1611143572-9d260122e1f7b937cc263fb9b1cd060d (825035), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Масса груза m.2.8.42∗ . На крыше дома с углом наклона ϕ лежит свинцовый лист. Температура воздуха в течение суток повышается, достигая наивысшего значения t2 ,а потом понижается до минимальной температуры t1 , при которой длина листаравна l. Найдите точки листа, неподвижные при нагревании; при остывании.На какое расстояние сползет лист за N суток устойчивой погоды? Коэффициент трения листа о крышу µ > tg ϕ. Температурный коэффициент линейногорасширения свинца α.2.8.43. Муравей решил утащить к муравейнику соломинку. Как ему следуетпоступить, если сила, с которой он может тянуть соломинку, несколько меньшемаксимальной силы трения покоя?♦ 2.8.44∗ . Однородный тонкий брусок массы m лежит на горизонтальной плоскости.
Какой наименьшей горизонтальной силой, приложенной к концу бруска поперпендикуляру к нему, его можно стронуть с места, если коэффициент трениямежду бруском и плоскостью равен µ?73Глава 3Колебания и волны§ 3.1. Малые отклонения от равновесия♦ 3.1.1. Посередине натянутой струныдлины 2l закреплен шар. Какая суммарнаясила действует на шар со стороны струны,если поперечное смещение его из положенияравновесия x l, а сила натяжения струны F не зависит от смещения? Почему при малых смещениях можно считатьзависимость силы, действующей на шар, от x линейной? Как направлена этасила по отношению к смещению? Найдите, как зависит потенциальная энергияшара от малого смещения x.
Какова скорость шара при прохождении им положения равновесия, если его максимальное смещение равно x0 ? Масса шара m.3.1.2. Груз массы m подвешен на пружине жесткости k. Как зависит суммарная сила, действующая на груз, от смещения его на x из положения равновесия?Найдите зависимость потенциальной энергии груза от смещения x.3.1.3. а. Тело массы m, подвешенное на пружине, совершает колебания так,что наибольшее значение скорости равно v0 , а наибольшее отклонение от положения равновесия равно x0 . Определите жесткость пружины.б. Скорость тела массы m, подвешенного на пружинеp и совершающего колебания, зависит от координаты тела x по закону v = v0 1 − (x/x0 )2 .
Найдитезависимость силы, действующей на тело, и потенциальной энергии этого тела откоординаты x. Зависит ли полученный результат от природы силы, заставляющей тело двигаться по приведенному закону?3.1.4. Почему кажется, что быстро колеблющаяся на пружине лампочкавспыхивает в крайних точках своей траектории?♦ 3.1.5.
Длина нити математического маятника l, масса шарика m. Определите силу, действующую на шарик, при отклонениях его от положения равновесияна x в случае, если x l. Как зависит от x потенциальная энергия шарика?3.1.6. Определите максимальную скорость шарика математического маятника длины l, движущегося в одной плоскости, если амплитуда смещения прималых колебаниях маятника равна x0 .♦ 3.1.7. Горизонтальный желоб слева от нижней линии выгнут по цилиндрической поверхности радиуса r, а справа — по поверхности радиуса R. Определитеотношение наибольших отклонений влево и вправо при малых колебаниях телав этом желобе.74♦ 3.1.8∗ .
Два одинаковых шарика с зарядами ±q, жестко связанные невесомымстержнем длины l, находятся в электрическом поле, которое действует на нихс силой ±qE. Определите массу шарика, если амплитуда малых поперечныхколебаний шариков равна x0 , а максимальная скорость шариков v0 .♦ 3.1.9. Шарик массы m и радиуса r скользит по поверхности лунки, радиускривизны которой R.
Найдите зависимость потенциальной энергии шарика отмалого смещения x из положения равновесия.♦ 3.1.10∗ . Бусинка с зарядом q может двигаться без трения по натянутой нити длины 2L, на концах которой закреплены заряды Q. Найдите приращениепотенциальной энергии при смещении бусинки на x вдоль нити из ее центра.Убедитесь, что при малых смещениях зависимость приращения потенциальнойэнергии от x квадратичная. Найдите, на сколько сместится бусинка массы m,если в положении равновесия ей сообщат небольшую скорость v.♦ 3.1.11. Две пружины жесткости k, соединенные, как показано на рисунке, не деформированы. Какой массы груз следует подвесить к точке соединения пружин, чтобы он опустился на малое расстояние x в положение равновесия?♦ 3.1.12. а.
Небольшое заряженное тело массы m можетскользить по вертикальной спице, в нижней точке которойзакреплен заряд, одноименный с зарядом тела. Положениеравновесия тела находится на расстоянии R от этого заряда. Как зависит сила, действующая на тело, от малого егосмещения x из положения равновесия?б. Массу тела увеличили втрое, оставив заряды неизменными. На каком теперь расстоянии от нижнего конца спицы находится положение равновесия тела?75Как зависит сила, действующая на тело, от малого его смещения из положенияравновесия?3.1.13. На тело массы m в задаче 3.1.12а положили небольшой грузик массы∆m и отпустили. Найдите максимальную скорость тела с грузиком.♦ 3.1.14∗ . На нитях длины h, находящихся на расстоянии l друг от друга,висит невесомый стержень длины L > l с грузами массы m на концах.
