1611143572-9d260122e1f7b937cc263fb9b1cd060d (825035), страница 22
Текст из файла (страница 22)
При действии продольных сил, растягивающих или сжимающих упругое тело, изменяются нетолько его продольные, но и поперечные размеры. Рассмотрите модель ячейки кристалла, в которой связи атомов представлены пружинами. Жесткость диагональных пружин k, остальных — k0 . Определите отношениесжатия поперечных пружин к удлинению продольныхпри малых деформациях.3.6.13∗ .
При продольном растяжении образца относительное уменьшение егопоперечных размеров −ε0 пропорционально относительному удлинению образцаε = −∆l/l. Отношение ν = −ε0 /ε называется коэффициентом Пуассона ν. Определите коэффициент Пуассона для образца, отвечающего модели из задачи 3.6.12.3.6.14. Коэффициент Пуассона для стали ν = 0,3. Увеличивается или уменьшается объем стального стержня при растяжении? Объем резинового шнура прирастяжении почти не меняется. Чему равен коэффициент Пуассона для резины?3.6.15.
Сжимаемость вещества показывает, на какую долю от первоначального объема уменьшается объем тела при единичном увеличении давления наего поверхность. Рассматривая всестороннее сжатие кубика вещества как сумму трех односторонних сжатий, выразите сжимаемость через модуль Юнга E икоэффициент Пуассона ν.3.6.16.
Сжимаемость воды 5·10−5 атм−1 . Оцените изменение глубины океанав случае, если бы вода стала несжимаемой. Средняя глубина океана составляет 3–4 км. В океане встречаются впадины, глубина которых около 10 км. На сколькоплотность воды на этой глубине больше, чем на поверхности? Какая упругаяэнергия запасена в единице объема воды?♦ 3.6.17.
Невесомая нить переброшена через два гвоздя. К ней подвешены двагруза. Сила натяжения горизонтальных участков нити F . Как по профилю нитинайти массу грузов и силу реакции со стороны гвоздей?♦ 3.6.18. К концам струны приложены продольные силы F0 . При поперечном смещении отдельных участков струны возник профиль, изображенный нарисунке. Постройте график зависимости поперечной составляющей силы натяжения струны от координаты. Какие поперечные силы могут удержать струнув таком виде?94♦ 3.6.19. Участки струны движутся в поперечном направлении так, что область изгиба смещается вправо со скоростью c, не меняя своего наклона. Каксвязаны деформация ε струны в области изгиба и скорость участков струны u?♦ 3.6.20. а.
Объясните, почему увеличивается импульс выделенного на рисунке участка струны. Определите скорость изменения этого импульса через массуединицы длины струны ρ, деформацию в области изгиба ε 1 и скорость смещения области изгиба c.б. Какова сумма сил, действующих на выделенный на рисунке участок струны, если сила натяжения ее равна F0 ? Выразите скорость смещения областиизгиба струны через F0 и ρ.♦ 3.6.21. а. По графику продольных смещений участков стрежня определитедеформацию и упругую энергию, приходящуюся на единицу объема стержня, вобласти возмущения. Возмущение, сохраняя свой вид, перемещается вправо постержню со скоростью c.
Какова скорость частиц стержня в области возмущения?Модуль Юнга материала стержня E.б. В движущейся области деформации (бегущей волне), сохраняющей своюформу при перемещении по стержню, кинетическая энергия частиц равна упругой. Определите скорость волны через модуль Юнга E и плотность ρ материаластержня.♦ 3.6.22.
а. Область продольной деформации ε движется по стержню со скоростью c вправо. Площадь сечения стержня S, плотность материала ρ. Каковаскорость изменения импульса частиц стержня в области справа от выделенногосечения?95б. Импульс, переносимый за единицу времени через единицу площади поперечного сечения, называется плотностью потока импульса. Почему плотностьпотока импульса должна быть равна нормальному напряжению σ в этом сечении?Выразив σ через деформацию, определите отсюда c через ε и ρ.3.6.23. Модуль Юнга стали 2 · 1011 Па, ее плотность 7,8 · 103 кг/м3 .
Каковаскорость продольных волн в стальном стержне? Скорость продольных волн влистовой стали больше, чем в тонких стальных стержнях. Почему?3.6.24. Сжимаемость ртути, воды и воздуха равна соответственно 3 · 10−5 ,−55·10 и 0,71 атм−1 , а их плотность — соответственно 13,6·103 , 1·103 и 1,2 кг/м3 .Определите скорость звука в этих средах.♦ 3.6.25. В газе распространяется ударная волна, вкоторой давление P и плотность ρ газа сильно превосходят давление P0 и плотность ρ0 невозмущенного газа. Найдите по этим данным скорость ударной волны.♦ 3.6.26∗ . В бегущей волне плотность ρ газа плавноубывает до значения ρ0 плотности невозмущенного газа.
