1611143572-9d260122e1f7b937cc263fb9b1cd060d (825035), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Как относятся периоды колебаний по x и y в случаях а–г?3.4.9. Точка, совершающая гармонические колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях x, y, движется по траектории, которая называетсяфигурой Лиссажу. Докажите, что если частоты колебаний относятся как целыечисла, то эта фигура — замкнутая кривая. Какой вид имеет фигура Лиссажу приравных частотах?3.4.10.
Докажите, что если амплитуда гармонических колебаний точки пооси x равна A, а по оси y равна B, то фигура Лиссажу вписывается в прямоугольник со сторонами 2A по оси x и 2B по оси y. Пусть фигура касается горизонтальных сторон этого прямоугольника в p = 3 точках, а вертикальных —в q = 4 точках. Как относятся частоты этих колебаний?♦ 3.4.11∗ . Два шарика массы m1 и m2 , прикрепленные к одинаковым пружинам, могут колебаться, скользя по бруску массы M без трения.Брусок лежит на горизонтальной плоскости.
Шарики связаны нитью, сила натяжения которой F .Нить пережигают. При каком наименьшем коэффициенте трения между плоскостью и брускомтот не сдвинется с места?3.4.12∗ . Концы пружины жесткости k перемещают в продольном направлении по гармоническому закону:x1 = A1 cos (ωt + ϕ1 ),x2 = A2 cos (ωt + ϕ2 );при этом средняя за период сила натяжения пружины равна нулю.
Как меняетсяэта сила со временем? Определите наибольшую и среднюю за большое времяэнергию пружины. При какой разности фаз ϕ2 − ϕ1 средняя энергия пружинынаибольшая? наименьшая?3.4.13∗ . Пусть концы пружины (см. задачу 3.4.12) перемещаются с разнойчастотой:x1 = A cos ω1 t, x2 = A cos ω2 t.Как в этом случае меняется сила натяжения пружины со временем? Постройтеграфик зависимости силы натяжения от времени в случае близких частот.
Почему здесь можно говорить о биениях? Определите в случае неравных амплитуд ичастот среднюю энергию пружины за большое время.3.4.14. Частица при действии на нее силы F = F0 cos ωt колеблется по законуx = A cos (ωt − ϕ). Какова средняя мощность этой силы?87♦ 3.4.15. а. Двум шарикам массы m, которые связаны друг с другом и стенками тремя пружинами жесткости k, одновременно сообщили одинаковую по модулю скорость, направленную вдоль пружин. Найдите частоту колебаний шариков,если их скорости противоположно направлены.
Одинаково направлены.б. Свободные колебания сложных систем являются суммой (наложением)нескольких гармонических колебаний с разными частотами. Если первому шарику в задаче 3.4.15а сообщить вдоль пружины скорость v, то последующее движение шариков будет суммой двух движений: движения шариков, которым сообщили скорость v/2 и −v/2, и движения шариков, которым сообщили скоростьv/2 и v/2.
Определите, пользуясь этим, скорость шариков в последующие за началом колебаний моменты времени. Чему равно максимальное смещение первогошарика? второго? максимальное удлинение средней пружины?в. Решите задачу 3.4.15б в случае, если первому шарику сообщили скорость3v, а второму скорость v.3.4.16∗ .
Атому кислорода в молекуле углекислого газа сообщили небольшуюскорость v в направлении к атому углерода. Определите, на сколько приблизится атом кислорода к атому углерода. Масса атома кислорода равна M , атомауглерода m, а жесткость связи между атомами равна k.♦ 3.4.17∗ . Собственные частоты двойного маятника равны ω1 и ω2 . Длинанити, связывающей шарики маятника, равна l. В состоянии равновесия нижнемушарику сообщили небольшую скорость v. Определите максимальное отклонениенижнего шарика от положения равновесия и длину нити, связывающей верхнийшарик с потолком.♦ 3.4.18.
Малые колебания маятников, связанных пружиной, происходят позаконуx1 = B cos (ω0 t + ϕ) + A cos ωt,x2 = B cos (ω0 t + ϕ) − A cos ωt.Определите жесткость пружины, связывающей маятники. В положении равновесия маятники вертикальны, масса каждого шарика m.♦ 3.4.19. На рисунке изображен график зависимости координаты от временидля движения, являющегося суммой двух гармонических колебаний. Определитепо нему амплитуды и частоты этих колебаний.88§ 3.5. Вынужденные и затухающие колебания3.5.1. Маятник массы m подвергается кратковременным ударам, за каждыйиз которых ему передается импульс p0 . Постройте график движения маятника,если известно, что вначале он покоился, что затухания колебаний нет, а удары следуют друг за другом через промежутки времени T0 и T0 /2 (T0 — периодсвободных колебаний маятника).3.5.2.
Гармоническому колебанию тела массы m можно сопоставить движение точки по окружности, радиус которой совпадает с амплитудой колебаний Aтела, а угловая скорость — с частотой ω. Координата x этой точки совпадает скоординатой тела, а координата y, умноженная на mω, — с импульсом тела p.Кривые, описывающие движение тела в переменных p, x, называются фазовымпортретом. Постройте фазовый портрет для маятника задачи 3.5.1.3.5.3∗ . В условиях задачи 3.5.1 маятник имел в нулевой момент скорость v0и координату x0 . Какой будет амплитуда колебаний после n ударов, если первыйиз них произошел в нулевой момент? Постройте фазовый портрет.3.5.4. Ваша приятельница сидит на качелях.
