1611143572-9d260122e1f7b937cc263fb9b1cd060d (825035), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Как это скажется на затухании колебаний?3.5.21∗ . а. Добротностью осциллятора называют отношение его начальнойэнергии к энергии, потерянной им за время изменения фазы на 1 рад. Выразитедобротность через коэффициент затухания γ и частоту свободных колебаний ω0(γ ω0 ). Как связана добротность Q с числом колебаний, за которое энергияосциллятора уменьшится в e раз?б. У монокристалла сапфира в вакууме при низкой температуре и соответствующей подвеске добротность Q = 108 −109 . Частота колебаний монокристаллаω0 = 104 с−1 . Оцените, во сколько раз изменится амплитуда колебаний кристаллаза сутки.3.5.22∗ .
Каждый раз, когда осциллятор проходит в одном и том же направлении положение равновесия, ему в направлении скорости сообщается ударомдополнительный импульс p. Каким будет движение осциллятора и какая установится максимальная скорость? Характеристики осциллятора известны.
Рассмотрите два предельных случая: 2πγ/ω 1 и 2πγ/ω 1.3.5.23. Приведите пример системы, в которой воздействие со стороны однойчасти ее на другую описывается силой, меняющейся со временем гармонически.3.5.24. На частицу массы m действует сила F = F0 sin ωt, вынуждающаячастицу колебаться около положения равновесия. Представьте себе, что эту силу развивает пружина, прикрепленная к неподвижной стенке, и найдите в этомслучае амплитуду колебаний частицы.♦ 3.5.25∗ .
В системах, изображенных на рисунке, происходят свободные колебания без трения. Покажите, что сила, действующая на выделенный штриховойлинией осциллятор, имеет гармонический характер.3.5.26. а. Тело массы m, связанное с двух сторон пружинами со стенками,колеблется с частотой ω (см. рисунок к задаче 3.5.25∗ ). Определите амплитудуколебаний тела, если известно, что жесткость левой пружины k, а со стороныправой пружины на тело действует сила F0 sin ωt.б. Тело массы m, слева связанное со стенкой пружиной жесткости k, а справажестко соединенное с другим телом, колеблется с частотой ω (см.
рисунок кзадаче 3.5.25∗ ). Определите амплитуду колебаний этого тела, если известно, чтосо стороны второго тела на тело массы m действует сила F0 cos ωt.♦ 3.5.27∗ . Если одинаково отклонить грузики маятников в однуpсторону и отпустить, то в системе возбудятся колебания с частотой ω0 =g/l.
Если жеотклонить их на равное расстояниев противоположные стороны, возникнут коpлебания с частотой ω = g/l + 2k/m. В общем случае движение грузиков естьрезультат наложения этих колебаний:x1 = B cos (ω0 t + ϕ)A cos ωt,x2 = B cos (ω0 t + ϕ) − A cos ωt.91Теперь, рассматривая силу F0 cos ωt, действующую на левый грузик со стороны пружины как вынуждающую, определите величину A через параметры F0 ,m, ω0 и ω. Слагаемое B cos (ω0 t + ϕ) представляет собой свободное колебаниевыделенного осциллятора. Чем определяется выбор параметров B и ϕ?3.5.28∗ .
Результат задачи 3.5.27∗ очень важен: в общем случае движениеосциллятора при наличии вынуждающей силы является суммой свободных и вынужденных колебаний. При каких начальных условиях будут происходить тольковынужденные колебания?3.5.29∗ . Почему при линейной зависимости вынуждающей силы от смещения и скорости осциллятора общее его движение является суммой свободных ивынужденных колебаний?3.5.30.
Почему при вынужденных колебаниях осциллятора с частотой, меньшей его собственной частоты, направления смещения и вынуждающей силы совпадают, а при частоте, большей собственной, противоположны?3.5.31. При малых по сравнению с собственной частотой осциллятора частотах вынуждающей силы его смещение можно считать равным F (t)/k, гдеF (t) — вынуждающая сила, k — жесткость колебательной системы. При больших же частотах вынуждающей силы ускорение осциллятора можно считатьравным F (t)/m, где m — масса осциллятора. Объясните это.3.5.32∗ .
В момент времени t = 0 на покоящийся в положении равновесияосциллятор начинает действовать вынуждающая сила F = F0 cos ωt. Масса осциллятора m, его собственная частота ω0 . Найдите зависимость координаты осциллятора от времени и постройте ее график для |ω − ω0 | ω. При построенииграфика воспользуйтесь тождествомcos α − cos β ≡ 2 sinα−βα+βsin.223.5.33∗ . Раскачка колебаний, как видно из решения задачи 3.5.32∗ , сопровождается биениями. При ω → ω0 размах биений неограниченно растет, но затоих период, а значит, и время нарастания неограниченно увеличиваются.
Пустьвремя, прошедшее после начала воздействия вынуждающей силы, много меньше 2π/|ω − ω0 |. Воспользуйтесь приближением sin ε ≈ ε (ε 1) и определитехарактер раскачки колебаний в этом случае.3.5.34∗ . Выяснить характер раскачки колебаний при ω = ω0 можно, перейдяв выражении для координаты x(t) к пределу ω → ω0 (см. ответ к задаче 3.5.32∗ ).Как объяснить, что амплитуда колебаний растет в этом случае пропорциональновремени?3.5.35∗ .
