1611143572-9d260122e1f7b937cc263fb9b1cd060d (825035), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Как направлено ускорение этих планет? Как оно зависит от расстояниямежду ними и Солнцем, если установлено, что квадрат периода обращения планет пропорционален кубу радиуса их орбиты? (Представьте себе, что вы еще незнаете закона всемирного тяготения.)2.6.3. При сферически симметричном распределении массы шар притягивает тела, находящиеся вне его так, будто вся его масса сосредоточена в его центре.На какой высоте над Землей сила тяжести составляет 81% от ее значения на поверхности Земли?2.6.4. Ускорение Луны можно найти исходя из кинематических соображений, зная, что средний радиус ее орбиты 385 000 км, а период ее обращения вокруг Земли 27,3 сут. Сравните полученное таким образом значение ускорения сускорением, создаваемым на лунной орбите земным тяготением.
Радиус Земли6370 км, ускорение свободного падения на ее поверхности 9,8 м/с2 .2.6.5. Предлагается метод определения гравитационной постоянной. По геологическим образцам пород и по распространенности этих пород на Земле находят среднюю плотность вещества. Умножая эту плотность на объем Земли,находят ее массу. Зная же радиус Земли и ускорение свободного падения на ееповерхности, находят гравитационную постоянную. В чем коренной недостатокэтого метода?♦ 2.6.6. Рассмотрим установку Кавендишадля измерения гравитационной постоянной (такназываемые крутильные весы). Легкий стержень (коромысло), на концах которого закреплены два одинаковых шара массы m, подвешен натонкой и длинной нити.
К шарам можно приблизить два шара массы M , значительно большей m. Коромысло снабжено зеркальцем, отбрасывающим световой «зайчик» на удаленнуюшкалу и потому позволяющим измерять оченьмалые углы поворота коромысла вокруг вертикальной оси. (При длине коромысла 10 см и расстоянии 40 м зеркальца до шкалы смещение «зайчика» в 1600 разпревышает смещение шаров.)Измерение проводят следующим образом.
Шары массы M располагают симметрично возле шаров массы m. При этом коромысло поворачивается и нитьзакручивается на некоторый угол. Затем, когда после прекращения крутильныхколебаний большие шары переводят в новое симметричное положение, измеряютугол поворота коромысла. Зная упругие свойства нити, определяют максимальное ускорение легких шариков.Вычислите гравитационную постоянную на основе данных, полученных наустановке Кавендиша (крутильные весы): расстояние между шарами массы mи M равно 2r = 10 см, масса тяжелых шаров M = 7,0 кг, максимальное ускорениелегких шариков a = 2,8 · 10−7 м/с2 .2.6.7. Свой эксперимент по измерению гравитационной постоянной Кавендиш назвал «взвешиванием Земли».
Определите массу Земли, если на ее поверхности ускорение свободного падения g = 9,8 м/с2 , а радиус Земли R = 6370 км.562.6.8. Найдите массу Солнца. Радиус орбиты Земли равен 1,5 · 108 км, в годусодержится примерно 3,14 · 107 с.2.6.9. Найдите силу гравитационного притяжения, действующего на вас состороны Земли, Луны, Солнца.2.6.10. Спутник Марса Фобос обращается вокруг него по орбите радиуса9400 км с периодом 7 ч 39 мин.
Во сколько раз масса Марса меньше массыЗемли?2.6.11. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а радиус Луны 1700 км.Во сколько раз ускорение свободного падения вблизи лунной поверхности меньше,чем вблизи земной?2.6.12. Определите радиус круговой орбиты астероида, если угловая скорость обращения его вокруг Солнца ω, а масса Солнца m .2.6.13. Как изменилась бы продолжительность земного года, если бы масса Земли сравнялась с массой Солнца, а расстояние между ними осталось быпрежним?2.6.14∗ .
Две звезды массы m1 и m2 образуют двойную систему с неизменнымрасстоянием между звездами R. Каков период обращения звезд вокруг общегоцентра масс?2.6.15. В астрономии часто измеряют расстояние в радиусах земной орбиты, периоды — в земных годах, а массы звезд — в массах Солнца. Определитесуммарную массу двойной системы, если в этих единицах расстояние между звездами постоянно и равно r, а период их обращения равен T .2.6.16. Три звезды массы m каждая сохраняют в своем движении конфигурацию равностороннего треугольника со стороной L. С какой угловой скоростьювращается этот треугольник?2.6.17.
Найдите первую космическую скорость для Земли и Луны, а такжеи периоды обращения по околоземной и окололунной орбитам.2.6.18. Спутник массы m0 движется по круговой орбите радиуса R вокругпланеты массы m. Какой импульс нужно мгновенно сообщить спутнику, чтобыплоскость его орбиты повернулась на угол α, а радиус не изменился?2.6.19. Космический корабль движется по круговой орбите радиуса R вокругЗемли со скоростью v, вдвое большей скорости свободного движения по той жеорбите.