Вы раскачиваете их кратковременными толчками. Как это нужно делать, чтобы раскачивание проходилонаиболее успешно?3.5.5. Через ручей переброшена длинная упругая доска. Когда мальчик стоит на ней неподвижно, она прогибается на 0,1 м. Когда же он идет со скоростью3,6 км/ч, то доска начинает так раскачиваться, что он падает в воду. Каковадлина шага мальчика?3.5.6. Грузовики въезжают по грунтовой дороге на зерновой склад с однойстороны, разгружаются и выезжают со склада с той же скоростью, но с другойстороны.
С одной стороны склада выбоины на дороге идут чаще, чем с другой.Как по состоянию дороги определить, с какой стороны склада въезд, а с какойвыезд.3.5.7. Катер, плывущий по морю, начинает сильно раскачиваться, хотя волны сравнительно невысокие. Капитан изменяет курс катера и его скорость.
Удары волн о катер становятся при этом в два раза чаще, но тем не менее размахколебаний катера значительно уменьшается. Объясните это.3.5.8. Казалось бы, стреляя из рогатки в мост в такт его собственным колебаниям и сделав очень много выстрелов, его можно сильно раскачать, однакоэто вряд ли удастся. Почему?3.5.9. Сила сопротивления в жидкой или газообразной среде при небольшихскоростях движения пропорциональна скорости тела и направлена против нее:f = −bv. Как зависит рассеиваемая при движении тела мощность от его скорости?3.5.10∗ .
Пусть кинетическая энергия осциллятора K = mv 2 /2, а потенциальная U = kx2 /2. Покажите, что наличие «потерь» мощности Nп = bv 289осциллятора эквивалентно наличию добавочной силы f = −bv, действующей нанего.3.5.11. Качественно опишите движение вначале покоившегося осцилляторапод влиянием одиночного толчка и серии одинаковых толчков, следующих другза другом через период, и постройте фазовый портрет этого осциллятора, еслисила сопротивления движению пропорциональна его скорости.3.5.12∗ . Колебательную систему при наличии сопротивления называют осциллятором с затуханием, а его колебания в отсутствие силы, их поддерживающей, — затухающими.
Покажите, что уравнения движения двух осцилляторов, сила сопротивления движению которых f1 = −b1 v1 , f2 = −b2 v2 , приk1 /m1 = k2 /m2 = ω02 и b1 /m1 = b2 /m2 = 2γ имеют одинаковое решение приодинаковых начальных координатах и скоростях (ω0 — частота свободных колебаний в отсутствие трения, γ — коэффициет затухания, k1 , k2 — жесткость иm1 , m2 — масса осцилляторов).3.5.13.
Покажите, что если затухающие колебания осциллятора происходятпо закону x1 = x1 (t) и v1 = v1 (t), то колебания такого же осциллятора с начальными условиями x2 (0) = nx1 (0), v2 (0) = nv1 (0) происходят по закону x2 = nx1 (t),v2 = nv1 (t).3.5.14. Затухание осциллятора может быть столь велико, что движение егоперестанет носить колебательный характер. Оцените по порядку величины, прикаком соотношении величин γ и ω0 это произойдет (см.
задачу 3.5.12).3.5.15. Пусть затухание достаточно слабое, так что осциллятор, выйдя изначального равновесного положения со скоростью v, через время T снова проходит положение равновесия со скоростью v/n, n > 1. Что можно сказать проскорость осциллятора через время 2T , 3T ?3.5.16. Амплитуда затухающих колебаний осциллятора за время τ уменьшилась вдвое.
Как за это время изменилась механическая энергия осциллятора?За какое время его энергия уменьшилась вдвое?3.5.17. На горизонтальные пластины осциллографа подается сигнал, пропорциональный смещению осциллятора, совершающего слабозатухающие колебания, а на вертикальные — сигнал, пропорциональный его скорости. Изобразитеслед луча на экране осциллографа.3.5.18. Если в момент t = 0 осциллятор, колеблющийся с затуханием, находится в положении равновесия и его скорость равна v0 ,то координата его в момент времени t 6= 0 определяется формулойv0x=exp (−γt) sin ωt,ωppгде ω =ω02 − γ 2 , γ < ω0 =k/m,k, m и γ — соответственно жесткость, массаи коэффициент затухания осциллятора.
Покажите, что свойства осциллятора, описанные взадачах 3.5.12 и 3.5.15, не противоречат этомуутверждению.♦ 3.5.19. По виду зависимости x от t для затухающих колебаний, полученному на экранеосциллографа, определите величину γ и ω. Почему при γ ω0 можно считать, что ω ≈ ω0 ?3.5.20. а. Два следующих друг за другом наибольших отклонения в одну сторону секундного маятника отличаются друг от другана 1%. Каков коэффициент затухания этого маятника?90б. Шарик этого маятника заменили шариком того же радиуса, но с массой вчетыре раза большей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