Пусть имеются колебания со слабым затуханием: коэффициент затухания γ ω0 . Как оно скажется на раскачке колебаний осциллятора из состояния покоя в положении равновесия при |ω − ω0 | γ и при ω = ω0 ? Почему вэтих случаях уместно говорить об установлении вынужденных колебаний? Каково характерное время этого установления?3.5.36. а.
Какая нужна вынуждающая сила, чтобы осциллятор массы m скоэффициентом затухания γ начал совершать гармонические колебания с собственной частотой ω0 по закону x = A cos (ω0 t − ϕ)?б. Амплитуда вынуждающей силы равна F0 , ее частота ω = ω0 . Определите амплитуду вынужденных колебаний. Во сколько раз она больше отклоненияосциллятора при действии постоянной силы F0 ?3.5.37. Осциллятор движется по закону x = x0 sin ωt, а вынуждающая сила,действующая на него, F = F0 cos ωt.
Каков коэффициент затухания у осциллятора? Масса осциллятора m.♦ 3.5.38. На рисунке приведена зависимость квадрата амплитуды скорости вынужденных колебаний92от частоты вынуждающей силы, амплитуда которойпостоянна. Определите собственную частоту осциллятора, его коэффициент затухания и добротность.3.5.39. Для резонансного обнаружения малыхвынуждающих сил можно использовать монокристалл сапфира с добротностью Q = 109 и частотойсобственных колебаний ω0 = 104 с−1 .
Сколько времени (по порядку величины) нужно ждать, чтобы вмонокристалле установились колебания?3.5.40. Игла звукоснимателя движется по синусоидальной бороздке грампластинки. Частота собственных колебаний иглы ω0 . При какой скорости иглыотносительно пластинки она начнет выскакивать из бороздки? Изгибы бороздкиповторяются через расстояние λ.3.5.41∗ . Частицы массы m каждая вылетают из источника в момент t = 0с почти нулевой начальной скоростью. Сразу после вылета на них начинает действовать сила F = F0 sin ωt. Определите скорость частиц спустя время t послевылета.
Какова средняя скорость этих частиц? На каком расстоянии от источника достигается наибольшая скорость? Ответьте на эти вопросы для частиц,испущенных в момент времени t = π/ω, π/2ω.3.5.42∗ . С момента времени t = 0 на частицу массы m начинает в направлении оси x действовать сила Fx = F0 sin ωt, а в направлении оси y — силаFy = F0 cos ωt. Найдите траекторию частицы, если в начальный момент она покоится. Чему равна средняя скорость частицы за большое время? Какую начальную скорость должна иметь частица, чтобы двигаться при наличии этих сил поокружности? Каков радиус этой окружности?§ 3.6.
Деформации и напряжения. Скорость волн3.6.1. Длинную цепь шариков, связанных пружинами жесткости k, тянут заодин конец с силой F . Другой конец цепи закреплен. Определите общее удлинениепружин и смещение N -го шарика при равновесии.3.6.2.
Проволоку длины 1 м растянули за концы на 0,1 мм. Как изменитсярасстояние между «соседними» атомами, если среднее межатомное расстояние внедеформированном материале равно 10−10 м?3.6.3. Модулем Юнга E материала называется жесткость куба единичногообъема при усилии, приложенном перпендикулярно одной из его граней. Каковажесткость стержня длины L и сечения S при продольных растяжении и сжатии? Пусть стержень закреплен с одного конца.
Какой силой, прикладываемой кдругому концу, его можно растянуть на ∆L?3.6.4. Оцените жесткость межатомной связи в веществе с модулем Юнга E и средним межатомным расстоянием a.♦ 3.6.5. На стальном стержне сечения 0,5 см2 и длины 75 см закрепили на расстоянии 25 см друг от друга три груза массы 2 т каждый. Нижний груз висит наконце стержня. Нарисуйте графики относительно удлинения (деформации) и смещения участков стержня. Модуль Юнга стали 2 · 1011 Па.
Каково растяжение всего стержня?3.6.6. Рельсы для трамвая при укладке сваривают в стыках. Какие напряжения появляются в них при изменении температуры от −30 ◦ C зимой до 30 ◦ Cлетом, если укладка проводилась при 10 ◦ C? Температурный коэффициент линейного расширения стали 1, 25 · 10−5 K−1 .933.6.7. Части стены по разные стороны трещины соединили раскаленнойстальной полосой, которая, остыв, прижала их друг к другу. Пусть ширина трещины 1 см, длина полосы 2 м, а ее сечение 2 см2 . С какой силой стянуты частистены, если полоса первоначально нагрета на 500 ◦ C?3.6.8. Колонна Исаакиевского собора в Санкт-Петербурге имеет высоту 30 м.На сколько она сжата под действием собственной тяжести? Плотность гранита2,7 · 103 кг/м3 , а его модуль Юнга 1011 Па.3.6.9. Стержень массы m, длины l и сечения S тянут за один конец в продольном направлении с ускорением a.
Модуль Юнга материала стержня E. Колебаний в стержне нет. На сколько удлинится стержень?3.6.10. Относительное удлинение стержня равно ε. Найдите энергию упругой деформации на единицу объема, если модуль Юнга материала стержня равен E. Выразите полученную величину через силу, действующую на единицуплощади сечения и через нормальное напряжение σ.3.6.11∗ . Какую наименьшую работу нужно совершить, чтобы согнуть вкольцо стержень, имеющий квадратное сечение a × a? Модуль Юнга материала E, длина стержня l a.♦ 3.6.12∗ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