Давление газа P ∼ ργ (γ > 1). Объясните, как изтакой волны развивается ударная волна сжатия. Почему не образуется ударныхволн разрежения?♦ 3.6.27∗ . Определите скорость волн на «мелкой воде», т. е. волн, длина которых много больше глубины водоема h. Изменение уровня воды за счет возмущения мало́ по сравнению с h.♦ 3.6.28∗ . По цепочке шариков массы m каждый, связанных пружинами длины l и жесткости k = mω02 , бежит продольная синусоидальная волна частоты ω.Продольные смещения шариков отложены на рисунке по вертикали в увеличенном масштабе. Амплитуда смещений A много меньше l. Найдите скорость распространения этой волны.
Получите скорость этой волны в низкочастотном пределе (ω ω0 ) через l и k, а затем через модуль Юнга E и плотность веществаρ, рассматривая шарики как аналоги атомов вещества. Оцените ω0 для железа.96§ 3.7. Распространение волн3.7.1. Середина стержня сечения S и плотности ρ сместилась после прохождения короткой волны продольного сжатия на расстояние b вправо. Скоростьволны c. Определите импульс этой волны.♦ 3.7.2. а. В упругой среде плотности ρ движется со скоростью c плоская волна сжатия, амплитуда которой ∆ρ. Чему равна плотность потока импульса вобласти сжатия?б. Протяженность слоя среды в направлении распространения волны L, асамой волны l.
С какой скоростью движется центр масс этого слоя? На сколькоон сместится после того, как волна пройдет по всему слою?♦ 3.7.3. В трубе с газом идет волна со скоростью c. Неподвижный датчикпри прохождении волны показывает давление, равное P (t). Найдите зависимостьдавления в трубе от расстояния до датчика в момент времени t0 .3.7.4. Скорость частиц стержня в волне сжатия, бегущей по нему вправосо скоростью c, в начальный момент определяется зависимостью u = u(x), гдеx — расстояние от левого конца стержня до частицы. Найдите зависимость отвремени плотности потока импульса через сечение стержня на расстоянии x0 отлевого его конца.3.7.5. Воду, текущую по водопроводной трубе со скоростью 2 м/с, быстроперекрывают жесткой заслонкой. Определите силу, действующую на заслонкупри остановке воды, если скорость звука в воде 1,4 км/с.
Сечение трубы 5 см2 .3.7.6. На конец покоящегося полубесконечного стержня в течение времени τдействует продольная сила F . Найдите скорость частиц стержня и его деформацию в области возникшей волны, если сечение стержня равно S, модуль Юнгаего материала равен E, а плотность ρ. Какова плотность стержня в областиволны? Найдите импульс и энергию смещающихся частиц стержня через время0, 5 τ и 1, 5 τ от начала действия силы.3.7.7. На торец цилиндрического стального снаряда сечения 102 см2 и длины0,5 м в течение 5 · 10−5 с действовала сила, равная 107 Н. Определите работу этойсилы и отношение кинетической энергии снаряда к этой работе после того, какколебания в снаряде исчезнут.3.7.8.
Струна, состоящая из двух частей с линейными плотностями ρ1 и ρ2 ,натянута продольными силами Fk . В точке соединения частей струну начинаюттянуть поперечной силой F⊥ . Как меняется со временем форма струны?♦ 3.7.9. На натянутую с силой F струну, линейная плотность которой равна ρ,надеты три гладких колечка. Колечки движутся по струне со скоростью v, деформируя ее. С той же скоростью, не меняя своей формы, движется по струнеи область изгиба, создаваемая колечками. Какие силы действуютна струну соpстороны колечек? Что происходит при приближении v к F/ρ?7973.7.10. Скорость волны «изгиба» шины 160–200 км/ч. Что произойдет приприближении скорости автомобиля к этой величине?3.7.11.
В своей лекции «О корабельных волнах» лорд Кельвин рассказывал:«. . . Одно открытие фактически сделано лошадью, ежедневно тащившей лодкупо каналу между Глазго и Ардроссаном. Однажды лошадь испугалась и понесла, и возница, будучи наблюдательным человеком, заметил, что когда лошадьдостигла определенной скорости, тянуть лодку стало явно легче и позади нее неоставалось волнового следа».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