Стерженьгоризонтален. Покажите, что при повороте стержня вокруг его вертикальной осисимметрии на малый угол ϕ момент сил, действующих на грузы, пропорционален ϕ, а изменение потенциальной энергии грузов пропорционально ϕ2 . Найдитемаксимальную угловую скорость стержня, если его отпустили, повернув предварительно на угол ϕ0 .♦ 3.1.15. Амплитуда малых колебаний математического маятника, стоящегона тележке, равна x0 , а амплитуда колебаний тележки y0 . Длина нити маятника l.Определите максимальную скорость маятника и тележки.
Трением пренебречь.3.1.16. Определите, в каких пределах меняется сила натяжения нити математического маятника, амплитуда колебаний которого x0 много меньше длинынити l, если масса маятника m.3.1.17. Сила нормального давления небольшого тела при малых колебанияхего вблизи положения равновесия в лунке радиуса R меняется от N до N + ∆,∆ N . Определите амплитуду колебаний этого тела.§ 3.2. Период и частота свободных колебаний♦ 3.2.1. а. Груз массы m, подвешенный на пружине и совершающий колебания, расположен рядом с вращающимся с угловой скоростью Ω колесом, причем точка A колеса все время находитсяна одном уровне с центром масс груза.
Где находится положение равновесия груза? Какая силадействует на груз, если смещение его из положения равновесия равно x? Через какое наименьшеевремя T повторяются значения скорости и смещения груза? Как изменятся значения скоростии смещения через время T /2?б. Используя результаты предыдущей задачи, сопоставьте колебательноедвижение груза массы m по прямой под действием силы F = −kx вращательному движению. Определите угловую скорость колеса, если известны величины kи m. На каком расстоянии от оси колеса находится точка A, если наибольшееотклонение груза от положения равновесия равно x0 ?763.2.2. Неподвижный груз, подвешенный на пружине, растягивает ее, находясь в положении равновесия, на длину ∆l.
Каков период вертикальных колебаний груза?3.2.3. Груз колеблется по вертикали на резиновом шнуре. Во сколько разизменится период вертикальных колебаний груза, если его подвесить на том жешнуре, сложенном вдвое?♦ 3.2.4. Найдите период колебаний систем осцилляторов, изображенных нарисунке. Зависит ли период колебаний осциллятора на рисунке в от расстояниямежду стенками? k1 и k2 — жесткость пружин, m — масса тела.3.2.5.
Найдите длину математического маятника, период колебаний∗) которого 1 с.♦ 3.2.6. Маятник представляет собой легкий и жесткий стержень длины l сгрузом на конце. Чтобы сделать период колебаний маятника бо́льшим без чрезмерного увеличения размеров самого маятника, его ось устанавливают под углом α к вертикали. Определите период колебаний.♦ 3.2.7. а. Математический маятник — железный шарик массы m, висящийна длинной нити, — имеет период T0 . В присутствии магнита, расположенногочуть ниже шарика, период колебаний стал равным T .
Определите действующуюна шарик магнитную силу.б. Железный шарик маятника поместили между полюсами магнита так, чтона него действует горизонтальная магнитная сила. Найдите эту силу и новое∗)Здесь и в дальнейшем, если не оговорено, рассматриваются малые колебания.77положение равновесия шарика, если период его колебаний после включения магнитного поля стал равным T .3.2.8. Вблизи рудного месторождения период колебаний маятника изменилсяна 0,1%.
Плотность руды в месторождении 8 · 103 кг/м3 . Оцените размеры месторождения, если средняя плотность Земли 5,6 · 103 кг/м3 , а ее радиус 6400 км.3.2.9. На сколько отстанут за сутки маятниковые часы, поднятые на высотуЭвереста (8,9 км)? Останкинской башни (0,5 км)?3.2.10. Измерения круговой частоты колебаний тела массы m, закрепленногопосередине натянутой струны, длина которой 2l, дали значение ω ∗) .
Найдите силунатяжения струны.3.2.11. Найдите частоту малых колебаний системы, описанной в задаче 3.1.10.♦ 3.2.12. Определите время полета камня от одного полюса Земли до другогопо прямому тоннелю, прорытому через центр. Плотность Земли считать постоянной, ее радиус — равным 6400 км.♦ 3.2.13. В Земле прорыт прямой тоннель, не проходящий через ее центр.Определите время движения поезда с выключенными двигателями по такомутоннелю, если влиянием вращения Земли на движение поезда и трением пренебречь.♦ 3.2.14. Доска массы m лежит на двух катках, вращающихся с большой скоростью навстречу друг другу.
Расстояние между осями катков L, коэффициенттрения при скольжении доски по катку µ. Найдите частоту продольных колебаний доски.3.2.15∗ . Подъемник поднимается или опускается в шахте, глубина которой400 м, за 40 с. Сначала он разгоняется с постоянным ускорением, а затем с тем жепо модулю ускорением замедляется. На сколько отстанут за сутки маятниковыечасы подъемника по сравнению с неподвижными часами? Подъемник находитсяв движении в течение 5 ч ежедневно.♦ 3.2.16∗ . Тяжелая тележка скатывается с ускорением a по наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
