1611143572-9d260122e1f7b937cc263fb9b1cd060d (825035), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Стрелок пытается попасть в диск радиуса R, который колеблетсягармонически так быстро, что стрелок не может за ним уследить. Тогда он целится в центр области движения диска. С какой вероятностью стрелок попадетв диск, если амплитуда колебаний диска a R? Если A = 2R? Увеличится ливероятность попадания, если стрелок будет целиться в точку на расстоянии R открая области?♦ 3.3.16.
К одному концу первоначально недеформированной и неподвижной пружины жесткости k прикреплен груз массы m. Свободный конец пружины стали тянуть с постоянной скоростью, как показано на рисунке, покаон не переместился на расстояние d. Затемего резко остановили. При какой скоростиэтого конца пружины груз после остановкине будет колебаться? Сформулируйте аналогичную задачу для математического маятника.3.3.17.
Два одинаковых маятника имеют общую точку подвеса. Одному маятнику толчком сообщили некоторую скорость, затем через время τ другому маятнику тоже толчком сообщили такую же скорость. Через какое время посленачала движения первого маятника оба маятника встретятся, если период ихколебаний равен T , а τ < T /2?♦ 3.3.18. Тело массы m, подвешенное на пружине жесткости k, лежит на подставке.
Подставку мгновенно убирают. Опишите движение тела, если первоначально пружина: а) не деформирована; б) сжата и ее деформация равна l.♦ 3.3.19. Пуля массы m, летящая со скоростью v, попадает в тело массы M ,связанное со стенкой пружиной жесткости k, и застревает в нем. Выбрав момент попадания пули за начало отсчета времени, найдите зависимость скоростии координаты тела от времени.♦ 3.3.20. По горизонтальной плоскости со скоростью v скользят два шарика одинаковой массы m, связанные недеформированной пружиной жесткости k.Шарики налетают на вертикальную упругую стенку.
Опишите последующее движение шариков. Произойдет ли повторный удар их о стенку?833.3.21∗ . Тела массы m1 и m2 связаны первоначально недеформированнойпружиной. Телу массы m1 сообщают ударом скорость v, направленную вдольпружины. Как с течением времени станут меняться скорости этих тел, если частота свободных колебаний тел равна ω?3.3.22. На тело, связанное со стенкой пружиной и находящееся в равновесии,начала действовать вдоль пружины постоянная сила F . Чему равно наибольшеезначение силы натяжения пружины и через какое время после включения началадействия на тело силы F оно достигается? Период свободных колебаний тела T .3.3.23∗ .
В момент времени t0 координата тела, совершающего колебания счастотой ω, равна x0 , а скорость равна v0 . Докажите, что зависимость координаты тела от времени можно представить в видеx = x0 cos ω(t − t0 ) + (v0 /ω) sin ω(t − t0 ).3.3.24∗ . Тело массы m, подвешенное на пружине, колеблется по законуx = A0 cos ωt. С момента времени t0 на тело начинает действовать вдоль пружины постоянная сила F .
Определите амплитуду колебаний относительно новогоположения равновесия. При каком t0 эта амплитуда наибольшая? наименьшая?♦ 3.3.25∗ . На горизонтальной ленте транспортера, движущейся со скоростью u, находится грузмассы m, связанный пружиной жесткости k снеподвижной стенкой. Пусть в начальный моментпружина не деформирована и груз из-за трениядвижется вместе с лентой. Определите амплитуду возникших колебаний.3.3.26∗ .
Пусть в условии задачи 3.3.25∗ начальная скорость груза нулевая,а коэффициент трения равен µ. При какой скорости ленты движение груза будетгармоническим колебанием? Как зависит амплитуда установившихся колебанийот скорости ленты u?3.3.27∗ . На горизонтальной плоскости лежит тело массы M , связанное пружиной жесткости k с неподвижной стенкой. Тело оттянули на расстояние l отположения равновесия и отпустили. Совершив n колебаний, тело остановилось.Чему равен коэффициент трения между телом и плоскостью, если после остановки тела пружина оказалась недеформированной?♦ 3.3.28. К маятнику AB с шариком массы M подвешен маятник BC с шариком массы m. Точка A совершает гармонические колебания по горизонталис частотой ω.
Найдите длину нити BC, если известно, что нить AB все времяостается вертикальной.3.3.29. Тело массы m колеблется по закону x = A cos (ωt + ϕ). Найдитезависимость силы, действующей на тело, от времени. Чему равно ее наибольшеезначение? В какие моменты сила принимает наибольшее по модулю значение?3.3.30.
