 R2 )R1, a2 = −g;2.7.17. a1 = gJ + mR12 + m2 R22J + m1 R12 + m2 R22J + m2 R2 (R2 + R1 )J + m1 R1 (R2 + R1 )T1 = m1 gT2 = m2 g.J + m1 R12 + m2 R22J + m1 R12 + m2 R22g1mg2.7.18.
a =; T =.1 + J/mr 22 1 + mr2 /J∗2.7.19 . a = g/2.2.7.20∗ . cos α > r/R.♦2.7.21∗ . См. рис. t = ω0 R/(2µg).Q/E = 1/2.2.7.22∗ . t = v0 (3µg). Q/E = 1/3.2.7.23∗ . t = v/(µg).2.7.24. ω > 3v/R.2.7.25. ω1 = ω3 = ω/3; ω2 = −ω/3.2.7.26. α = 60◦ . Меньше.2.7.27∗ . N = 4m1 m2 g/(m1 + m2 ).2.7.28∗ . N = mgl2 /(l2 + 3a2 ). 2g(m1 − m2 ) 2g(m1 − m2 ) < 1;2.7.29.
cos α = 2при 2ω l(m1 + m2 )ω l(m1 + m2 ) в противном случае α = 0 или π.J1 ω1 + J2 ω2J1 J2 (ω2 − ω1 )22.7.30. ω =. Q=.J1 + J22(J1 + J2 )∗2.7.31 . ω = v/(2R).2.7.32∗ . ω10 = (3ω1 − ω2 )/4; ω20 = (3ω2 − ω1 )/4.2.7.33. u ≈ m2 v/m1 ; ω = 2m2 vh/(m1 R2 ).2.7.34. ω = 2m2 vr/(m1 R2 + 2m2 r2 ).2.7.35. ∆ω = ωmR2 /J. Возрастает в (1 + mR2 /J) раз.2.7.36. n = 33/8 ч−1 .2.7.37. На запад. Такой ветер в северном полушарии называется северо-восточным пассатом.2.7.38∗ . m ≈ 4 · 1016 кг.2.7.39∗ . а. «Горбы» приливных деформаций Земли и приливов в ее океанах запаздываютотносительно прохождения Луной или Солнцем зенита и «антизенита».б.
Прилив в атмосфере Земли приводит к появлению момента сил, ускоряющих суточноевращение.√2.7.40∗ . v = 3gL.12.7.41. Q = /10 mv 2 .2943m22 v 2.gl(4m1 + 3m2 )(m1 + m2 )∗2.7.43 . На расстоянии 2l/3 от руки.2.7.44. F 0 = F (mRx/J − 1). При x = J/(mR) F 0 = 0.2.7.45. После первого удара скорость центров гантелей равна (v1 − v2 )/2, при этом онивращаются в противоположные стороны с угловой скоростью (v1 +v2 )/l. Спустя время πl/2(v1 +v2 ) произойдет второй удар; вращение прекратится и гантели полетят с теми же скоростями,что и до первого удара.23m22.7.46∗ . h = H.m1 + 6m2∗2.7.47 . M = µ(u − ωR)R.2.7.48∗ . N = µ(u − ωR)Rω. ω = u/R − M/(µR2 ).2.7.42.
cos α = 1 −§ 2.8. Статика2.8.1. T = 98 Н, F = 138 Н.2.8.2. F = 0,98 Н.2.8.3. h ≈ 700 м.2.8.4. Соседние нити образуют угол 120◦ .2.8.5. m2 = m1 sin α/ sin(l/R −√α).2.8.6. T ≈ 2,6 Н; α = arctg(3 3 ).2.8.7. x = 5F/k.2.8.8. l0 = 2l2 − l1 .2.8.9. T = mg/(2 tg α); T 0 = mg/(2 sin α).2.8.10. FA = mg sin β/ sin(β − α); FB = mg sin α/ sin(β − α).2.8.11. FA = mg tg α; FB = mg cos 2α/ cos α.2.8.12. µ = tg(αмин /2).p2.8.13. dмакс = d0 + 2R(1 − 1/ 1 + µ2 ).∗2.8.14 . tg α =√(µ1 − µ2 )/(1 + µ1 µ2 ).2.8.15. µ = 1/ 3.2.8.16∗ .
fn = F (f /F )n .2.8.17∗ . F = F0 e−µθ .2.8.18. а. F1 = F2 = 98 Н; б. F1 = 24,5 Н, F2 = 171,5 Н.2.8.19. m 6 7,5 г.√2.8.20. m = m1 m2 .2.8.21. ∆m = (h/L)m0 tg α.2.8.22. ∆m± = µ(M + 2m)r/(L ∓ µr), возможны «избыток» и «недостача».2.8.23. α = arctg (1/3).p2.8.24. T = mgL/2h; P = mg 1 + (L/2h)2 .√2.8.25∗ . Tn = (2n − 1)mg/ 3.2.8.26. P = (1/4)mg ctg α.2.8.27. µ > 1/3.
p2.8.28. l < L < l 1 + µ2 .2.8.29. α 6 arctg 2µ.2.8.30. α > π/3.√2.8.31∗ . cos ϕ = ctg α/ 3, считаем µ > tg α.2.8.32. tg α 6 1/µ.mg p 21 − 2µ5µ − 4µ + 1, tg α =при µ = 1/2.2.8.33∗ . F = mg/2, α = 0 при µ > 1/2; F =2µµ2.8.34. tg α > (1 − µ1 µ2 )/(2µ1 ).2.8.35∗ . F 0 = F (l + µh)/(l − µh).µRp2.8.36. sin α =.(l + R) 1 + µ22.8.37∗ . ω = vh/R2 .2.8.38. Разумно.2952.8.39. Fось = mg;Fпр = mg/4, одна пружина сжата, другая растянута.2.8.40. m = M r/(R − r).2.8.41. T = 3mg.2.8.42∗ .