Какую силу тяги развивают двигатели корабля, если его масса m?2.6.20. Два одинаковых поезда массы 1000 т каждый движутся по экваторунавстречу друг другу со скоростями 30 м/с. На сколько отличаются силы, скоторыми они давят на рельсы?2.6.21. а.
Каков радиус орбиты спутника, лежащей в экваториальной плоскости, если тот все время находится в зените над одной и той же точкой земнойповерхности?б. Опишите качественно трассу спутника, если при том же радиусе орбиты ее плоскость образует угол 60◦ с плоскостью экватора. (Трассой спутниканазывается линия, соединяющая точки на Земле, из которых спутник виден взените.)2.6.22. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия небольшого тела массы m с Землей U = −γM m/r, где M — масса Земли, r — расстояниеот тела до центра Земли.
Найдите приращение потенциальной энергии ∆U приподъеме тела на высоту h с поверхности Земли. Какая относительная ошибкавозникает при использовании приближенного выражения mgh вместо ∆U ? Ускорение свободного падения на поверхности Земли g, радиус Земли R.2.6.23∗ . Тело запустили вдоль экватора с востока на запад с такой скоростью, что очень далеко от Земли его скорость стала равной нулю. Какую скорость относительно Земли будет иметь вдали от нее тело, запущенное с той женачальной скоростью вдоль экватора, но с запада на восток?572.6.24. Метеорит на очень большом расстоянии от планеты имеет скорость v0 . Падая на планету, он приобретает вблизи ее поверхности скорость v.При какой наименьшей скорости вблизи поверхности этой планеты космическийкорабль покинет ее безвозвратно? (Такая скорость называется второй космической.)2.6.25.
На поверхности планеты телу сообщили скорость, превышающуювторую космическую скорость на 0,5%. Во сколько раз скорость тела вдали отпланеты будет меньше второй космической скорости?2.6.26. Найдите вторую космическую скорость для Земли и Луны. Вращением планет вокруг собственной оси пренебречь.2.6.27. Спутник движется со скоростью v по круговой орбите вокруг Земли.Какую наименьшую добавочную скорость надо сообщить спутнику, чтобы он могбезвозвратно уйти от Земли?2.6.28. Космический корабль приближается к Луне.
На большом расстоянииот Луны его скорость относительно нее была нулевая. На какой высоте нужновключить тормозной двигатель, создающий пятикратную перегрузку (5g), чтобы посадка была мягкой? Изменением массы корабля пренебречь. Радиус Луныоколо 1700 км, ускорение свободного падения на ее поверхности в 6 раз меньше,чем на поверхности Земли.♦ 2.6.29. Скорость пылинок однородного шарового облака направлена радиально и пропорциональна расстоянию до центра: v = Hr; это относится к начальному моменту. При какой наибольшей начальной плотности облако будет неограниченно расширяться? (Для тела внутри однороднойсферической оболочки суммарная гравитационнаясила со стороны оболочки нулевая.)2.6.30∗ .
Какую скорость нужно сообщить телу небольшой массы в центре астероида массы mи радиуса R, чтобы оно через радиальную шахту ушло от астероида бесконечнодалеко? Астероид можно считать однородным.2.6.31. Космический аппарат вдалеке от Земли находится на том же расстоянии от Солнца, что и Земля. При какой минимальной его скорости он покинетСолнечную систему?2.6.32∗ . Наименьшая скорость тела на поверхности Земли, обеспечивающаяего выход за пределы Солнечной системы, называется третьей космической скоростью.
Найдите ее, если известно, что скорость орбитального движения Земли30 км/с.2.6.33∗ . В фантастическом рассказе описывается, как из-за небольшой ошибки в выборе начальной скорости при старте с поверхности Земли межпланетныйкорабль падает на Солнце. При какой наименьшей скорости на поверхности Земли это возможно?2.6.34. Кинетическая энергия спутника на круговой орбите равна K. Чемуравна его потенциальная энергия?2.6.35∗ . Спускаясь по спирали с круговой орбиты на поверхность планеты в разреженных слоях атмосферы спутник совершает почти круговые виткиуменьшающегося радиуса.
При этом его скорость увеличивается так, будто силасопротивления атмосферы толкает спутник вперед, в направлении его полета!Объясните качественно и количественно такое парадоксальное поведение спутника.♦ 2.6.36∗ . В случае действия на тело центральной силы радиус-вектор, проведенный к нему из центра, описывает в равные промежутки времени равные площади. (В этом, собственно, и состоит по отношению к движению планет второй58закон Кеплера.) Какую площадь опишет за время t радиус-вектор, проведенныйот Солнца к планете, если в начальный момент расстояние от нее до Солнца r,скорость v, а угол между скоростью планеты и радиус-вектором α?♦ 2.6.37.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