Горизонтальная мембрана совершает гармонические колебания повертикали с частотой ω и амплитудой A. На мембране лежит маленький груз.84При каком условии он будет колебаться вместе с мембраной, а при каком —начнет отскакивать? Ниже или выше среднего положения мембраны происходитотрыв груза от ее поверхности?♦ 3.3.31. Для измерения малых амплитуд колебаний мембраны, совершающейгармонические колебания высокой частоты ω, применяется «молоточек», включенный в электрическую цепь с мембраной и телефоном. Молоточек массы mприжимается к мембране с силой, которая регулируется микрометрическим винтом. Когда контакт молоточка с мембраной прерывается, прерывается ток в цепии в телефоне слышно дребезжание.
Определите амплитуду колебаний, если дребезжание началось с момента, когда сила, с которой молоточек прижимается кмембране, достигла значения F .3.3.32. На горизонтальной плите лежит груз. Плита начинает двигатьсявверх, совершая по вертикали гармонические колебания с частотой ω и амплитудой A. На какую высоту от начального положения плиты подскочит груз послесвоего отрыва от ее поверхности?3.3.33∗ . С какой амплитудой должна колебаться плита (см. задачу 3.3.32),чтобы наступил своеобразный резонанс: груз, подбрасываемый плитой, послекаждого удара увеличивал бы высоту своего подъема? Удары считать абсолютноупругими.♦ 3.3.34∗ . Пьезокварцевая пластинка колеблется с частотой ω = 107 с−1 . Наторец пластинки положили тело массы, сравнимой с массой пластинки.
Коэффициент трения между телом и пластинкой µ = 1. Оцените, при какой амплитудеколебаний наличие этого тела существенно влияет на частоту колебаний пластинки. Оцените наибольшую скорость тела в установившемся колебательномрежиме в случае, когда амплитуда колебаний пластинки A = 10−6 см.6∗853.3.35. Поверхность тел, колеблющихся с ультразвуковой частотой, кажетсяскользкой на ощупь, а предметы, помещенные на эту поверхность, «плывут» поней от малейшего приложенного к ним усилия. Объясните это.♦ 3.3.36∗ . Наклонная плоскость совершает гармонические колебания с большой частотой вдоль своей поверхности. Каково установившееся движение тела,находящегося на ней? Какова средняя скорость этого тела за большое время, если tg α µ, где α — угол наклона плоскости, µ — коэффициент трения, v0 —амплитуда скорости наклонной плоскости?§ 3.4.
Наложение колебаний♦ 3.4.1. Концы пружин могут скользить без трения по неподвижной вертикальной рамке, другими концами они прикреплены к телу массы m. Какойхарактер носит движение тела в общем случае, когдаk1 6= k2 ? В каких направлениях возможно прямолинейное движение и как его возбудить?3.4.2. Пусть в условиях задачи 3.4.1 k1 = k2 =k/2.
Убедитесь, что в плоскости рамки возможны прямолинейные колебания в любом направлении.Каким способом нужно возбуждать колебания, чтобыдвижение тела происходило по окружности? Докажите, что при любом способе возбуждения траекториядвижения тела замкнутая. Найдите период движениятела.3.4.3. а. Математический маятник совершает малые колебания в одной плоскости.
Амплитуда его колебаний A, частота ω. В момент максимального отклонения шарику маятника сообщили небольшую скорость v, направленную перпендикулярно плоскости колебаний. По какой траектории будет двигаться шарикмаятника после этого? В каких пределах будет изменяться расстояние от шарика до положения равновесия?б∗ . Ответьте на первый вопрос для случая, когда скорость v сообщена шарику в момент, когда он находится на расстоянии x от положения равновесия.♦ 3.4.4. Движение электронного луча по экрану осциллографа описывается уравнениямиx = A cos (ωt − ϕ),y = A cos (ωt + ϕ).Для удобства измерений перед экраном помещена квадратная сетка.
Определите по рисунку сдвиг фаз обоихколебаний.3.4.5∗ . В условиях задачи 3.4.4 определите, при каком сдвиге фаз на экране виден отрезок; окружность. Завремя 2π/ω след луча на экране не успевает погаснуть.Докажите, что в случае произвольного постоянного ϕслед луча на экране представляет собой эллипс с полуосями, лежащими на диагоналях квадрата. Найдите эти полуоси.3.4.6. При изучении гармонических колебаний осциллятора электрическоенапряжение, пропорциональное смещению осциллятора, подается на x-пластиныосциллографа, а напряжение, пропорциональное скорости, — на y-пластины. Какую картину мы увидим на экране?3.4.7.
Отклонение луча осциллографа описывается уравнениямиx = A cos [(ω − Ω/2)t],86y = A cos[(ω + Ω/2)t],где Ω ω, причем след луча на экране гаснет за время, много меньшее 2π/Ω.Какую картину мы увидим на экране осциллографа?♦ 3.4.8. На x- и y-пластины осциллографа подают гармонические сигналы, ина экране появляются картины, изображенные на рисунке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