∆S = (N l/µ)α(t2 − t1 ) tg ϕ.√2.8.44. F = µmg( 2 − 1).Глава 3. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ§ 3.1. Малые отклонения от равновесия3.1.1. f = −2F x/l.3.1.2. F = −kx.U = F x2 /l.v = x0p2F/(ml).U = kx2 /2.3.1.3. а. k = mv02 /x20 .3.1.5. F = −mgx/l.p3.1.6. v = x0 g/l.p3.1.7. n = R/r.б.
F = −kx, U = kx2 /2, k = m(v0 /x0 )2 .Нет, не зависит.U = mgx2 /(2l).3.1.8∗ . m = 2qEx20 /(lv02 ).mg x2.R−r 21qQqQ2qQqQ3.1.10∗ . U =+−≈x2 .4πε0 L + xL−xL2πε0 L33.1.11. m = 2(k cos2 α)x/g.2mgR6mgx. б. R0 = √ . F 0 = − 0 x.3.1.12. а. F = −RR3∆m p3.1.13. v =gR/2.mlpg/h.3.1.14∗ . Ω = ϕ0Lrrgg3.1.15. v1 = x0 (1 + y0 /x0 ) , v2 = y0 (1 + x0 /y0 ) .ll3.1.16.
mg(1 + x20 /l2 ) > F > mg(1 − x20 /2l2 ).p3.1.17. x0 = R 2∆/(3N ).3.1.9. U =l=vpπε0 L3 m/(qQ).§ 3.2. Период и частота свободных колебаний3.2.1. а. Положение равновесия груза находится на уровне центра колеса, F = −mΩ2 x.T = 2π/Ω. Скорость будет той жеp по модулю, но изменит направление на противоположное,смещение изменит знак. б. Ω = k/m, R = x0 .p3.2.2. T = 2π ∆l/g.3.2.3. Период уменьшится вдвое.p3.2.4. Для случаев а, в: T = 2π m/(k1 + k2 );pдля б: T = 2π m(1/k1 + 1/k2 ). От расстояния между стенками не зависит.3.2.5.
l = 24,4 см.p3.2.6. T = 2π l/(g sin α).296p♦3.2.7. а. F = mg[(T0 /T )2 − 1]. ♦б. F = mg (T0 /T )4 − 1, cos ϕ = (T /T0 )2 , здесь ϕ —угол отклонения от вертикали нового положения равновесия.3.2.8. r ≈ 30 км.3.2.9. ∆t1 = 2 мин; ∆t2 ≈ 7 с.3.2.10. F = mω 2 l/2.p3.2.11. ω = qQ/(πε0 ml3 ).3.2.12. t = 42 мин.3.2.13. t = 42p мин.3.2.14.
ω = 2µg/l.3.2.15∗ . t = 22 с.1/4l23.2.16∗ . T = 2π.g 2 + a2 − 2ag cos αp2π3.2.17∗ . T =l/(R + l).pΩ3.2.18. ω = k/m − Ω2 .p3.2.19. ω = g(M l − mx)/(M l2 + mx2 ).3.2.20. ω 2 = g/l + k/4m. Квадрат частоты возрастает на k/4m.3.2.21. M = m(g/ω√2 R − 1).√2 = g/ R2 − l2 , б∗ ). ω 2 = g R2 − l2 /R2 .3.2.22.
а) ω⊥kp3.2.23. ω = k/(2m).p3.2.24. ω = g/(2R).p3.2.25. ω = k/µ, где µ = m1 m2 /(m1 + m2 ).√3.2.26. ωHD /ωH2 = 3/2.p3.2.27∗ . ω2 /ω1 = 11/3.p3.2.28. T = 2π l(M + m)/(M g).πp3π p3.2.29. а) t =m/(2k). б) t =m/(2k).2223.2.30. I = I0 [(T /T0 ) − 1].p3.2.31∗ . ω = 6k/m.pp3.2.32∗ .
ω1 = M g/(ml), ω2 = 2ω1 = 2 M g/(ml).p3.2.33. T = 2π l/(2g).p3.2.34∗ . T = 2π H/g.p3.2.35. ω = g/H.q3.2.36∗ . ω = k/[m + πρlR4 /r 2 ].3.2.37∗ . m ≈ 900 т.§ 3.3. Гармоническое движение3.3.1. v = −Aω sin ωt, a = −Aω 2 cos ωt, F = −mω 2 x = −Amω 2 cos ωt, k = mω 2 .3.3.2. а) x = 5 sin(3,13t). б) x = 5 cos(3,13t). Смещение измеряется в миллиметрах, время — в секундах.3.3.3. T = 0,06 с.3.3.4. t = π/(4ω).p√3.3.5. T = π l/g (1 + 1/ 2 ).pp3.3.6. T = π( R/g + r/g ).p3.3.7∗ . t = π/2 l/g; не изменится.p3.3.8∗ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
